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RELAXA¸C˜OES LMIS PARA REALIMENTA¸C˜AO DE SAÍDA

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RELAXA¸C˜OES LMIS PARA REALIMENTA¸C˜AO DE SAÍDA
X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
RELAXAÇÕES LMIS PARA REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA H∞ DE SISTEMAS
NEBULOSOS TAKAGI-SUGENO CONTÍNUOS NO TEMPO
Eduardo S. Tognetti∗ Ricardo C. L. F. Oliveira∗ Pedro L. D. Peres∗
∗
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação,
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 13083-852, Campinas, SP, Brasil.
Email: {edutog,ricfow,peres}@dt.fee.unicamp.br
Resumo— O projeto de controladores de realimentação de saı́da com critério H∞ para sistemas nebulosos
contı́nuos Takagi-Sugeno (T–S) é investigado neste trabalho. As funções de pertinência são modeladas em um
espaço definido como o produto cartesiano de simplexos, chamado multi-simplex, e podem variar de maneira
arbitrária (ou seja, não são assumidos limitantes para as derivadas temporais das funções de pertinência). O
controlador nebuloso estático de realimentação de saı́da é obtido por meio de um procedimento de duas etapas:
primeiramente, um ganho nebuloso estabilizante de realimentação de estados é determinado como solução de um
problema de otimização descrito por desigualdades matriciais lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities —
LMIs). A seguir, as matrizes dos ganhos de realimentação de estados são usadas em condições LMIs que, se
satisfeitas, fornecem o controlador H∞ nebuloso estático de realimentação de saı́da. Um função de Lyapunov do
tipo integral de linha com dependência polinomial arbitrária nas variáveis premissas é utilizada para assegurar
a estabilidade do sistema em malha fechada. O principal apelo da abordagem proposta é que os ganhos de
realimentação de saı́da podem ter estruturas polinomiais de graus arbitrários independentes em apenas algumas
das variáveis premissas, escolhidas pelo projetista, com vantagens significativas em aplicações práticas. Um
exemplo numérico ilustra os resultados, mostrando que a abordagem proposta pode prover resultados menos
conservadores para controle H∞ por realimentação de saı́da de sistemas nebulosos T–S contı́nuos no tempo.
Palavras-chave—
matriciais lineares.
Sistemas nebulosos Takagi-Sugeno, Controle H∞ , Realimentação de saı́da, Desigualdades
Abstract— The problem of static output feedback H∞ control design for continuous-time Takagi-Sugeno (T–
S) fuzzy systems is addressed in this paper. The membership functions are modeled in a space defined by the
Cartesian product of simplexes, called multi-simplex, and are allowed to vary arbitrarily (i.e. no bounds on the
time-derivative of the membership functions are assumed). The static output feedback fuzzy controller is obtained
through a two-steps procedure: first, a stabilizing fuzzy state feedback control gain is determined by means of
linear matrix inequalities (LMIs). Then, the state feedback gain matrices are used in LMI conditions that,
if satisfied, provide the fuzzy static output feedback control law. A fuzzy line integral Lyapunov function with
arbitrary polynomial dependence on the premise variables is used to assess closed-loop stability. The main appeal
of the approach is that the output feedback gains can have independent and arbitrary polynomial dependence
on some specific premise variables, selected by the designer, with great advantages for practical applications. A
numerical example illustrates that the proposed strategy can provide less conservative results for output feedback
stabilization of continuous-time T–S fuzzy systems.
Takagi-Sugeno fuzzy systems, H∞ control, Output feedback, Linear matrix inequalities.
Keywords—
1
Introdução
O problema de controle de sistemas dinâmicos
descritos por modelos nebulosos do tipo TakagiSugeno (T–S) tem sido investigado com bastante
intensidade nos últimos trinta anos (Takagi e Sugeno, 1985). A teoria de Lyapunov, combinada
com o uso de desigualdades matriciais lineares (em
inglês, Linear Matrix Inequalities — LMIs), vem
sendo bastante empregada para a determinação
de condições de análise de estabilidade e de projeto de controladores para sistemas nebulosos T–
S. Os métodos baseados em uma mesma função
de Lyapunov, quadrática nos estados, podem ser
apontados como os precursores nessa área.
É um fato conhecido, entretanto, que métodos
de análise e de sı́ntese de controladores baseados
em uma função constante de Lyapunov podem ser
conservadores. Assim, funções nebulosas de Lyapunov surgiram como uma alternativa mais abrangente para tratar o problema (Tanaka et al., 2003).
