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AULAS 01 e 02 - UPGRADE MATEMÁTICA 2012

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AULAS 01 e 02 - UPGRADE MATEMÁTICA 2012
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS – DISCURSIVAS AULA 01/2012
01) (UENF–RJ) Um incêndio no Parque Nacional da Serra dos Órgãos, que durou exatamente 6
dias, devastou 60 hectares nos três primeiros dias. Suponha que, a partir do segundo dia, o
fogo tenha destruído sempre 8 hectares a mais do que no dia anterior. A partir desses dados,
calcule, em hectares, a área que foi destruída pelo incêndio:
a) no primeiro dia;
b) nos seis dias.
Resolução:
PA( x  8 , x , x  8 ,a4 ,a5 ,a6 )


  

a ) x  8  x  x  8  60  3 x  60  x  20
a1  x  8
a1  20  8  a1  12
b ) a1  12 , r  8
( 12  52 )  6
 S6  192
2
b) 192 hectares.
a6  a1  5 r  a6  12  5  8  a6  52 
Respostas: a) 12 hectares.
S6 
02) (UEL–PR modificada) Considere a sequência ( 1, 2, 4, 5, 7, 8,10 ,11,... ) , cujos termos são os
números inteiros positivos que não são múltiplos de 3.
a) Calcule a soma dos 40 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o 100º termo dessa sequência.
Resolução:
Maneira 1:

1  2   4  5   7  8   10  11  ...  x39  x40   3  9  15  21  ...  y 20

 
1º membro
........ ( 1 )
2 º membro
Onde y 20  3  19.( 6 )  y 20  117

A soma dos 40 termos do 1º membro em ( 1 ) é igual à soma dos 20 termos do 2º membro, ou seja:
3  117.20  1 200
S40 
2
a) Maneira 2:
1  2  4  5  7  8  10  11  ...  a20  b20  1  4  7  10  ...  a20   2  5  8  11  . . .  b20 
Onde a20  1  19.( 3 )  58 e b20  2  19.( 3 )  59
S40 
1  58.20  2  59.20
2
2

S40  1 200
b) Visualizando a sequência com os termos de ordem par retirados da seqüência original, ou seja, o 100º
termo será o 50º da sequência 2, 5 , 8, 11, . . . b50  :
b50  2  49.( 3 )  b50  149
Respostas: a) 1200.
b) 149.
03) (Unicamp-SP) Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda
retilínea e distando 1m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma
vereda, a 15m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando
na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar até regar todas as roseiras?
Resolução:
Para serem regadas 60 roseiras serão
necessárias 20 viagens de ida e volta, ou
seja:
PA ( 34 , 40 , 46 , . .. , a20 )
a20  34  19.( 6 )  a20  148 m
S20 
34  148.20
2
Resposta:


S20  1 820 m
1 820 m
04) (UFES-modificada) Para a exibição de um "show", as 800 cadeiras de um teatro de arena
serão dispostas em filas circulares, com 20 cadeiras na primeira fila, 24 na segunda, 28 na
terceira, e assim sucessivamente. Os ingressos nas quatro primeiras filas custarão R$ 100,00
cada um; os das quatro fileiras seguintes custarão 80% deste valor e, assim, a cada quatro
filas, os ingressos custarão 80% do valor cobrado pelos ingressos das quatro filas anteriores,
exceto para as últimas quatro fileiras, cujo ingresso foi fixado em R$ 40,00. Pergunta-se:
a) Quantas filas serão dispostas no teatro?
b) Qual a arrecadação em dia de espetáculo com casa lotada?
Resolução:
a) 20  24  28    an  800 , onde an  20  ( n 1 ).4  an  4n  16
[ 20  ( 4 n  16 )].n
 800
2
n  16 ou
n 2  9n  400  0  
n  25 ( não convém)
b) Como os preços dos ingressos estão agrupados em grupos de 4 fileiras:
GRUPO DE
FILEIRAS
CADEIRAS POR
FILEIRAS
TOTAL DE
CADEIRAS
VALOR DO
INGRESSO (R$)
ARRECADAÇÃO
(R$)
1
20, 24, 28, 32
( 20  32 ).4
 104
2
100,00
10 400,00
2
36, 40, 44, 48
( 36  48 ).4
 168
2
100.
80
 80,00
100
13 440,00
3
52, 56, 60, 64
( 52  64 ).4
 232
2
80.
80
 64,00
100
14 848,00
4
68, 72, 76,80
296
40,00
11 840,00
TOTAL
Respostas: a) 16.
b) R$ 50 528,00.
50 528,00
05) (UP 2012) Os termos da sequência: 1, 3, 6, 10, 15, ... são chamados números triangulares.
Geometricamente podem ser representados como na figura abaixo:
Determine:
a) Uma expressão matemática que represente o n-ésimo número triangular da sequência acima.
b) O 25º elemento desta sequência.
Resolução:
a) Para a sequência dada ( 1, 3, 6, 10, 15, ... , an )




