...

Trabalho 3

by user

on
Category: Documents
1

views

Report

Comments

Transcript

Trabalho 3
MEEC
Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
MCSDI
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Guião do trabalho laboratorial nº 3
Análise no domínio dos tempos de sistemas
representados no Espaço dos Estados
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
1
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados
no Espaço dos Estados
Sumário: Pretende-se com este trabalho utilizar as potencialidades do software MATLAB (com
a Control System Toolbox) na manipulação e análise de sistemas representados no
Espaço dos Estados.
1. Funções básicas de Álgebra Linear em MATLAB
O MATLAB é um software de computação numérica que possui na sua versão base um vasto
leque de funções genéricas. Nesta secção pretende-se que o aluno se familiarize apenas com
algumas das mais relevantes.
1.1.
Vectores
Para criar um vector usam-se os caracteres [ e ] que delimitam o conjunto de elementos
(separados de um espaço), sendo também necessário atribui-lo a uma variável.
>> v=[1 0 -3 5 2]
v =
1
0
-3
5
2
A criação de vectores com elementos igualmente espaçados é feita dando o valor inicial, o
espaçamento e o valor final. Este método é muito usado na criação de vectores de tempo. Por
exemplo, para criar um vector com elementos entre 0 e 8 igualmente espaçados de 2 unidades,
deve-se escrever o comando:
>> u=0:2:8
u =
0
2
4
6
8
Para somar dois vectores (desde que tenham a mesma dimensão) basta:
>> v+u
ans =
1
2
1
11
10
Para adicionar um valor a todos os elementos de um vector:
>> c=v+2
c =
3
2
-1
7
4
Da mesma forma, para multiplicar um vector por um valor:
>> d=v*0.2
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
2
d =
0.2000
1.2.
0
-0.6000
1.0000
0.4000
Matrizes
A introdução de matrizes é bastante semelhante à de vectores. São usados os caracteres [ e ]
para delimitar a matriz, cada linha é constituída por um conjunto de valores separados por um
espaço e terminada com o caracter ; (ou alternativamente fazer Enter).
>> A=[1 2;4 5]
A =
1
4
2
5
Para determinar a matriz transposta utiliza-se o operador apóstrofo ( ‘ ), no caso da matriz
conter elementos complexos deverá ser usado o operador .’ (caso contrário seria retornada a
matriz transposta conjugada):
>> B=A'
B =
1
2
4
5
Para realizar operações entre matrizes é necessário ter em consideração as suas dimensões:
>> A*[1 1]
??? Error using ==> mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
>> A*B
ans =
5
14
14
41
A multiplicação de matrizes elemento a elemento e não a multiplicação normal de matrizes
(linha por coluna), é realizada através do uso do ponto (.) antes do operador de multiplicação:
>> A.*B
ans =
1
8
8
25
Outro exemplo do efeito da utilização do ponto, nomeadamente no operador potência (^):
>> A^2
%o mesmo que fazer A*A
ans =
9
24
12
33
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
3
>> A.^2
ans =
1
16
4
25
Neste caso a operação é feita elemento a elemento, resultando uma matriz onde cada
elemento foi elevado ao quadrado.
Para encontrar a inversa de uma matriz:
>> inv(A)
ans =
-1.6667
1.3333
0.6667
-0.3333
O cálculo do determinante é feito pelo uso da função det:
>> det(A)
ans =
-3
A função eig permite encontrar os valores próprios da matriz (raízes do polinómio
característico) usada como parâmetro:
vp=eig(A)
vp =
-0.4641
6.4641
No caso de serem especificadas duas variáveis de retorno, a função eig devolve uma matriz
cujas colunas representam os vectores próprios (vecp) normalizados e uma matriz (forma
canónica de A) cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios da matriz (valp).
[vecp,valp]=eig(A)
vecp =
-0.8069
0.5907
-0.3437
-0.9391
valp =
-0.4641
0
0
6.4641
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
4
2. Representação de sistemas no Espaço dos Estados
A representação de um sistema no Espaço dos Estados é uma das formas possíveis de o
representar matematicamente. Trata-se de uma representação no domínio dos tempos que
contrasta com a representação por Função de Transferência que se baseia no domínio das
frequências.
Conceitos associados a este método de representação de sistemas dinâmicos:
Estado
Menor conjunto de variáveis que permitem determinar
completamente o comportamento de um sistema para qualquer
instante t≥t0, desde que sejam conhecidos os valores dessas
variáveis em t=t0 e o da entrada para t≥t0.