Por outro lado, a utilização de funções nebulosas
de Lyapunov em geral implica na presença explı́-
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
cita das derivadas temporais das funções de pertinência nas condições de estabilidade, o que requer um tratamento especial. Uma estratégia utilizada é baseada em limitantes das taxas de variação das funções de pertinência, que são agregados às condições LMIs (Tanaka et al., 2001), mas
pode ser bastante difı́cil obter esses limitantes em
problemas de sı́ntese de controladores para modelos T–S. Um outro método, baseado em uma função de Lyapunov do tipo integral de linha (Rhee
e Won, 2006), evita a necessidade da avaliação
das derivadas temporais, permitindo variações arbitrariamente rápidas das funções de pertinência.
Condições LMIs suficientes para análise de estabilidade, menos conservadoras do que as condições
baseadas na estabilidade quadrática, foram obtidas pela simples imposição de uma estrutura particular à matriz de Lyapunov. Extensões para tratar o problema de controle também aparecem em
(Rhee e Won, 2006), na forma de desigualdades
matriciais bilineares. Em (Mozelli et al., 2009),
LMIs foram propostas para o projeto de controladores baseado nesse tipo de função de Lyapunov,
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porém, assim como em (Rhee e Won, 2006), as
variáveis premissas têm obrigatoriamente que ser
os estados, e todos os estados devem estar disponı́veis em tempo real para a implementação da lei
de controle de realimentação de estados.
Poucos resultados podem ser encontrados na
literatura de sistemas nebulosos T–S tratando
do problema de realimentação estática de saı́da.
Comparada com realimentação por controladores dinâmicos e controle baseado em observadores
(Guerra et al., 2006; Mansouri et al., 2009; Nguang
e Shi, 2006; Guelton et al., 2009), a realimentação estática de saı́da é mais simples de ser implementada, pois não requer que equações diferenciais sejam resolvidas em tempo real, sendo de
grande interesse para aplicações práticas (Syrmos
et al., 1997). Por outro lado, o projeto de
controladores por realimentação de saı́da é um
dos problemas mais desafiadores em teoria de
controle. Apenas condições suficientes existem
pois, para obterem-se condições de realimentação
de saı́da que sejam tratáveis numericamente, algum conservadorismo é forçosamente introduzido
(Huang e Nguang, 2007; Lee e Kim, 2009; Bouarar
et al., 2009).
A principal contribuição deste artigo é propor um procedimento em dois passos baseados
em LMIs para estabilização por realimentação estática de saı́da com critério H∞ para sistemas
nebulosos T–S contı́nuos no tempo. As funções
de pertinência do sistema T–S são representadas
pelo produto cartesiano de simplexos, em um espaço chamado multi-simplex (Baranyi, 2004; Tognetti et al., 2010a; Tognetti et al., 2010b). Nenhuma informação sobre as derivadas temporais
das funções de pertinência é considerada. A estratégia em duas etapas segue as linhas gerais desenvolvidas em (Peaucelle e Arzelier, 2001; Arzelier et al., 2003; Mehdi et al., 2004; Arzelier
et al., 2010). Primeiramente, um ganho estabilizante de realimentação de estados com dependência polinomial arbitrária nas variáveis premissas
é projetado por meio de condições LMIs. No segundo passo, as matrizes que constituem esse ganho servem como parâmetros de entrada para um
conjunto de LMIs que, se verificadas, provêm a lei
de controle estabilizante por realimentação estática de saı́da que assegura um certo desempenho
em termos de norma H∞ do sistema em malha
fechada. A estabilidade e o limitante H∞ são assegurados por uma função de Lyapunov nebulosa
generalizada do tipo integral de linha. Os graus da
função polinomial de Lyapunov e das matrizes que
compõem a lei de controle por realimentação de
saı́da são completamente independentes, podendo
ser escolhidos livremente para cada variável premissa. Essa flexibilidade representa uma grande
vantagem para o projeto de controladores H∞ de
realimentação de saı́da para sistemas nebulosos T–
S. Como subproduto, os ganhos de realimentação
de estados obtidos no primeiro estágio do procedimento são mais gerais que os obtidos por resultados da literatura baseados em funções de Lya-
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punov do tipo integral de linha com dependência
afim (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al., 2009). Um
exemplo numérico ilustra a flexibilidade e a eficiência da abordagem proposta.
2
Preliminares
Considere a ℓ-ésima regra do modelo nebuloso do
tipo Takagi-Sugeno (T–S) (Tanaka e Wang, 2001),
dado por
Rℓ : Se x1 (t) é M1αℓ1 e . . . e xn (t) é Mnαℓn

