...

Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier

by user

on
Category: Documents
3

views

Report

Comments

Transcript

Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Séries de Fourier
Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série
de Fourier
Edmar José do Nascimento
(Análise de Sinais e Sistemas)
http://www.univasf.edu.br/˜edmar.nascimento
Universidade Federal do Vale do São Francisco
Colegiado de Engenharia Elétrica
Séries de Fourier
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Introdução
A análise de Fourier (séries e transformadas) é utilizada
na análise de sinais
As séries de Fourier são usadas para analisar sinais
periódicos
A transformada de Fourier pode ser utilizada tanto na
análise de sinais aperiódicos quanto periódicos
A representação de um sinal em séries de Fourier pode
ser comparada com a representação de um vetor em
componentes de uma base de um espaço vetorial
Nas séries de Fourier, um sinal é representado como a
soma de componentes em uma base de funções
ortogonais (senos, cossenos ou exponenciais)
Séries de Fourier
Introdução
Seja x(t) um sinal periódico com período T0 , ou seja,
x(t) = x(t + T0 ), ∀t
O menor valor de T0 é chamado de período fundamental
de x(t)
Verifica-se para um determinado período fundamental T0
que:
Z
a+T0
x(t)dt
a
=
Z
b+T0
x(t)dt =
b
Z
x(t)dt
T0
Define-se ainda:
f0 = 1/T0 - freqüência fundamental em Hertz
ω0 = 2π/T0 = 2πf0 - freqüência fundamental em radianos
por segundo
Séries de Fourier
Introdução
Senóides com freqüências múltiplas da freqüência
fundamental são chamadas de harmônicas
cos (ω0 t) = cos (2πf0 t) - primeira harmônica
cos (2ω0 t) = cos (4πf0 t) - segunda harmônica
cos (nω0 t) = cos (2πnf0 t) - n-ésima harmônica
As séries de Fourier possuem três representações
equivalentes:
Série trigonométrica em sin (nω0 t) e cos (nω0 t)
Série trigonométrica compacta em cos (nω0 t + θn )
Série exponencial em e jnω0 t
Para as duas últimas representações pode-se definir o
espectro de um sinal periódico
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Fourier mostrou que um sinal periódico x(t) com período
T0 pode ser escrito como
x(t) = a0 +
∞
X
an cos (nω0 t) + bn sin (nω0 t)
n=1
Ou seja, um sinal periódico x(t) pode ser representado
como a soma de um termo constante (componente DC) e
de infinitas harmônicas
Para determinar a série trigonométrica de Fourier de um
sinal x(t) é necessário determinar os coeficientes a0 , an e
bn
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Para determinar os coeficientes a0 , an e bn , verifica-se
que:
Z
Z
1h
cos (n + m)ω0 tdt