Variáveis de Estado
São as variáveis que num sistema dinâmico constituem o menor
conjunto de variáveis (x1, x2, …, xn) que determinam o estado do
sistema.
Vector de Estado
Vector constituído pelas n variáveis de estado necessárias para
determinarem completamente o estado de um sistema.
Espaço dos Estados
Espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são os eixos
referentes a x1, x2, …xn. Qualquer estado do sistema pode ser
representado por um ponto neste espaço n-dimensional.
Para obter a representação no Espaço dos Estados considere-se um sistema descrito pela
equação diferencial linear de coeficientes constantes:
d n −1 y
dny
d nu
d n −1u
+
a
+
K
+
a
y
=
b
+
b
+K + bn u
n
1
0
1
dt n
dt n −1
dt n
dt n −1
Com a1 , K , an , b0 , K , bn ∈ ℜ e onde y é a saída e u a entrada.
A respectiva Função de Transferência vem:
Y ( s ) b0 s n + b1 s n −1 +K + bn
= n
U ( s)
s + a1 s n −1 +K + a n
Considere-se X1 como uma variável interna do sistema:
U (s )
1
sn + a1sn−1 +K+ an
X 1 (s)
b0sn + b1sn−1 +K+ bn
Y (s )
Então
Y ( s ) = b0 s n X 1 ( s ) + b1s n −1 X 1 ( s ) + K + bn X 1 ( s )
Fazendo
X 2 ( s ) = sX 1 , X 3 ( s ) = s 2 X 1 , …, X n ( s ) = s n −1 X 1
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
5
vem:
x&1 = x 2
x& 2 = x 3
M
x& n −1 = x n
x& n = − a1 x n − a 2 x n −1 − K − a n x1 + u
y = bn x1 + bn −1 x 2 + K + b1 x n + b0 x& n
Quando colocadas na forma matricial as equações formam um sistema onde x é o vector de
estado, u a entrada, y a saída, A a matriz de estado, B a matriz de entrada, C a matriz de
saída e D a matriz de transmissão directa.
⎧ x& = Ax + Bu
⎨
⎩y = Cx + Du
Equação 1: Representação genérica no Espaço dos Estados
Na forma de diagrama de blocos:
D(t )
x& (t )
+
+
∫
dt
x(t )
+
u(t )
B(t )
C(t )
+
y (t )
A(t )
Figura 1: Sistema de controlo linear contínuo no tempo representado no Espaço dos Estados
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
6
3. Análise de sistemas representados no Espaço dos Estados
3.1.
Primeiro exemplo
Considere o sistema mecânico linear apresentado na figura 2. A entrada do sistema é a força
externa f(t) aplicada à massa e o deslocamento resultante y(t) a saída.
K
f(t)
M
y(t)
B
Figura 2: Sistema mecânico composto por massa, mola e amortecedor
Analisando o sistema obtém-se:
M&y&(t ) + By& (t ) + Ky (t ) = f (t )
Equação 2: Equação dinâmica que rege o sistema mecânico
O sistema em estudo é de 2ª ordem (dois integradores), nesta situação devem ser
consideradas duas variáveis de estado x1(t) e x2(t):
x1 (t ) = y (t ) , posição
x 2 (t ) = y& (t ) , velocidade
Obtendo-se
x&1 = x 2
x& 2 = −
1
K
B
x1 −
x2 +
f
M
M
M
Vindo a equação da saída
y = x1
O passo seguinte é a representação das equações na forma matricial:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0
⎢ x& ⎥ = ⎢− K
⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ M
1 ⎤⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤
B ⎥ 1 +⎢ 1 ⎥f
− ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥
M ⎦⎣ ⎦ ⎣ M ⎦
⎡x ⎤
y = [1 0]⎢ 1 ⎥
⎣ x2 ⎦
Equação 3: Representação no Espaço dos Estados do sistema mecânico da figura 2
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
7
Onde:
⎡ 0
A=⎢ K
⎢⎣− M
1 ⎤
⎡0⎤
B ⎥; B = ⎢ 1 ⎥; C = [1 0]; D = [0]
− ⎥
⎢⎣ M ⎥⎦
M⎦
3.1.1. Introdução do sistema no MATLAB
a) Inicie a aplicação MATLAB.
b) Para fins do exemplo, considere os valores dos parâmetros M, K, B do sistema
mecânico mostrados na figura 3.