ẋ(t) = Aαℓ1 ···αℓn x(t) + Bαℓ1 ···αℓn u(t)




+Eαℓ1 ···αℓn w(t)

z(t) = Czαℓ1 ···αℓn x(t) + Dαℓ1 ···αℓn u(t)
Então


+Fαℓ1 ···αℓn w(t)



y(t) = Cαℓ1 ···αℓn x(t)
(1)
para ℓ = 1, . . . , N , sendo que x(t) ∈ Rn
é o estado, z(t) ∈ Rq é a saı́da controlada,
y(t) ∈ Rp é a saı́da medida, w(t) ∈ Ro é o
ruı́do de entrada, u(t) ∈ Rm é a entrada de
controle, e as matrizes dos subsistemas lineares são Aαℓ1 ···αℓn ∈ Rn×n , Bαℓ1 ···αℓn ∈ Rn×m ,
Eαℓ1 ···αℓn ∈ Rn×o , Czαℓ1 ···αℓn ∈ Rq×n , Dαℓ1 ···αℓn ∈
Rq×m , Fαℓ1 ···αℓn ∈ Rq×o e Cαℓ1 ···αℓn ∈ Rp×n . As
α
variáveis premissas são os estados e Mj ℓj denota
um conjunto nebuloso definido em termos de xj
usado na ℓ-ésima regra nebulosa, sendo que αℓj
especifica qual conjunto nebuloso definido em termos de xj é usado na ℓ-ésima regra nebulosa. A
variável N representa o número total de regras
nebulosas. Por exemplo, se α11 = α21 = k então
tem-se que nas regras 1 e 2 a variável premissa
x1 (t) pertence ao mesmo conjunto nebuloso, M1k .
Denotando por rj o número de conjuntos
deQn
finidos em termos de xj , tem-se N = j=1 rj . Se
α
α
ϑj ℓj (xj (t)) é a função de pertinência de Mj ℓj , o
vetor de funções de pertinência normalizado para
cada αℓj = 1, . . . , rj = i, é
ϑij (xj (t))
j = 1, . . . , n,
,
µji (xj (t)) = Prj i
i
= 1, . . . , rj ,
ϑ
(x
(t))
j
i=1 j
0 ≤ µji (xj (t)) ≤ 1,
rj
X
µji (xj (t)) = 1.
i=1
Por simplicidade, a dependência de µ(x(t)) em
x(t) será omitida. Na modelagem utilizada para
o sistema nebuloso T–S, a função de pertinência
de cada regra é decomposta para cada variável
premissa. Assim, o conjunto no qual todas as
funções de pertinência estão definidas, chamado
multi-simplex, é introduzido.
Definição 1 (Multi-simplex) Um
multi-simplex U é o produto cartesiano
Ur1 × Ur2 × · · · × Urn de um número finito
de simplexos Ur1 , . . . , Urn . A dimensão de U é
definida pelo ı́ndice r = (r1 , . . . , rn ). Para facilitar a notação, Rr denota o espaço Rr1 +···+rn .
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Um dado elemento µ de U é decomposto como
(µ1 , µ2 , . . . , µn ) de acordo com a estrutura de
U e, subsequentemente, cada µj , j = 1, . . . , n
(estando em Urj ), é decomposto na forma
(µj1 , µj2 , . . . , µjrj ).
Consequentemente, o sistema nebuloso T–S
pode ser reescrito como

