...

Um anel unitário é um conjunto A que tem duas operaç˜oes binarias

by user

on
Category: Documents
1

views

Report

Comments

Transcript

Um anel unitário é um conjunto A que tem duas operaç˜oes binarias
Um anel unitário é um conjunto A que tem duas operações binarias + e ·
tais que
• (A, +) é um grupo abeliano com elemento neutro 0 e o inverso de a é −a.
• (A, ·) é um monoide, isto é, · é associativa e existe um elemento neutro
1 6= 0.
• Propriedade distributiva (compatibilidade entre soma e produto):
a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc para todo a, b, c ∈ A.
Um anel A é dito comutativo se · é comutativa, isto é, se ab = ba para todo
a, b ∈ A.
Por exemplo Z, Q, R, C são aneis comutativos com as operações usuais. Um
outro exemplo importante de anel é o seguinte: o anel dos polinômios A[X] com
soma e produto usuais, onde A é um anel comutativo. Um elemento generico
de A[X] é um polinômio a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + ak X k onde a0 , a1 , . . . , ak ∈ A.
Existem aneis não comutativos, por exemplo o conjunto Mn×n (k) das matrizes n × n sobre um dado anel k, com as operações de soma e produto usuais
entre matrizes, onde 0 é a matriz nula e 1 é a matriz identidade. Como em geral
se A, B são duas matrizes temos AB 6= BA, o anel Mn×n (k) não é comutativo
se n > 1.
Nessa parte do curso vamos falar só de aneis comutativos. Então nunca
vamos ter problemas de especificar se estamos multiplicando a esquerda ou a
direita e podemos sempre multiplicar os elementos na ordem que queremos.
Além disso, todos os aneis e os subaneis considerados serão unitários (existe
1 ∈ A e 1 6= 0).
Um anel comutativo A é dito corpo se todo elemento a ∈ A diferente de zero
admite inverso multiplicativo a−1 . Por exemplo Z não é um corpo (pois por
exemplo 2 ∈ Z mas 1/2 6∈ Z) mas Q, R e C são corpos.
Observe que se A é um corpo vale a regra de cancelação: se a, b ∈ A e
ab = 0 então a = 0 ou b = 0, de fato se a 6= 0 multiplicando por a−1 obtemos
b = aba−1 = 0a−1 = 0 logo b = 0. Por outro lado, essa propriedade vale também
em Z apesar do fato que Z não seja um corpo (se n, m ∈ Z e nm = 0 então
n = 0 ou m = 0). Um anel com essa propriedade é dito domı́nio de integridade.
Um domı́nio de integridade é um anel comutativo A tal que se a, b ∈ A e
ab = 0 então a = 0 ou b = 0.
Para entender melhor os domı́nios de integridade vamos introduzir mais
conceitos. Se A é um anel unitário, um subanel unitário de A é um subconjunto
1
B de A tal que B é um anel unitário (contendo 1) com as mesmas operações +
e · de A. Escrevemos B ≤ A. Por exemplo temos Z ≤ Q ≤ R ≤ C.
Vamos mostrar o resultado seguinte.
Teorema. Seja A um anel comutativo. Então A é um domı́nio de integridade
se e somente se A é um subanel de um corpo.
Demonstração. Seja A um subanel de um corpo K e sejam a, b ∈ A tais que
ab = 0. Mostraremos que a = 0 ou b = 0, em outras palavras, mostraremos que
se a 6= 0 então b = 0. Se a 6= 0 então existe a−1 ∈ K (pois K é um corpo) logo
multiplicando os dois lados de ab = 0 por a−1 obtemos b = aba−1 = 0a−1 = 0.
Agora vamos mostrar a outra implicação, isto é, que se A é um domı́nio de
integridade então A é um subanel de um corpo. Seja R := {(a, b) : a, b ∈
A, b 6= 0}. Vamos definir uma relação ∼ em R da forma seguinte:
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
Se trata de uma relação de equivalência:
1. Propriedade reflexiva. Se (a, b) ∈ R então (a, b) ∼ (a, b) pois ab = ba (A é
comutativo).
2. Propriedade simétrica. Se (a, b) ∼ (c, d) então (c, d) ∼ (a, b). De fato,
(a, b) ∼ (c, d) significa ad = bc, que implica da = cb (A sendo comutativo)
logo (c, d) ∼ (a, b).
3. Propriedade transitiva. Suponha (a, b) ∼ (c, d) ∼ (e, f ), e vamos mostrar
que (a, b) ∼ (e, f ), isto é, que af = be. Temos ad = bc e cf = de.
Multiplicando os dois lados de ad = bc por e temos ade = bce e usando
cf = de obtemos acf = bce, isto é, caf − cbe = 0 (A é comutativo).
Isolando c temos c(af − be) = 0 (propriedade distributiva) logo se c 6= 0
então af = be, o que queremos (pois A é um domı́nio de integridade).
Agora suponha c = 0. Precisamos mostrar que se ad = 0 e de = 0 então
af = be. Como d 6= 0 e A é um domı́nio de integridade, ad = 0 e de = 0
implicam a = e = 0 logo af = be vale.
As classes de equivalência de ∼ são [(a, b)]∼ := {(x, y) ∈ R : (x, y) ∼ (a, b)}.
O conjunto quociênte é