Figura 3: Introdução dos parâmetros da massa, mola e amortecedor
c) Introduza as matrizes A, B, C e D da representação no Espaço dos Estados do sistema
através da consola do MATLAB. O resultado deverá ser semelhante à figura 4.
Figura 4: Introdução das matrizes de estado, entrada, saída e transmissão directa
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
8
d) Verifique as matrizes introduzidas escrevendo o nome da variável onde foi guardada
seguida de ENTER.
e) Para definir as matrizes como sendo a representação de um sistema no Espaço dos
Estados é necessário executar a função State-Space (Control System Toolbox) através
do comando ss. Esta função numa das suas formas aceita como parâmetros de
entrada as quatro matrizes definidas anteriormente. Para obter informação mais
detalhada desta função (ou de qualquer outra) escreva na consola a palavra help
seguida do nome da função.
f)
Execute a função ss (figura 5) com as matrizes A, B, C e D como parâmetros de
entrada. Note o uso da variável exemplo1 onde ficará guardado o sistema na forma de
Espaço de Estados.
Figura 5: Sistema definido no Espaço dos Estados em MATLAB
3.1.2. Estabilidade no domínio dos tempos
A estabilidade do sistema (equação 3) pode ser avaliada através da equação característica da
matriz A:
sI − A = 0
A equação característica é um polinómio em s. Se todas as raízes deste polinómio possuírem
parte real negativa, então o sistema é estável.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
9
Determine a estabilidade do sistema em estudo:
a) Utilize a função poly para obter o polinómio característico da matriz de estado. Em
seguida obtenha as suas raízes através da função roots.
Figura 6: Polinómio característico e respectivas raízes
b) O que pode ser concluído relativamente à estabilidade do sistema?
c) Que função do MATLAB abordada anteriormente neste guião permite obter
directamente as raízes do polinómio característico de uma matriz?
3.1.3. Resposta temporal do sistema
A resposta temporal de um sistema no Espaço dos Estados é dada pela solução do vector:
t
∫
x(t ) = e x(0) + e A (t − t ') Bu (t ' ) dt '
At
0
Equação 4: Resposta das variáveis de estado no domínio dos tempos
Onde o primeiro membro da soma representa a reposta devido às condições iniciais e o
segundo a resposta devido à entrada u(t), não considerando condições iniciais.
Alternativamente, no domínio complexo vem:
X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0) + ( sI − A ) −1 BU ( s )
Obtenha a resposta temporal do sistema para uma entrada do tipo degrau unitário e condições
iniciais nulas:
a) A resposta ao degrau de amplitude Amp considerando condições iniciais nulas pode ser
obtido directamente usando a função step da seguinte forma:
step(Amp*exemplo1)
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
10
Step Response
0.4
0.35
0.3
Amplitude
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
Figura 7: Resposta do sistema ao degrau unitário, com condições iniciais nulas
b) Caracterize o tipo de resposta apresentada pelo sistema.
Considere condições iniciais x1(0)=x2(0)=1 e entrada do sistema nula (f(t)=0). Para esta
situação determine o valor das variáveis de estado para o instante t=5s e a resposta temporal
do sistema devido apenas às condições iniciais.
a) Da equação 4 verifica-se que nesta situação (entrada nula) a reposta temporal é obtida
por:
x(t ) = e At x(0)
b) Crie um vector (x0) para as condições iniciais.
c) A matriz exponencial Φ(t ) = e At para um dado instante é calculada através da função
expm como mostra a figura 8.
d) Obtenha os valores de x1 e x2 para t=5s multiplicando a matriz Φ(t ) pelo vector de
condições iniciais x0.
e) Para obter a resposta temporal do sistema apenas devido às condições iniciais use a
função initial.
>> initial(exemplo1,x0)
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
11
Figura 8: Valores das variáveis de estado x1 e x2 para t=5s
f)
Explique o valor da resposta temporal do sistema (figura 9) para t=5s. Relembre que a
resposta de y(t), com base na equação 4, é dada por:
t
⎡
⎤
y (t ) = C ⎢e At x(0) + e A (t − t ') Bu (t ' )dt '⎥ + Du (t )
0
⎣⎢
⎦⎥
∫
Equação 5: Resposta da saída y(t) no domínio dos tempos
Response to Initial Conditions
2
1.5
Amplitude
1
0.5
System: exemplo1
Time (sec): 5
Amplitude: 0.26
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
Figura 9: Resposta temporal devido apenas às condições iniciais. Gráfico gerado com a função initial.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
12
3.1.4. Relação entre modelos
O MATLAB disponibiliza funções que permitem obter uma representação equivalente no
Espaço dos Estados de um sistema a partir da sua função de transferência, e vice-versa.