cos nω0 t cos mω0 tdt =
2 T0
T0
Z
i
cos (n − m)ω0 tdt
+
T0
=
½
0, n 6= m
T0 /2, n = m 6= 0
¾
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
De modo similar, tem-se que:
Z
sin nω0 t sin mω0 tdt =
T0
Z
1h
cos (n − m)ω0 tdt
2 T0
Z
i
−
cos (n + m)ω0 tdt
T0
=
½
0, n 6= m
T0 /2, n = m 6= 0
¾
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Finalmente:
Z
sin nω0 t cos mω0 tdt
T0
=
Z
1h
sin (n − m)ω0 tdt
2 T0
Z
i
sin (n + m)ω0 tdt
+
T0
= 0, ∀m, n
A partir dessas três expressões, verifica-se que os termos
cos (nω0 t) e sin (nω0 t) são ortogonais para diferentes
valores de n 6= 0
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Para se obter a0 , integra-se em um período a expressão:
x(t) = a0 +
∞
X
an cos (nω0 t) + bn sin (nω0 t)
n=1
Z
x(t)dt
T0
=
Z
a0 dt +
T0
+bn
Z
∞ h
X
n=1
T0
an
Z
cos (nω0 t)dt
T0
i
sin (nω0 t)dt = a0 T0
Logo,
a0 =
1
T0
Z
x(t)dt
T0
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Para se obter an (a componente de cos (nω0 t)), faz-se o
seguinte:
Z
Z
2
2
x(t) cos nω0 tdt =
a0 cos nω0 tdt +
T0 T 0
T0 T 0
Z
∞
2 Xh
cos (k ω0 t) cos (nω0 t)dt
ak
T0
T
0
k =1
Z
i
sin (k ω0 t) cos (nω0 t)dt = an
+bk
T0
Logo,
an =
2
T0
Z
x(t) cos nω0 tdt
T0
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Para se obter bn (a componente de sin (nω0 t)), faz-se o
seguinte:
Z
Z
2
2
x(t) sin nω0 tdt =
a0 sin nω0 tdt +
T0 T 0
T0 T 0
Z
∞
2 Xh
cos (k ω0 t) sin (nω0 t)dt
ak
T0
T
0
k =1
Z
i
sin (k ω0 t) sin (nω0 t)dt = bn
+bk
T0
Logo,
bn =
2
T0
Z
x(t) sin nω0 tdt
T0
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica
Assim, a série trigonométrica de Fourier é dada por:
x(t) = a0 +
∞
X
an cos (nω0 t) + bn sin (nω0 t)
n=1
Sendo,
a0 =
an =
bn =
Z
1
x(t)dt
T0 T 0
Z
2
x(t) cos nω0 tdt
T0 T 0
Z
2
x(t) sin nω0 tdt
T0 T 0
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Simetrias
Se x(t) é um sinal par, então:
a0 =
an =
=
bn =
1
T0
Z
T0
2
T0
Z
2
x(t) cos nω0 tdt =
T0
T0
4
T0
Z
0
2
T0
Z
2
x(t) sin nω0 tdt =
T0
T0
x(t)dt =
1
T0
Z
T0 /2
x(t)dt =
−T0 /2
Z
2
T0
Z
T0 /2
x(t)dt
0
T0 /2
x(t) cos nω0 tdt
−T0 /2
T0 /2
x(t) cos nω0 tdt
Z
T0 /2
x(t) sin nω0 tdt = 0
−T0 /2
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Simetrias
Se x(t) é um sinal ímpar, então:
a0 =
an =
bn =
=
1
T0
Z
T0
2
T0
Z
2
x(t) cos nω0 tdt =
T0
T0
Z
2
T0
Z
2
x(t) sin nω0 tdt =
T0
T0
Z
4
T0
Z
x(t)dt =
1
T0
Z
T0 /2
x(t)dt = 0
−T0 /2
T0 /2
x(t) sin nω0 tdt
0
T0 /2
x(t) cos nω0 tdt = 0
−T0 /2
T0 /2
x(t) sin nω0 tdt
−T0 /2
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Série Trigonométrica Compacta
Sabe-se que:
C cos (ω0 t + θ) = C cos θ cos ω0 t − C sin θ sin ω0 t
= a cos ω0 t + b sin ω0 t,