ẋ(t) = A(µ)x(t) + B(µ)u(t) + E(µ)w(t),



z(t) = Cz (µ)x(t) + D(µ)u(t) + F (µ)w(t)



y(t) = C(µ)x(t)
(2)
sendo que
(A, B, E, Cz , D, F, C) (µ) =
r1
X
···
i1 =1
rn
X
in =1
µ1i1 (x1 (t)) · · · µnin (xn (t)) (Ai1 ···in , Bi1 ···in ,
Ei1 ···in , Czi1 ···in , Di1 ···in , Fi1 ···in , Ci1 ···in , (3)
com cada µj = [µj1 · · · µjrj ]′ , j = 1, . . . , n, pertencendo ao simplex unitário
rj
n
o
X
Urj = [λ1 · · · λrj ]′ ∈ Rrj :
λi = 1, λi ≥ 0 .
sendo que ρ(0, x) é um caminho da origem ao estado atual, (·) representa o produto interno de vetores, ψ é um vetor para a integral e dψ é um deslocamento infinitesimal. O vetor nebuloso f (x(t))
é parametrizado como
f (x) = Pg (µ)x,

d11g1 (µ1 )
d12
..
.
d1n
···
···
..
.
···
d1n

d2n

.
..

.
dnngn (µn )
(7)
O subı́ndice g = (g1 , g2 , · · · , gn ) identifica os graus
das funções de pertinência µ1 , µ2 , . . ., µn da matriz Pg (µ). Note que os elementos fora da diagonal são constantes, e que a estrutura acima generaliza a utilizada em (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al., 2009), que apenas considerava dependências afins, permitindo que polinômios de graus
arbitrários gi sejam utilizados em cada elemento
diigi (µi ). A estrutura de Pg (µ) dada em (7) satisfaz a condição que assegura com que V (x) seja
uma função independente de caminho, necessária
nesse caso. Para detalhes, veja (Rhee e Won, 2006,
Teorema 1).


Pg (µ) = 

d12
d22g2 (µ2 )
..
.
d2n
(6)