A Função de Transferência do sistema considerado neste exemplo obtida da equação 2 é:
1
X ( s)
M
=
B
K
F ( s)
2
s +
s+
M
M
Substituindo M, B e K pelos valores numéricos usados no ponto 3.1.1. b) vem:
X (s)
0.1
= 2
F ( s ) s + 0.5s + 0.3
Obtenha a representação no Espaço dos Estados a partir da função de transferência anterior:
a) Na consola do MATLAB introduza dois vectores, um referente ao numerador e outro ao
denominador da Função de Transferência.
b) Visualize a Função de Transferência através do uso da função Transfer Function (tf),
como mostrado na figura 10.
Figura 10: Introdução da Função de Transferência do sistema no MATLAB
c) Use a função tf2ss como demonstrado na figura 11. As letras A, B, C e D
correspondem às variáveis onde serão guardadas as matrizes de estado, entrada, saída
e transmissão directa.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
13
Figura 11: Reapresentação no Espaço dos Estados com base na Função de Transferência
d) Obtenha os valores próprios da matriz de estado (A) e compare-os com a resposta do
ponto 3.1.2. a).
e) Transforme o sistema novamente para Função de Transferência através da função
ss2tf:
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
A Função de Transferência também pode ser obtida directamente da representação em
Espaço de Estados através da função tf:
>> tf(exemplo1)
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
3.2.
14
Segundo exemplo
Considere o sistema eléctrico apresentado na figura 12 com entrada u(t) e duas saídas (y1(t) e
y2(t)).
R
R
u(t)
y1(t)
R
y2(t)
iL1(t)
L1
L2
iL2(t)
Figura 12: Sistema eléctrico com dois elementos armazenadores de energia
a) Encontre uma representação do sistema no Espaço dos Estados. Considere as
variáveis com sentido físico x1 = iL1 e x2 = iL 2 .
b) Introduza a representação encontrada no MATLAB utilizando as matrizes A, B, C e D.
Considere R=10, L1=1 e L2=2.
Y (s)
Y ( s)
e 2
da representação no Espaço dos
c) Obtenha as Funções de Transferência 1
U (s)
U (s)
Estados.
d) Calcule os valores próprios e vectores próprios da matriz de estado. O que conclui
sobre a estabilidade do sistema?
e) Considere o sistema para u(t)=0. Analise o comportamento do sistema no Plano dos
Estados (x1, x2) para várias condições iniciais:
•
Para fazer a simulação do sistema use a função lsim. Inicialmente terá que definir
um vector de tempo, um vector com o sinal de entrada e por fim o vector com as
condições iniciais das variáveis de estado. A função retorna 3 matrizes com os
valores das saídas (y, nº de colunas = nº de saídas), do tempo (t) e das variáveis
de estado (x, nº de colunas = nº de variáveis de estado). Para a primeira simulação
use como condição inicial x(0)=[2 2]T.
>>
>>
>>
>>
•
t=0:0.01:1;
u=0*t;
x0=[2;2];
[y,t,x]=lsim(exemplo2,u,t,x0);
O traçado no Plano dos Estados é obtido considerando as duas colunas da matriz
de saída x:
>> plot(x(:,1),x(:,2));
>> xlabel('x1');ylabel('x2');
•
Altere os eixos do gráfico de forma a visualizar todos os quadrantes:
>> axis([-5 5 -5 5]);
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
•
15
Para que seja possível adicionar novos traçados à mesma figura sem que o
MATLAB altere a escala dos eixos, deverá executar o comando:
>> hold on
•
Utilize a função line para adicionar linhas como eixos (figura 13):
>> line([-5,5],[0,0]);
>> line([0,0],[-5,5]);
5
4
3
2
x2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
x1
1
2
3
4
5
Figura 13: Trajectória no plano de Estados para x1(0)=x2(0)=2
•
Obtenha mais traçados no Espaço dos Estados para várias condições iniciais
que considere significativas de forma a entender o comportamento do sistema.
Para cada simulação deverá:
i.
ii.
iii.
Actualizar o vector x0;
Executar: [y,t,x]=lsim(exemplo2,u,t,x0);
Executar: plot(x(:,1),x(:,2));
ATENÇÃO: Entre simulações não feche a janela, senão perderá todos os dados.