a = C cos θ, b = −C sin θ
³ −b ´
p
C =
a2 + b2 , θ = arctan
a
Logo, a série de Fourier pode ser escrita na forma
compacta como:
x(t) = C0 +
∞
X
n=1
Cn cos (nω0 t + θn )
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Série Trigonométrica Compacta
Os coeficientes C0 , Cn e θn são obtidos a partir de a0 , an e
bn de acordo com as relações
C0 = a0
q
an2 + bn2
Cn =
³ −b ´
n
θn = arctan
an
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Série Trigonométrica Compacta
Alguns casos especiais podem ser enfatizados:
bn = 0
Neste caso, tem-se que:
x(t)
=
=
a0 +
C0 +
∞
X
n=1
∞
X
an cos (nω0 t)
Cn cos (nω0 t + θn )
n=1
Em que
C0
=
a0 , Cn = |an | e θn =
½
0, an > 0
−π, an < 0
¾
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Série Trigonométrica Compacta
an = 0
Neste caso, tem-se que:
x(t)
=
=
a0 +
C0 +
∞
X
n=1
∞
X
bn sin (nω0 t)
Cn cos (nω0 t + θn )
n=1
Em que
C0
=
a0 , Cn = |bn | e θn =
½
−π/2, bn > 0
π/2, bn < 0
¾
Séries de Fourier
Série Trigonométrica Compacta
Espectro da Série Compacta
A partir da série compacta é possível obter o espectro da
expansão em séries de Fourier
O espectro consiste nos gráficos discretos de:
Cn versus ω = nω0 - espectro de amplitude
θn versus ω = nω0 - espectro de fase
O espectro permite verificar a contribuição de cada
harmônica para o sinal periódico x(t)
Enquanto x(t) é uma representação no domínio do tempo,
o espectro é o seu equivalente no domínio da freqüência
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
A partir da fórmula de Euler, sabe-se que:
cos nω0 t
=
ejnω0 t + e−jnω0 t
ejnω0 t − e−jnω0 t
, sin nω0 t =
2
2j
Assim, x(t) pode ser representado como:
x(t) =
∞
X
Dn ejnω0 t
n=−∞
Essa expressão é a série exponencial de Fourier
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Dn é calculado da seguinte maneira
x(t) =
∞
X
n=−∞
Z
Dn ejnω0 t −→ x(t)e−jmω0 t =
x(t)e−jmω0 t dt =
T0
∞
X
Dn
n=−∞
Z
∞
X
Dn ej(n−m)ω0 t
n=−∞
ej(n−m)ω0 t dt
T0
Mas,
Z
e
T0
j(n−m)ω0 t
dt
=
½
T0 , n = m
0, n 6= m
¾
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Assim, a série exponencial é dada por:
∞
X
x(t) =
Dn ejnω0 t
n=−∞
1
T0
Dn =
Z
x(t)e−jnω0 t dt
T0
A relação entre a série exponencial é obtida
expandindo-se x(t)
x(t) =
−1
X
Dn e
n=−∞
= D0 +
∞
X
n=1
jnω0 t
+ D0 +
∞
X
Dn ejnω0 t
n=1
∞
X
D−n e−jnω0 t +
n=1
Dn ejnω0 t
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Logo,
x(t) = D0 +
∞
X
D−n e−jnω0 t + Dn ejnω0 t
n=1
Mas,
Dn =
=
=
Z
1
x(t)e−jnω0 t dt
T0 T 0
Z
Z
1
j
x(t) cos nω0 tdt −
x(t) sin nω0 tdt
T0 T 0
T0 T 0
an − jbn
2
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
De modo análogo,
Z
1
D−n =