i=1
De acordo com a Definição 1, combinações polinomiais de grau arbitrário das funções de pertinência também podem ser modeladas pela estrutura multi-simplex, com grandes vantagens no
trato do problema de realimentação de saı́da.
A regra nebulosa de controle para a sı́ntese de
realimentação de saı́da é dada por
u(t) = L(µ)y(t), µ ∈ U
(4)
resultando no sistema nebuloso T–S em malha fechada
ẋ(t) = (A(µ) + B(µ)L(µ)C(µ)) x(t), µ ∈ U .
A estrutura da lei de realimentação de saı́da, na
qual L(µ) pode assumir graus independentes em
cada simplex, será apresentada posteriormente.
Um aspecto importante do controle por realimentação de saı́da de sistemas nebulosos T–S é a
não disponibilidade de todas as variáveis premissas em tempo real para a implementação da lei
de controle. De fato, a lei de controle nesse caso
depende da saı́da y(t) do sistema e também de algumas das variáveis premissas (ou seja, das variáveis premissas associadas aos estados disponı́veis
para leitura). Se nenhuma informação das variáveis premissas estiver disponı́vel, um ganho constante de realimentação estática de saı́da pode ser
uma alternativa, e essa estratégia também pode
ser tratada pelo método proposto.
Como em (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al.,
2009), uma função de Lyapunov do tipo integral
de linha é usada, ou seja,
Z
V (x) = 2
f (ψ) · dψ.
(5)
ρ(0,x)
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3
Contribuição Principal
O próximo teorema provê condições menos conservadoras para a sı́ntese de ganhos de realimentação
de estados para sistemas nebulosos T–S contı́nuos
no tempo (2) com estabilidade em malha fechada
assegurada pela função de Lyapunov do tipo integral de linha dada em (5), com dependência
polinomial de grau arbitrário. As demais variáveis do problema que dependem de µ também são
tratadas como matrizes polinomiais homogêneas
de graus arbitrários no multi-simplex, denotadas
como Lv (µ) (grau v), Zs (µ) (grau s), etc.
Teorema 1 Seja β > 0 um escalar dado. Se
existir uma matriz simétrica definida positiva
Wg (µ) ∈ Rn×n como em (7), uma matriz G ∈
Rn×n de estrutura apropriada e uma matriz
Zs (µ) ∈ Rm×n , tais que as seguintes LMIs dependentes de parâmetros sejam verificadas para todo
µ ∈ U1
Λ(µ) + Λ(µ)′
⋆
< 0,
Γ(µ) ,
Wg (µ) − G′ + βΛ(µ) −β(G + G′ )
(8)
na qual
Λ(µ) = A(µ)G + B(µ)Zs (µ)
(9)
Ks (µ) = Zs (µ)G−1
(10)
então
é um ganho estabilizante de realimentação de estados com dependência polinomial homogênea de
grau s para o sistema nebuloso T–S dado em (2).
1O
sı́mbolo ⋆ representa blocos simétricos.
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Prova: Pré e pós-multiplicando Γ(µ) por T e T ′ ,
respectivamente, com T = diag((G′ )−1 , (G′ )−1 ),
tem-se
M Ā(µ) + Ā(µ)′ M ′
⋆
Y(µ) ,
Pg (µ) − M ′ + βM Ā(µ) −β(M + M ′ )
(11)
com M , (G′ )−1 , Zs (µ) , Ks (µ)G e
Ā(µ) , A(µ) + B(µ)Ks (µ),
Pg (µ) , (G′ )−1 Wg (µ)G−1
(12)
(13)
Pré-multiplicando Y(µ) por [I Ā(µ)′ ] e pós multiplicando pela transposta produz Ā(µ)′ Pg (µ) +
Pg (µ)Ā(µ) < 0 e, como Pg (µ) tem a estrutura
dada em (7), tem-se V̇ (x) < 0.
2
Para que a estrutura de Pg (µ) como em (7)
seja imposta, e como há a transformação de variáveis dada por (13), é preciso que a mesma estrutura seja exigida para Wg (µ) e, além disso, G
também tem que apresentar uma estrutura particular. Se n = 2, por exemplo, e Pg (µ) tem seus
elementos como em (7), então G precisa ser uma
matriz diagonal. A matriz Pg (µ) pode também ter
algum termo constante na diagonal e, nesse caso,
a matriz G precisa ser triangular.
O ganho estabilizante de realimentação de estados obtido com o Teorema 1 pode não ser fisicamente implementável, se apenas a saı́da y(t)
estiver disponı́vel. Apesar disso, o ganho pode
ser usado como dado de entrada nas condições do
próximo teorema que, se satisfeitas, provêm uma
lei de controle estabilizante por realimentação de
saı́da para o sistema nebulosos T–S contı́nuo no
tempo, com custo garantido H∞ dado por γ.
Teorema 2 Seja Ks (µ) ∈ Rm×n , um dado ganho
estabilizante de realimentação de estados. Se existir uma matriz simétrica definida positiva Pg (µ),
com estrutura dada por (7), matrizes de dimensão
apropriadas Sq (µ), Gq (µ), Qq (µ), Hv (µ) e Jv (µ),
e um escalar γ > 0 tais que a condição (14) seja
satisfeita para todo µ ∈ U , com Ā(µ) dado por
(12), então
Lv (µ) = Hv (µ)−1 Jv (µ)
(15)
é um ganho estabilizante de realimentação de
saı́da para o sistema nebuloso T–S (2) com custo
garantido H∞ dado por γ.
Prova: Multiplicando (14)
direita por T2′ , com