b) 




a1  1
a2  1 2
a3  1  2  3
a4  1 2  3  4
Assim, an 
(1  n ) . n
, sendo n um número natural não nulo.
2


an  1  2  3  4    n
a25 
(1  25 ).25

2
Respostas: a) an 
a25  325
(1  n ) . n
, onde n é um número natural não nulo;
2
b) 325.
QUESTÃO 06 NA PRÓXIMA PÁGINA
06) (UFRJ) Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma
linha após a outra, como mostrado a seguir:
Considerando que Felipe mantenha o padrão
1
adotado em todas as linhas:
2 3 4
3 4 5 6 7
a) determine quantos números naturais ele
4 5 6 7 8
9 10
escreverá na 50ª linha;
5 6 7 8 9 10 11 12 13
b) determine a soma de todos os números
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
escritos na 50ª linha;
.............
c) prove que a soma de todos os elementos
.............
de uma linha é sempre o quadrado de um
número ímpar.
Resolução:
a) Observando os números em cada linha, verificamos:
Na 1ª linha – 1 número
Na 2ª linha – 3 números
Na 3ª linha – 5 números
Podemos concluir que a quantidade qn de números em cada linha “n” encontra-se em progressão
aritmética:

PA ( 1, 3 ,5 ,, qn )  qn  1  ( n  1 )  2  qn  2 n  1 , n  IN .
A 50ª linha, a qual inicia com o número 50, possui q50  2  ( 50 )  1  99 termos será: ( 50 ,51,52 ,, a99 ) .
b) Para a 50ª linha:
PA ( 50 ,51,52 ,, a99 )
a99  50  98  (1 )  a99  148  S99 
( 50  148 )  99
 S99  9 801

 

2
c) No item (a) anterior temos que cada linha possui ( 2n – 1 ) termos.
Assim, a soma dos elementos de uma linha “n” corresponde à soma dos seus ( 2n – 1 ) números em PA
de razão 1, onde o primeiro termo é “n”.
Linha “n”: PA ( n , n  1 , n  2 ,  , b2 n 1 ) e
b2 n 1  b1  [( 2 n  1 )  1 ]  1  b2 n 1  n  ( 2 n  2 ) 
b2 n 1  3 n  2

último número da linha " n"
S2 n 1
( b  b2 n 1 )  ( 2 n  1 )
( n  3n  2 )  ( 2n  1 )
 1
 S2 n 1 
2
2
( 4n  2 )  ( 2n 1 )
2  ( 2n 1 )  ( 2n 1 )
 S2 n 1 
 S2 n 1 
2
2
 S2 n 1  ( 2 n  1 )2 , n  IN *


Como n  IN *  ( 2 n  1 ) é um número ímpar, fica então provado que a soma em questão é igual ao
quadrado de um número ímpar (c.q.d.).
Respostas: a) 99 números.
b) 9 801.
c) vide demonstração.
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