x(t)ejnω0 t dt
T0 T 0
Z
Z
j
1
x(t) cos nω0 tdt +
x(t) sin nω0 tdt
=
T0 T 0
T0 T 0
an + jbn
=
2
Assim, tem-se que:
Dn =
D−n =
p
an2 + bn2 j arctan (−bn /an ) Cn jθn
an − jbn
=
e
=
e
2
2
p 2
an2 + bn2 j arctan (bn /an ) Cn −jθn
an + jbn
=
e
=
e
2
2
2
Séries de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Série Exponencial de Fourier
Além disso,
D0 = a0 = C 0
Cn
, n 6= 0
2
= θn , ∠D−n = −θn , n 6= 0
|Dn | = |D−n | =
∠Dn
O espectro da série exponencial consiste nos gráficos
discretos de:
|Dn | versus ω = nω0 - espectro de amplitude (função par)
∠Dn versus ω = nω0 - espectro de fase (função ímpar)
Deve-se observar que o espectro da série exponencial
possui tanto freqüências negativas quanto positivas
Séries de Fourier
Exemplos
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Exemplos 6.1 e 6.5
Determinar as três séries de Fourier para o sinal x(t) abaixo e
esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta
e exponencial
Sugestão:
Z
eax cos bxdx
Z
eax sin bxdx
=
=
eax
(a cos bx + b sin bx)
a2 + b 2
eax
(a sin bx − b cos bx)
a2 + b 2
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplos 6.1 e 6.5
T0 = π −→ ω0 = 2
Z
Z
2(1 − e−π/2 )
1
1 π −t/2
e
dt =
a0 =
= 0, 504
x(t)dt =
T0 T 0
π 0
π
Z
Z
2
2 π −t/2
an =
e
cos 2ntdt
x(t) cos nω0 tdt =
T0 T 0
π 0
=
bn =
=
2
4(1 − e−π/2 )
= 0, 504
2
π(1 + 16n )
1 + 16n2
Z
Z
2
2 π −t/2
x(t) sin nω0 tdt =
e
sin 2ntdt
T0 T 0
π 0
8n
16n(1 − e−π/2 )
= 0, 504
2
π(1 + 16n )
1 + 16n2
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplos 6.1 e 6.5
x(t) = 0, 504 + 0, 504
∞
X
n=1
2
(cos (2nt) + 4n sin (2nt))
1 + 16n2
C0 = a0 = 0, 504
q
2
Cn =
an2 + bn2 = 0, 504 √
1 + 16n2
³ −b ´
n
θn = arctan
= − arctan (4n)
an
∞
X
2
√
cos (2nt − arctan (4n))
x(t) = 0, 504 + 0, 504
2
1
+
16n
n=1
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplos 6.1 e 6.5
O espectro da série compacta é representado nos dois gráficos
abaixo:
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplos 6.1 e 6.5
Dn =
=
=
1
T0
Z
x(t)e
T0
−jnω0 t
1
dt =
π
Z
π
e−t/2 e−j2nt dt
0
0, 504
1 − j4n
2(1 − e−π/2 )
=
= 0, 504
π(1 + j4n)
1 + j4n
1 + 16n2
1 0, 504.2
8n
1
−j
2
2 |1 +{z
16n } 2 |1 +{z
16n2}
an
x(t) = 0, 504
∞
X
bn
1 − j4n j2nt
e
1 + 16n2
n=−∞
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Exemplo 6.4
Determinar as três séries de Fourier para o sinal x(t) abaixo e
esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta
e exponencial
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.4
Observa-se que x(t) é par
T0 = 2π −→ ω0 = 1
Z π/2
Z T0 /2
2
1
2
a0 =
dt =
x(t)dt =
T0 0
2π 0
2
Z π/2
Z T0 /2
4
4
cos ntdt
x(t) cos nω0 tdt =
an =
T0 0
2π 0