I 0 0
0 I 0
T2 = 
0 0 I
0 0 0
à esquerda por T2 e à
0
0
0
I

Y (µ)′
0 

0 
0
e Y (µ) dado por
Y (µ) = Hv (µ)−1 Jv (µ)C(µ) − Ks (µ),
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e, ainda, considerando (I−Qq (µ))′ (I−Qq (µ)) ≥ 0,
que implica −Qq (µ)′ Qq (µ) ≤ I − Qq (µ) − Qq (µ)′ ,
tem-se




Sq (µ)Ã(µ) + Ã(µ)′ Sq (µ)′
⋆
⋆
⋆
Pg (µ) − Sq (µ) + Ã(µ)′ Gq (µ)′
−Gq (µ) − Gq (µ)′
⋆
⋆

Sq (µ)E(µ)
C̃(µ)′ Qq (µ)

Gq (µ)E(µ)
0
 < 0,
2
′
−γ I
F (µ) Qq (µ) 
⋆
−Qq (µ)′ Qq (µ)
(16)
com Lv (µ) dado por (15),
Ã(µ)
,
A(µ) + B(µ)Lv (µ)C(µ) e C̃(µ) = Cz (µ) +
D(µ)Lv (µ)C(µ).
A multiplicação de (16) à
direita por T3 e à esquerda por T3′ , com


I
0
0

Ã(µ) E(µ)
0
,
T3 = 

 0
I
0
−1
0
0
Qq (µ)
produz o bounded real lemma (Boyd et al., 1994)
com Pg (µ) como em (6), implicando que V̇ (x) +
y ′ y − γ 2 w′ w < 0. Como consequência, o ganho de
realimentação estática de saı́da Lv (µ) estabiliza
o sistema nebuloso T–S (2) com custo garantido
H∞ dado por γ.
2
Os teoremas 1 e 2 fornecem um procedimento
em duas etapas para o projeto de controladores
H∞ por realimentação de saı́da para sistemas nebulosos T–S. As condições apresentam as matrizes
utilizadas para a sı́ntese do ganho da lei de controle totalmente dissociadas da matriz de Lyapunov que assegura a estabilidade e o ı́ndice de desempenho do sistema em malha fechada. Assim,
restrições estruturais podem ser impostas de maneira independente para o ganho e para a matriz
de Lyapunov. Além disso, qualquer ganho estabilizante de realimentação de estados poderia ser
usado como dado de entrada para o Teorema 2 (segunda etapa), mesmo com estruturas mais complexas do que em (10). Na primeira etapa das
condições aparece um escalar β, que pode ser
usado em uma heurı́stica para gerar custos garantidos H∞ menores, por exemplo, por meio de
algum procedimento de busca linear, ou então
buscando-se os valores de β em algum conjunto
pré-definido. As condições apresentadas são LMIs
dependentes de parâmetros no simplex. Para buscar uma solução, procedimentos de relaxação podem ser utilizados, como por exemplo as técnicas
apresentadas em (Oliveira et al., 2008). Soluções
melhores (menos conservadoras) podem ser obtidas ao custo de maior complexidade computacional. Veja por exemplo (Tuan et al., 2001; Liu
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