K := R/ ∼ = {[(a, b)]∼ : (a, b) ∈ R}.
Queremos dar a K estrutura de corpo contendo uma copia do anel A.
A primeira coisa para fazer é usar uma notação menos complicada para a
classe de equivalência [(a, b)]∼ , vamos por
a
:= [(a, b)]∼ .
b
2
Com essa notação, lembrando que o que acontece em Q é
a
c
ad + bc
+ =
,
b
d
bd
ac
ac
:=
bd
bd
é natural pegar essas igualdades como definição de soma e produto em K, em
outras palavras (mais formais)
[(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ := [(ac, bd)]∼ .
[(a, b)]∼ + [(c, d)]∼ := [(ad + bc, bd)]∼ ,
Agora precisamos verificar que + e · fazem de K um corpo. No que segue
lembre-se que por definição de classe de equivalência, [(a, b)]∼ = [(c, d)]∼ se e
somente se (a, b) ∼ (c, d), isto é, ab = dc se e somente se ad = bc.
1. + é bem definida. Se ab = xy (isto é, ay = bx) e dc = wz (isto é, cw = dz)
= xw+yz
precisamos mostrar que ab + dc = xy + wz , isto é, ad+bc
bd
yw , isto é,
(ad + bc)yw = bd(xw + yz), que segue das propriedades comutativa do
produto e distributiva e do fato que ay = bx e cw = dz.
2. · é bem definida. Se Se ab = xy (isto é, ay = bx) e dc = wz (isto é, cw = dz)
xz
precisamos mostrar que ab · dc = xy · wz , isto é, ac
bd = yw , em outras palavras
acyw = bdxz, o que segue da propriedade comutativa do produto e do fato
que ay = bx e cw = dz.
3. (K, +) é um grupo abeliano com elemento neutro
(em outras palavras, − ab é por definição −a
b ).
0
1
e o inverso de
a
b
é
−a
b
A operação + é associativa pois
a
c
e
ad + bc
e
(ad + bc)f + bde
( + )+ =
+ =
b
d
f
bd
f
bdf
a
c
e
a cf + de
adf + (cf + de)b
+( + )= +
=
b
d f
b
df
bdf
são iguais pois (ad + bc)f + bde = adf + (cf + de) pelas propriedades
comutativa e distributiva de A.
4. (K, ·) é um monoide comutativo com elemento neutro
associativa pois
1
1.
A operação · é
a ce
ace
ac e
a c e
a c e
·( · )= ·
=
=
· =( · )· .
b d f
b df
bdf
bd f
b d f
É comutativa pois
a
b
·
c
d
=
ac
bd
=
ca
db
=
c
d
· ab , sendo A comutativo.
5. A propriedade distributiva, isto é, o fato que ab · ( dc + fe ) = ab · dc + ab · fe
(podemos verificar só essa pois · é comutativo). De fato, temos ab ·( dc + fe ) =
+de)
+de
acbf +bdae
ae
· cfdf
= a(cfbdf
e ab · dc + ab · fe = ac
são iguais pois
bd + bf =
bdbf
a(cf +de)(bdbf ) = bdf (acbf +bdae) (definição de igualdade entre frações).
a
b
3
6. Todo elemento diferente de zero tem inverso. De fato, se ab ∈ K e ab 6=
0 = 01 , isto significa que a · 1 6= b · 0, isto é, a 6= 0, logo ab ∈ K. Temos
a b
ab
1
b · a = ba = 1 sendo ab = ba.
Isso mostra que K é um corpo. Agora, observe que A pode ser identificado
com à := { a1 : a ∈ A}, que é um subanel de K, sendo a1 + 1b = a+b
e
1
ab
a b
1 · 1 = 1 .
O corpo K construido na prova acima é dito corpo de frações de A e indicado
com K(A). Por exemplo K(Z) = Q. Um outro exemplo é dado pelos polinômios:
P (X)
K(Z[X]) = Q(X), onde Q(X) é o anel (na verdade, corpo) das frações Q(X)
onde P (X), Q(X) são polinômios de Q[X] e Q(X) 6= 0.
Nos exercı́cio que seguem, como sempre, “anel” significa “anel unitário”, isto
é, existe 1 e 1 6= 0.
Exercı́cio: seja G um grupo abeliano aditivo e seja R = End(G) o conjunto
dos homomorfismos de grupo G → G (os endomorfismos de G). Mostre que
R é um anel (em geral não comutativo) com as operações +, ◦ definidas por
(f + g)(x) := f (x) + g(x) e (f ◦ g)(x) := f (g(x)).
Exercı́cio: seja G o grupo aditivo cı́clico Z/nZ = {0, 1, 2, . . . , n−1}. Mostre
que End(G) (definido no exercı́cio acima) é um anel comutativo.
Exercı́cio: mostre que Z/nZ com as operações (x + nZ) + (y + nZ) :=
(x + y) + nZ e (x + nZ) · (y + nZ) := xy + nZ é um anel comutativo. É um
domı́nio de integridade?
[Obs: é um exemplo de anel quociênte, falarei disso em sala de aula.]
Exercı́cio: seja A um anel de cardinalidade finita. Mostre que se A é um
domı́nio de integridade, então A é um corpo. [Dica: dado a ∈ A diferente de
zero considere a função A → A dada pela multiplicação por a.]
Exercı́cio: sejam A, B aneis e seja A × B o produto direto de A e B, com
as operações (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)(c, d) = (ac, bd), elementos
neutros (0, 0) e (1, 1). Mostre que A × B é um anel e que não é um domı́nio de
integridade.
Exercı́cio: (já sabendo o que é um homomorfismo de aneis) Dado um
domı́nio de integridade A, mostre que A → K(A), a 7→ a1 é um homomorfismo
injetivo de aneis.
4
Fly UP