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MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ESCOLA BÁSICA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ESCOLA BÁSICA
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ESCOLA BÁSICA: ENSINANDO A
ENFRENTAR OS DESAFIOS DO COTIDIANO
Lilian Nasser
UFRJ /CETIQT/SENAI
Geneci Alves de Sousa
SME-RIO/ UNIABEU/ CETIQT/SENAI
José Alexandre R. Pereira
SME-RIO/ SEEDUC-RJ
Marcelo André A. Torraca
SEEDUC-RJ/ UNIABEU
Raphael Pereira dos Santos
SEEDUC-RJ
Vanessa Matos Leal
Universidade Federal do Rio de Janeiro
[email protected]
Resumo:Constantemente, passamos por situações financeiras em que é preciso tomar
decisões quanto à forma de pagamento de impostos e contas: à vista ou a prazo? Se for a
prazo, é melhor com entrada ou sem entrada? Em muitas prestações ou em poucas
prestações? Tudo depende da taxa de juros cobrada, do desconto que se consegue para o
pagamento à vista, do número de parcelas e da taxa de investimento. São muitas as
situações financeiras do nosso cotidiano: pagamento de impostos como IPTU, IPVA,
Imposto de Renda, desconto para a aposentadoria, além do pagamento de compras. Neste
minicurso vamos esclarecer como optar pela maneira mais vantajosa de pagar esses
encargos. E no dia-a-dia das compras, vamos aprender a calcular os juros embutidos nas
vendas a prazo. Em geral, esse tipo de problema não tem sido abordado na Educação
Básica, e nem aparece nos livros-textos do Ensino Médio. Para resolver esses desafios será
usada uma abordagem inovadora, prática e visual, em que a situação é representada no
“eixo das setas”, levando à aquisição de um método simples, que permite a resolução de
qualquer problema de Matemática Financeira, sem o uso de fórmulas.
Palavras-chave: Matemática Financeira; Eixo das setas; Valor do dinheiro.
A Matemática Financeira no dia-a-dia
Devido às ofertas oferecidas pela mídia, muitas vezes ficamos em dúvida em
relação à melhor forma de efetuar nossos pagamentos. A princípio, sempre vale a pena
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pagar à vista, desde que se tenha a quantia disponível e seja dado um desconto. Se a oferta
é do tipo “mesmo preço à vista ou prazo, sem juros”, e não é concedido desconto para a
compra à vista, deve-se optar pelo pagamento parcelado. Nesse caso, a quantia que
deixamos de pagar à vista deve ser aplicada em investimentos ou na Caderneta de
Poupança, para render juros até as datas das parcelas.
São muitas as situações financeiras que enfrentamos no nosso cotidiano: pagamento
de impostos como IPTU, IPVA, Imposto de Renda, desconto para a aposentadoria. Neste
minicurso vamos esclarecer como optar pela maneira mais vantajosa de pagar esses
encargos. Outras situações que serão exploradas são como levar vantagem propondo o
pagamento antecipado de um ano de aluguel e como juntar dinheiro mensalmente para
honrar um pagamento no futuro. Atualmente, com o aumento da expectativa de vida, é
recomendável fazer um plano de previdência privada. Vamos calcular quanto devemos
depositar por mês a partir de certa idade, para garantir uma retirada fixa mensal a partir dos
65 anos de idade. E no dia a dia das compras, vamos aprender a calcular os juros
embutidos nas vendas a prazo.
Embasamento matemático necessário
Pode parecer incrível, mas é possível resolver esses problemas com poucos
conhecimentos matemáticos anteriores. Vamos usar uma representação visual dos
problemas, que chamamos de “eixo das setas” (NOVAES, 2009). As taxas de juros, de
aumento ou de desconto devem ser sempre representadas na notação decimal.
Por exemplo, para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de
15%, representamos a taxa i = 0,15 e basta multiplicar o preço original P por 1,15, já que:
P + 15% de P = P + 0,15 P = 1,15 P.
No caso de um desconto de 20%, por exemplo, o novo preço é obtido por meio de
uma única operação, de multiplicação pelo fator 1 – i = 1 – 0,2 = 0,8.
De modo geral, para calcular o valor após um aumento de uma taxa i (na notação
decimal), basta multiplicar o valor original por (1+i), e no caso de um desconto, multiplicase por (1  i) .
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O uso da porcentagem como fator é também mais adequado ao uso da calculadora
na resolução dos problemas, o que é recomendado, inclusive pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1988). Para calcular um valor depois de acréscimos ou descontos
sucessivos, a notação decimal deve ser usada para multiplicar (e não para somar) as taxas
(MORGADO, WAGNER, ZANI, 2005).
Imagine que um produto sofra um aumento de 30% num mês e outro de 10% no
mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total sobre o preço do produto nesses dois
meses?
Pode-se supor que o preço do produto seja R$ 100,00. Com o aumento de 30%,
temos:
100+(30% x100)=100 + (0,30x100) = 100x (1+0,30)= 100x1,3=130
Após o aumento de 10% teremos:
130+(0,10x130)= 130+(1+0,10)=130x1,10=143
ou
1,10x(1,30x100) = 1,43x100=143.