Ā(µ)′ Sq (µ)′ + Sq (µ)Ā(µ)
Pg (µ) − Sq (µ)′ + Gq (µ)Ā(µ)
E(µ)′ Sq (µ)′
Qq (µ)′ (Cz (µ) + D(µ)Ks (µ))
B(µ)′ Sq (µ)′ + Jv (µ)C(µ) − Hv (µ)Ks (µ)
⋆
−Gq (µ) − Gq (µ)′
′
E(µ) Gq (µ)′
0
B(µ)′ Gq (µ)′
e Zhang, 2003; Sala e Ariño, 2007; Montagner
et al., 2009) para procedimentos de relaxação no
contexto de sistemas nebulosos T–S.
4
Exemplos numéricos
É claro que, para diminuir o conservadorismo das
soluções, o grau g associado à função de Lyapunov utilizada, o grau q das variáveis de folga e o
grau s do controlador do primeiro estágio devem
ser aumentados, exigindo-se maior esforço computacional. Por outro lado, os graus associados à lei
de realimentação de saı́da, dados por v, dependem
dos propósitos do projeto em questão. Apesar da
estrutura da matriz de Lyapunov (7) assumir que
todas as variáveis de estado são variáveis premissas (como estabelecido pela regra nebulosa (1)),
alguns estados podem ser descartados impondose que os elementos nas respectivas posições na
diagonal de (7) sejam constantes (ou seja, grau
gi = 0), como em (Mozelli et al., 2009, Exemplo 4), (Rhee e Won, 2006, Exemplo 2). Um ganho
de realimentação constante (que não depende das
variáveis premissas) pode ser obtido selecionandose v = (0, . . . , 0). Uma lei de controle que depende apenas de alguma variável premissa especı́fica pode ser construı́da escolhendo-se um grau vi
correspondente diferente de zero. No exemplo, o
escalar β do Teorema 1 foi escolhido no conjunto
{1, 0.1, 0.01, 0.001, 10−6 }.
Exemplo 1: Considere o sistema nebuloso T–S
dado por (2) com
3.6 −1.6
−15 −1.6
A1 =
, A2 =
6.2 −4.3
6.2 −4.3
−0.45
−1
0.1
B1 =
, B2 =
, E1 =
,
−3
−3
0.001
−0.1
0.1 0
E2 =
, Cz1 =
,
−0.083
0 0
0.108 0
0.1
−0.1
Cz2 =
, D1 =
, D2 =
,
0
0
0.05
−0.05
F1′
F2′
= 0 0.1 ,
= 0 −0.1
C1 = 7 −2 , C2 = 5 −4 ,
sendo que x1 (t) é a variável premissa.
A Tabela 1 mostra os custos H∞ obtidos com
os Teoremas 1 e 2 para vários valores dos graus
da função de Lyapunov (g), variáveis de folga (q),
controlador de realimentação de estado (s) e controlador de realimentação de saı́da (v). Observe
que os valores da norma diminuem à medida que
os graus (g, q, s, v) aumentam e que o caso g = 0
corresponde à estabilidade quadrática.
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
⋆
⋆
−γ 2 I
Qq (µ)′ F (µ)
0
⋆
⋆
⋆
I − Qq (µ) − Qq (µ)′
′
D(µ) Qq (µ)

⋆
⋆


⋆
<0

⋆
′
−Hv (µ) − Hv (µ)
(14)
Tabela 1: Custos garantidos H∞ obtidos com os
Teoremas 1 e 2 (T1–T2) para diferentes graus
(g, q, s, v). V é o número de variáveis escalares
e L é o número de linhas de LMIs.
Método
γ
L
V
Tempo (s)
T1–T2(0,1,1,1) 0.30 50 44
0.10
0.15
T1–T2(1,1,1,1) 0.12 52 46
0.46
T1–T2(4,4,4,4) 0.05 124 98
5
Conclusões
Foram propostas condições na forma de LMIs dependentes de parâmetros para a sı́ntese de controladores por realimentação estática de saı́da com
critério H∞ para sistemas nebulosos T–S contı́nuos no tempo. O método combina função de
Lyapunov polinomial de grau arbitrário, do tipo
integral de linha, com um procedimento em dois
passos baseados em LMIs para a sı́ntese do ganho
de realimentação. Graças à representação multisimplex adotada, graus distintos para a função de
Lyapunov e para a lei de controle podem ser usados. Além disso, a lei de controle estabilizante
que garante um desempenho H∞ pode depender
somente de algumas das variáveis premissas, escolhidas pelo projetista.
Agradecimentos
Às agências FAPESP, CAPES e CNPq.
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