0, n par


2
nπ
2/(nπ), n = 1, 5, 9, · · ·
=
sin
=


nπ
2
−2/(nπ), n = 3, 7, 11, · · ·
Z
2
bn =
x(t) sin nω0 tdt = 0
T0 T 0
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.4
∞
x(t) =
1 X 2
nπ
+
sin
cos nt
2
nπ
2
n=1
=
x(t) =
+
1 2
1
1
1
+ (cos t − cos 3t + cos 5t − cos 7t + · · · )
2 π
3
5
7
1
1
1 2
+ [cos t + cos (3t − π) + cos 5t +
2 π
3
5
1
cos (7t − π) + · · · ]
7
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.4
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.4
Dn =
1
T0
Z
x(t)e
T0
−jnω0 t
1
dt =
2π
Z
π/2
e−jnt dt
−π/2
1
1
nπ
(e−jnπ/2 − ejnπ/2 ) =
sin
2jnπ
nπ
2
∞
X 1
nπ jnt
sin
e
x(t) =
nπ
2
n=−∞
= −
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Exemplo 6.7
Determinar as três séries de Fourier para o sinal x(t) abaixo e
esboçar os espectros de amplitude e fase das séries compacta
e exponencial
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.7
ω0 =
a0 =
an =
=
bn =
2π
T0
Z T0 /2
Z T0 /2
1
1
1
x(t)dt =
δ(t)dt =
T0 −T0 /2
T0 −T0 /2
T0
Z T0 /2
Z T0 /2
2
2
x(t) cos nω0 tdt =
δ(t) cos nω0 tdt
T0 −T0 /2
T0 −T0 /2
2
T0
Z T0 /2
Z T0 /2
2
2
x(t) sin nω0 tdt =
δ(t) sin nω0 tdt = 0
T0 −T0 /2
T0 −T0 /2
Séries de Fourier
Exemplos
Exemplo
Solução exemplo 6.7
∞
x(t) =
Dn =
x(t) =
2 X
2πnt
1
+
cos
T0 T0
T0
n=1
Z
Z T0 /2
1
1
1
−jnω0 t
δ(t)e−jnω0 t dt =
x(t)e
dt =
T0 T 0
T0 −T0 /2
T0
∞
1 X j2πnt/T0
e
T0 n=−∞
Séries de Fourier
Miscelânea
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Miscelânea
Existência das Séries de Fourier
Para as série de Fourier existir é necessário que a0 , an e
bn sejam finitos
Para que isso ocorra, x(t) deve ser absolutamente
integrável em um período, ou seja:
Z
|x(t)|dt < ∞
T0
Séries de Fourier
Miscelânea
Convergência
O critério de convergência usado nas séries de Fourier é a
"convergência na média"
Considere uma série infinita para um sinal periódico x(t) e
sua versão truncada (aproximada) xN (t) dadas por
x(t) =
xN (t) =
∞
X
n=1
N
X
zn (t)
zn (t)
n=1
O erro de aproximação devido ao truncamento é dado por
e(t) = x(t) − xN (t)
Séries de Fourier
Miscelânea
Convergência
A série converge na média no intervalo (0, T0 ) se
Z T0
Z T0
2
|x(t) − xN (t)|2 dt −→ 0 se N −→ ∞
|e(t)| dt =
0
0
Ou seja, a energia do erro em um período tende a zero
quando N tende a infinito
Um outro critério mais simples para a convergência na
média é verificar se o sinal tem energia finita em um
período
Um sinal periódico x(t) possui uma série de Fourier que
converge na média se
Z
|x(t)|2 dt < ∞
T0
Séries de Fourier
Miscelânea
Convergência
Além da convergência na média, é útil analisar a
convergência em pontos específicos
Se um sinal periódico x(t) satisfizer as três condições de
Dirichlet abaixo, então a série de x(t) converge para todo
ponto em que o sinal é contínuo e converge para o valor
médio dos dois lados da descontinuidade nos pontos de
descontinuidade
1
2
3
x(t) é absolutamente integrável
Há um número finito de descontinuidades finitas em um
período
Há um número finito de máximos ou mínimos em um
período
Séries de Fourier
Miscelânea
Fenômeno de Gibbs
O fenômeno de Gibbs ocorre quando o sinal periódico x(t)
apresenta descontinuidades
Ao se considerar uma série de Fourier truncada, há a
presença de um sobre-sinal de amplitude
aproximadamente igual a 9% do valor da descontinuidade
nas vizinhanças dos pontos de descontinuidade
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Séries de Fourier
Miscelânea
Teorema de Parseval
O teorema de Parseval permite calcular a potência de um
sinal a partir do espectro de amplitude do sinal
Segundo o teorema de Parseval, a potência de um sinal
periódico é igual a soma das potências das componentes
da série, ou seja:
∞
Px
= C02 +
1X 2
Cn
2
n=1
Px
=
∞
X
n=−∞
Fazer o problema 6.3-10
|Dn |2 = D02 + 2
∞
X
n=1
|Dn |2
Séries de Fourier
Miscelânea
Resposta de um Sistema LCIT a Entradas Periódicas