100
0
130
1
x 1,30
143
x 1,10 2
x 1,43
Portanto, a taxa total de aumento é de 43%.
O mesmo problema poderia ser resolvido sem arbitrar um valor numérico, usando
uma letra para representar o preço do produto.
Conjugando o eixo das setas com o uso da taxa como fator e o uso da calculadora, é
possível estabelecer um método de raciocínio que pode ser aplicado a qualquer problema.
O valor do dinheiro
Para determinar a melhor forma de fazer um pagamento, à vista ou a prazo, a que é
mais vantajosa, temos que equiparar os valores numa mesma época. Estas decisões
dependem de quanto a pessoa consegue fazer render o dinheiro, que é a “taxa mínima de
atratividade”.
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É importante chamar atenção que a variação do dinheiro ao longo do tempo exerce
um papel fundamental na Matemática Financeira, já que
todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão
apoiadas no fato do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra
data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os
valores aplicados. (SÁ, 2005, p. 44)
Por exemplo, se a caderneta de poupança rende 2% ao mês, a quantia de R$ 100,00
hoje valerá R$ 102,00 daqui a um mês, R$ 104,04 daqui a 2 meses, R$ 106,12 daqui a 3
meses.
Atenção: não se pode comparar quantias em datas diferentes, mas apenas aquelas
que se referem à mesma época.
Se o valor atual é representado por A, o valor futuro F, depois de n períodos de
aplicação a uma taxa i, é dado por: F=A(1+i)n
Assim:
n
Para obter valor futuro, basta multiplicar o valor atual por (1  i) .
n
Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1  i) .
Exemplo 1:
Um aparelho de DVD está anunciado em duas opções de pagamento: 3 prestações
mensais de R$ 180,00 cada, ou em 6 prestações mensais de R$ 100,00, ambos com
entrada. Qual é a opção mais vantajosa, se posso fazer render meu dinheiro a uma taxa de
5% ao mês?
180
180
180
100
100
100
100
100
100
0
1
2
0
1
2
3
4
5
Para resolver o problema, determinaremos o valor dos dois conjuntos de
pagamentos na mesma época, por exemplo, na época 2.
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Na 1ª opção:
V= 180(1+0,05)2+180(1+0,05)+180= 180x1,1025+180x1,05+180=R$567,50
Na 2ª opção:
V=100(1,05)2+100(1,05)+100+100/1,05/+100/1,052+100/1,053=R$587,57
Portanto, o valor em 3 prestações é menor.
Exemplo 2:
Bia pegou um empréstimo de R$ 300,00 a juros mensais de 15%.
Dois meses depois, Bia pagou R$ 150,00 e, um mês após esse pagamento liquidou seu
débito. Qual o valor desse último pagamento?
Aplicar juros de 15% ao mês significa multiplicar a quantia por 1,15 em cada
período de um mês. Esta situação pode ser representada no eixo das setas:
. (1,15)
2
–
396,75
150,00
246,75
300,00
0
Nossa

. (1,15)
1
2
x (1,15)
Portanto, o último pagamento
foi de R$ 283,76.
(((((1,10
)
11,1,1,,,
,,,,1,111
proposta:
1I,10(1,
Abordagem prática e visual
10) para o ensino de Matemática
283,76
3
Financeira, explorando
situações do cotidiano;
 Uso da porcentagem como fator, na notação decimal;
 Representação da situação no eixo das setas;
 Valorização do raciocínio, em vez do uso de fórmulas;
 Incentivo ao uso da calculadora;
 Relacionar o conteúdo de Matemática Financeira com funções e progressões;
 Importância à variação do valor do dinheiro no tempo.
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Neste mini-curso vamos apresentar desafios financeiros do cotidiano, que podem
ser resolvidos usando essa proposta.
Desafios contextualizados
Problema 1: Pagamento do IPVA (adaptado de ZENTGRAF, 2009)
O Estado do Rio de Janeiro oferece duas possibilidades para o pagamento anual do
IPVA. O pagamento pode ser feito em 3 parcelas mensais iguais ou pela cota única, com
desconto de 10% sobre a soma das parcelas.
Determine qual a taxa de juros embutida no pagamento parcelado.
Problema 2: Aluguel antecipado
O rapaz passou no vestibular, vai estudar em outra cidade, e precisa alugar um
apartamento próximo à sua faculdade.
O proprietário pede um aluguel mensal de
R$ 400,00, mas seu pai pretende fazer uma oferta para pagar um ano de aluguel adiantado.
O proprietário pensa que o valor anual do aluguel é de R$ 4 800,00, mas o nosso amigo
sabe que pode levar vantagem com o pagamento adiantado.
Qual o valor que ele deve oferecer, supondo que o seu dinheiro aplicado rende 1%
ao mês?
Problema 3: Cálculo do Imposto de Renda Retido na Fonte
A família tem 2 filhos: o mais velho tem 22 anos, e está cursando faculdade. A
filha de 17 anos está cursando o Ensino Médio. Portanto, os 2 filhos são dependentes do
chefe da família no Imposto de Renda.
