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Legendre e Números
Primos: A Busca de Uma
Fórmula “Mágica”
Esse trabalho é fruto da minha tese Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) e seus trabalhos em Teoria
dos Números, desenvolvida em 2007-2009 no
Programa de Pós-Graduação em Educação da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte sob a
orientação de John Andrew Fossa, e teve por objetivo
inventariar, sistematizar e avaliar as obras em Teoria
dos Números do matemático francês Adrien-Marie
Legendre com certa ênfase no seu livro Teoria dos
Números, edição francesa de 1830, bem como
realizar um estudo histórico da vida desse
matemático. Para tanto, foi investigado o papel
desempenhado por essas obras e sua influência no
desenvolvimento da Teoria dos Números no contexto
de sua época.
Uma leitura da vida de Adrien-Marie Legendre foi realizada por meio de suas relações
pessoais e de suas produções científicas e colocou em evidência certos elementos
históricos do desenvolvimento de um povo, das ciências e suas possíveis
consequências que nortearam a própria evolução da sociedade francesa dos séculos
XVIII-XIX, articulada à cronologia de quatro momentos políticos mais importantes da
sociedade francesa: o Antigo Regime (1752-1789), a Revolução Francesa (1789-1799),
o Primeiro Império de Napoleão (1803-1814) e a Restauração (1814-1833). Também
revelou características marcantes da personalidade de Legendre no meio matemático
contemporaneo, como as infindáveis querelas com Gauss a respeito de prioridades de
descobertas científicas.
Um estudo sistemático da obra Teoria dos Números (1830) num contexto históricosocial e a análise de certos conteúdos da obra comparados a alguns textos de outros
autores nos permitiram compreender a evolução dinâmica dos caminhos percorridos
pelo autor, quanto à semântica, à organização das demonstrações, à estrutura lógicodedutiva que permearam suas descobertas matemáticas em Teoria dos Números, a
exemplo da sua famosa lei de reciprocidade quadrática.
O impacto causado por suas obras em Teoria dos Números na comunidade
matemática francesa da época e as contribuições do autor à ciência antes e depois da
publicação da obra revelou que Teoria dos Números, obra à qual o autor consagrou
mais da metade de sua vida no intuito de aperfeiçoá-la, tornou notória a honra que lhe
é devida como o primeiro tratado de uma Aritmética superior que tanto inspirou a
outros matemáticos para o avanço dessa ciência no século XX.
Mostramos que desde seu primeiro artigo “Estudos Sobre a
Análise
Indeterminada”
(1785),
Legendre
descobriu
importantes proposições e restabeleceu uma ligação entre a
Análise Indeterminada (Análise de Diofanto) e a Ciência dos
Números (Aritmética Superior, hoje Teoria dos Números). De
sua autoria, encontramos as proposições: “todo número primo
da forma 8n − 1 é da forma p2 + q2 + 2r2” e “todo número
natural é a soma de quatro quadrados”, sobretudo, a sua
famosa lei de reciprocidade quadrática que estabelece uma
relação particular entre dois números primos ímpares, 4n +1,
4n +3. Em todas as suas obras, Legendre reproduziu
demonstrações de trabalhos de outros matemáticos, a
exemplo dos Teoremas de Fermat, números figurados, a
infinidade dos números primos de Euclides, os estudos de
Euler e Lagrange sobre equações e formas quadráticas, a lei
de ciclotomia de Gauss, os estudos de Sophie Germain sobre
números primos.
Quem foi Adrien-Marie Legendre?
Adrien-Marie
Legendre nasceu em Paris em 18 de
setembro de 1752 e faleceu nessa mesma cidade em 9 de
janeiro de 1833. Ele é da mesma geração de grandes
matemáticos como Lagrange (1736-1813), Laplace (17491827), Monge (1746-1818), Gauss (1777-1855) e é
mundialmente conhecido por ser autor da obra Elementos
de Geometria (1794), livro que na época foi adotado nas
escolas secundárias da França, no século XIX foi adotado
nos cursos de Matemática das universidades americanas e
nas Academias Militares no Brasil durante o Império.
Legendre
recebeu
homenagens
póstumas
dos
matemáticos Beaumont, e Poisson, que inclusive
discursou em seu funeral, e o seu nome se encontra
perpetuado na face Trocadéro da Torre Eiffel que contém
uma lista de 72 ilustres cientistas e dá nome a uma
passagem e a uma rua do 17º bairro da cidade de Paris.
Quais foram os legados de
Legendre?
Muitos foram os legados de Legendre em vários ramos das ciências: ele
realizou estudos sobre funções elípticas, mecânica celeste, estatística e
em particular, em Teoria dos Números. Legendre foi quem criou o nome
Teoria dos Números para identificar a ciência que estuda os números
inteiros, cuja terminologia apareceu pela primeira vez na sua obra de
1798. Ao longo de suas obras em Teoria dos Números, encontramos
algumas nomenclaturas e notações de sua autoria. Por exemplo, a
notação M(A) que atualmente é designada para denominar o conjunto
dos múltiplos de um número inteiro A, foi criada por Legendre e
apareceu pela primeira vez na segunda edição do Ensaio sobre a Teoria
dos Números de 1808.
É de sua autoria, o termo reciprocidade para expresssar a lei que
estabelece uma relação entre dois números primos ímpares, que foi
anunciada pela primeira vez no trabalho de 1785.
&N#
c!1 que expressam o resíduo quadrático de um
$ ! ,
Os símbolos
N 2
%c"
número c aparecem em todas as suas demonstrações da lei de
reciprocidade quadrática.
Enfatizaremos nesse trabalho:
a busca de Legendre para encontrar fórmulas
geradoras de números primos distribuídos em
categorias que foram amplamente utilizadas nas
demonstrações de alguns teoremas dele, inclusive na
sua lei de reciprocidade;
algumas conjecturas sobre a distribuição de
números primos em progressões aritméticas infinitas
do tipo... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B,...
cujo termo geral é Ax + B, com A e B primos entre
si;
 e por fim, as estimativas de Legendre e de Gauss
com fundamentos na propriedade de logaritmos para
determinar quantos números primos existem de 1 a
N