Vimos que um sinal periódico x(t) pode ser representado
como
x(t) =
∞
X
Dn ejnω0 t
n=−∞
Se um sistema LCIT com função de transferência é
estável, então
ejωt
−→ H(jω)ejωt
Aplicando a propriedade da linearidade, tem-se que:
x(t) =
∞
X
n=−∞
Dn ejnω0 t −→ y (t) =
∞
X
n=−∞
Dn H(jnω0 )ejnω0 t
Séries de Fourier
Miscelânea
Resposta de um Sistema LCIT a Entradas Periódicas
Ou seja, uma entrada periódica resulta em uma saída
periódica com o mesmo período da entrada
As componentes do espectro do sinal periódico são
afetadas diferentemente pela função de transferência do
sistema
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Roteiro
1
Séries de Fourier
Série Trigonométrica
Série Trigonométrica Compacta
Série Exponencial de Fourier
Exemplos
Miscelânea
Série de Fourier Generalizada
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
As séries de Fourier estudadas podem ser analisadas de
um ponto de vista mais geral através da analogia entre
funções e vetores
→
− →
−
Considere dois vetores g e x representados abaixo
Sabe-se que:
→
− →
−
→
− →
−
g . x = | g || x | cos θ
→
−
→
− →
−
| g |2 = g . g
→
−
→
− →
−
g = cx + e
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
Se g ' c x , então e = g − c x corresponde ao erro da
aproximação
→
−
→
−
→
−
O erro e é minimizado se c| x | = | g | cos θ, ou seja
c =
→
− →
−
→
−
g.x
| g | cos θ
=
→
−
→
−
|x |
| x |2
→
− →
−
→
− →
−
Além disso, se g . x = 0, então g e x são ortogonais
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
Sejam agora dois sinais g(t) e x(t), então se g(t) ' cx(t)
no intervalo t1 < t < t2 então o erro da aproximação é
dado por
½
¾
g(t) − cx(t), t1 < t < t2
e(t) =
0, c.c.
A melhor aproximação é aquela que minimiza a energia do
erro que pode ser expressada como
Ee =
Z
t2
t1
e2 (t)dt =
Z
t2
t1
[g(t) − cx(t)]2 dt
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
O valor de c que minimiza Ee pode ser obtido fazendo-se
dEe /dt = 0, o que resulta em
Z t2
1
g(t)x(t)dt
c =
Ex t1
Fazendo a analogia com vetores tem-se que:
Z t2
→
− →
−
g . x ←→
g(t)x(t)dt
t1
→
−
| x |2 ←→ Ex
g(t) e x(t) são ortogonais se
Z t2
g(t)x(t)dt
t1
= 0
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
Se g(t) e x(t) são funções complexas, então:
c =
1
Ex
Z
t2
g(t)x ∗ (t)dt
t1
→
− →
−
Além disso, para dois vetores ortogonais x e y , tem-se
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
que z = x + y resulta em | z |2 = | x |2 + | y |2
Pode-se mostrar que para dois sinais x(t) e y (t)
ortogonais, tem-se que z(t) = x(t) + y (t) possui energia
Ez = E x + E y
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
Os resultados obtidos anteriormente podem ser
generalizados para dimensões maiores
→
− →
− →
−
Sejam x1 , x2 e x3 três vetores mutuamente ortogonais e
→
−
um vetor x ∈ R3 , então temos que:
→
−
→
−
→
−
x ' c 1 x1 + c 2 x2
→
−
→
−
→
−
→
−
x = x − (c1 x1 + c2 x2 )
O erro é mínimo se c1 e c2 são as projeções ortogonais ao
→
− →
−
longo de x1 e x2 , respectivamente
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
Se x ' c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 , então e = 0, já que três
vetores ortogonais formam uma base para R3
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
Analogamente, um conjunto de sinais
x1 (t), x2 (t), · · · , xN (t) é ortogonal se
½
¾
Z t2
0, m 6= n
∗
xm (t)xn (t)dt =
En , m = n
t1
Se além disso, En = 1, diz-se que os sinais são
ortonormais
Assim, um sinal x(t) pode ser aproximado por
x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + · · · + cN xN (t) '
e(t) = x(t) −
N
X
n=1
cn xn (t)
N
X
n=1
cn xn (t)
Séries de Fourier
Série de Fourier Generalizada
Série de Fourier Generalizada
O erro é minimizado se
Z t2
1
x(t)xi∗ (t)dt, i = 1, 2, · · · , N
ci =
E xi t 1
Quando N −→ ∞, então Ee −→ 0 e
x(t) =
∞
X
cn xn (t), t1 < t < t2
n=1
é a série de Fourier generalizada
Fly UP