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Observe a tabela de desconto do Imposto de Renda na fonte, em 2009.
Faixa de rendimento
Alíquota Parcela a deduzir
Até R$ 1 434,59
Isento
De R$ 1 434,60 a R$ 2 150,00
7,5%
R$ 107,59
De R$ 2 150,01 a R$ 2 886,71 15,0%
R$ 268,84
De R$ 2 886,72 a R$ 3 582,00 22,5%
R$ 483,84
Acima de R$ 3 582,01
27,5%
R$ 662,94
Para calcular o imposto:
1º) Tome o salário bruto mensal e subtraia o valor das deduções permitidas:
a) R$ 144,20 por dependente; b) dedução especial de R$ 1 434,59 para
aposentados, pensionistas e transferidos para a reserva remunerada com 65 anos ou mais;
c) contribuição mensal à Previdência Social de 8%; d) pensão alimentícia paga devido a
acordo ou sentença judicial.
2º) Multiplique o rendimento mensal pela alíquota e deduza a parcela
correspondente à faixa.
Fonte: Secretaria da Receita Federal
a) Nessas condições, como calcular o desconto mensal na fonte no salário de um
chefe de família que ganha R$ 4 500,00 por mês, tem apenas esses 2 dependentes, e não
paga pensão alimentícia?
b) Analisando a tabela do imposto de renda acima, você pode observar a existência
de parcelas a serem deduzidas em cada faixa. Você seria capaz de justificar o valor dessas
parcelas?
Problema 4: Festa de formatura
A filha vai terminar o Ensino Médio, e pretende participar da cerimônia e da festa
de formatura. Qual o valor fixo que o pai deve economizar mensalmente, de março a
dezembro, para poder pagar a cota de participação, que é de R$ 1 000,00, se o seu
investimento rende 2% ao mês?
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Problema 5: Viagem de férias
A família de 4 pessoas deseja fazer uma viagem nas férias de janeiro.
O pacote de uma semana sai por R$ 450,00 por pessoa, que podem ser pagos em 6
vezes sem juros (entrada + 5 prestações iguais).
Se é possível investir o dinheiro à taxa de 0,5% ao mês, qual o desconto que a
agência deveria oferecer no pagamento à vista, para que este fosse equivalente ao valor
financiado?
Problema 6: Complementação de aposentadoria
Um cidadão de 40 anos, pretende se aposentar aos 65 anos e deseja receber uma
complementação de aposentadoria de uma quantia mensal que corresponda ao que hoje
seriam R$ 2 000,00, durante 15 anos. Supondo que os depósitos e as retiradas sofram
correções monetárias e que os juros sobre o capital aplicado sejam compostos dessa mesma
correção mais uma taxa real de juros de 0,5% ao mês, qual o valor do depósito mensal que
deverá efetuar, a partir de agora, para atingir seu objetivo?
Problema 7:
Elabore um problema do seu cotidiano, alguma situação financeira que você tenha
vivenciado, e proponha para seus colegas resolverem.
Comentários finais
Neste mini-curso resolvemos problemas práticos, que ocorrem no dia a dia do
cidadão. Será que os alunos egressos do Ensino Médio estão preparados para enfrentar
situações desse tipo?
E os professores estão preparados para ensinar Matemática Financeira de modo
eficaz, abordando esse tipo de problema?
É preciso alertar os cidadãos para alguns erros comuns no trato com situações
financeiras, como:
- acréscimos ou descontos acumulados devem ser multiplicados e não somados;
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- pagamentos da mesma quantia em datas distintas não têm o mesmo valor;
- quantias que se referem a datas distintas não podem ser somadas;
- só é possível comparar formas diferentes de pagamento se as quantias forem
calculadas com referência à mesma data.
- os juros nas compras a prazo devem ser calculados sobre o valor financiado e não
sobre o preço total.
O ensino de Matemática Financeira deve esclarecer essas dúvidas, ajudando os
alunos a evitar as armadilhas anunciadas na mídia. E isso pode e deve ser feito de modo
dinâmico e visual, usando a notação decimal e o eixo das setas. A animação ajuda os
alunos a compreender a variação do dinheiro no tempo e facilita o desenvolvimento de
estratégias próprias na resolução de problemas.
Referências
BRASIL, Ministério da Educação Parâmetros Curriculares Nacionais. 1988
MORGADO, A.C., WAGNER, E. e ZANI, S. Progressões e Matemática Financeira.
Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: SBM, 2005.
NOVAES, Rosa C. N.: Uma abordagem visual para o ensino de Matemática
Financeira no Ensino Médio. Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pósgraduação em Ensino de Matemática, UFRJ, 2009.
SÁ, I. P. Matemática Comercial e Financeira (na educação básica). Rio de Janeiro, Ed.
Sotese, 2005.
ZENTGRAF, R. Dinheiro em Caixa. Coluna publicada às segundas feiras no jornal O
Globo, 2009.
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