•
f)
Que conclusões retira dos traçados que obteve?
Utilizando a função lsim obtenha a reposta temporal do sistema (y1(t) e y2(t)) para uma
tensão de entrada em degrau com amplitude igual a 100v e condições iniciais nulas.
(Nota: use as funções ones e size para criar o vector de entrada).
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
16
Linear Simulation Results
100
90
80
To: Out(1)
70
60
50
40
30
20
Amplitude
10
0
100
90
To: Out(2)
80
70
60
50
40
30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
Figura 14: Resposta do sistema às condições definidas na alínea f)
g) Obtenha a representação diagonal do sistema:
⎧d& = W -1 AWd + W -1Bu
⎨
y = CWd + Du
⎩
Crie uma nova variável (W) para a matriz de mudança de base e utilize-a na função
ss2ss:
>> exemplo2d=ss2ss(exemplo2,inv(W))
h) Recorrendo ao SIMULINK obtenha um modelo da representação do sistema obtido na
alínea anterior. Deverá apenas utilizar blocos elementares (integradores, ganhos,
funções definidas pelo utilizador, somadores,…).
•
Execute o comando simulink para lançar o Simulink Library Browser.
•
Crie um novo modelo (File→New→Model). Deverá ter nesta fase as janelas
representadas na figura 15.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
17
Figura 15: Janela do MATLAB e janelas principais do SIMULINK
•
Para criar o modelo do sistema deverá localizar os diversos elementos na
Simulink Library Browser e arrasta-los para a janela do novo modelo.
•
O sinal de entrada a usar será um degrau (mesmas condições da alínea f)), para
o obter use o bloco Step (biblioteca Simulink→Sources).
•
Defina o degrau de entrada para o instante t=0s e amplitude igual a 100 .
Figura 16: Janela das propriedades do elemento Step
•
A visualização da resposta das saídas deverá ser feita através de dois blocos
Scope (biblioteca Simulink→Sinks).
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
18
Figura 17: Elementos necessários para gerar o sinal de entrada e visualizar as saídas
•
Para criar o restante modelo use os blocos integrador, ganho e soma de acordo com
a representação diagonal do sistema que obteve anteriormente.
•
O bloco Integrator encontra-se na biblioteca Simulink→Continuous.
•
Os blocos Gain e Sum encontram-se na biblioteca Simulink→Math Operations.
•
Depois de colocar todos os elementos necessários (figura 18) estabeleça as
ligações entre os elementos.
Figura 18: Representação parcial do sistema recorrendo apenas a blocos elementares
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
•
19
Preencha os blocos Gain (figura 19) com os valores obtidos da representação
diagonal do sistema. Para aceder à janela de propriedades faça duplo clique
sobre o bloco.
Figura 19: Janela das propriedades do elemento Gain
•
Através do menu Simulation→Configuration Parameters da janela do modelo,
coloque o parâmetro Stop time igual a 1 (figura 20).
Figura 20: Janela de configuração de parâmetros da simulação
•
Faça a simulação e abra os blocos Scope para visualizar as respostas. Caso
seja necessário use a função Autoscale
os eixos de forma a visualizar todo o sinal.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
que redimensiona automaticamente
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
20
Figura 21: Resposta temporal da saída y1
Figura 22: Resposta temporal da saída y2
•
i)
Compare as respostas com as obtidas na alínea f).
Analise a controlabilidade e observabilidade através das funções ctrb e obsv que
aceitam como entrada o sistema em Espaço de Estados e retornam as matrizes de
controlabilidade (Q) e observabilidade (R), respectivamente. O número de estados não
controláveis/observáveis pode ser obtido da forma:
length(A)-rank(Q ou R)
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados
21
4. Conclusões
Acabamos de ver como é possível recorrendo a funcionalidades do MATLAB e da Control
System Toolbox efectuar o estudo da resposta temporal de um sistema representado no
Espaço de Estados.
As noções aqui introduzidas, de uma forma necessariamente resumida, podem ser
desenvolvidas recorrendo à bibliografia que se apresenta de seguida.
5. Bibliografia
[1] – J. L. Martins de Carvalho; Dynamical Systems and Automatic Control; Prentice-Hall; 1993.
[2] – Katsuhiko Ogata; Engenharia de Controle Moderno; Prentice-Hall do Brasil; 1982.
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos
Vítor Cunha, Tenreiro Machado
Fly UP