1. Legendre, Fermat, Mersenne, Euler, Gauss,
números primos, fórmulas algébricas
 Historicamente, a busca de uma fórmula capaz de gerar
números primos é antiga, se tornou uma espécie de
paixão entre os matemáticos e perdura há vários
séculos.
n
 Fermat conjecturou que 2 2 + 1 era uma fórmula que
expressava um número primo. Segundo Sautoy (2005),
numa carta enviada a Mersenne em 1640, Fermat
relatou que certos números primos poderiam ser
expressos como soma de dois quadrados. Mersenne,
que era monge e matemático amador, ao invés de
somar 1 a uma potência de dois optou por subtrair 1 e
também conjeturou que
2n − 1 era primo
para n = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257.
Foi um espanto geral entre os matemáticos
contemporâneos de Fermat e Mersenne quando esse
último conseguiu realizar o feito extraordinário de
determinar o número 2257 − 1, que possui 77
algarismos!


A História da Matemática ainda registra
que Euler era um apaixonado pela Teoria
dos Números e isso pode ser verificado em
suas obras e nas correspondências trocadas
com o alemão Goldbach, outro matemático
amador que vivia em Moscou e era
secretário ad hoc da Academia de Ciências
de São Petersburgo. (DIEUDONNÉ, 1978.)
É de sua autoria a questão em aberto: “todo
número par pode ser expresso como soma
de dois números primos”.
Os estudos sobre os números primos
levaram Euler a demonstrar que o
número de Fermat para n = 5 era
composto e em 1772 ele obteve uma lista
de números primos por meio da integral
de x2 + x + 41 entre 0 e 39. (SAUTOY,
2005). Esse fato é citado por Legendre em
sua obra Ensaio sobre a Teoria dos Números
de 1798, onde nos diz:
[...] existem algumas fórmulas importantes pela
quantidade de números primos que elas contêm:
tal é a fórmula x2 + x + 41, onde Euler em seus
Mémoires de Berlim, 1772, pág. 36, no diz que
se fizermos sucessivamente x = 0, 1, 2, 3, etc.,
obtemos a sequência 41, 43, 47, 53, 61, 71, etc.,
onde os quarenta primeiros termos são números
primos. Podemos citar dentro do mesmo gênero a
fórmula x2 + x + 17, onde os dezessete primeiros
termos são números primos; a fórmula 2x2 + 29,
onde os 29 primeiros termos são primos e uma
grande quantidade de outras fórmulas.
(LEGENDRE, 1798, p. 10-12, tradução nossa)
Embora estivesse consciente de que era muito difícil
obter fórmulas geradoras de números primos,
Legendre apresentou em sua obra de 1798, uma
demonstração similar da Proposição 20 do Livro IX
dos Elementos de Euclides que trata da infinidade
deles e inclusive faz uma referência à outra
demonstração de Euler, que obteve o mesmo
resultado por meio da série harmônica :
 XXI. Se não podemos encontrar a fórmula algébrica que
contenha unicamente os números primos , pela mais forte
razão que não podemos encontrar uma que contenha todos
esses números expressa numa lei geral. Essa lei parece
muito difícil de encontrar, e não há nenhuma esperança
que consigamos. Isso não impede que possamos descobrir
e demonstrar um grande número de propriedades sobre os
números primos, as quais resplandecerão um grande dia
sobre natureza desses números. Agora nós podemos
demonstrar rigorosamente que a quantidade de números
primos é infinita.


Pois se a sequência de números primos (I) 1, 2, 3, 5, 7,
11, etc., fosse finita, e que p fosse o último ou maior de
todos, seria preciso que um número N fosse divisível
por qualquer um dos números primos 2, 3, 5,...,p.
Mas se representamos P pelo produto de todos estes
números (I), é claro que dividindo P + 1 por qualquer
um dos números primos até p, o resto será 1. Portanto a
hipótese de que P é o maior dos números primos não
tem fundamento; assim a quantidade dos números
primos é infinita. Essa proposição pode ser mostrada de
uma maneira direta e muito elegante, utilizando a
1 + 1primos
sequência recíproca dos números
+ 1 + 1 + 1 + ...
1 2 3 5 7
que é uma soma infinita (Introd. à Análise infin., página
235). (LEGENDRE, 1798, p. 10-1, tradução nossa)
A demonstração de Euler
Trata-se de uma demonstração indireta:
Apresentaremos a ideia com linguagem
moderna: suponhamos que exista uma
quantidade finita de números primos: 1,
2, 3, 5, ..., p. Então para cada p > 1 a série
geométrica infinita de razão 1/p
e primeiro termo = 1 é1 dada
por
p
1
=
1
! p
= 1! p p !1
Multiplicando membro a membro cada
somatória para os números primos 2, 3,
5, ..., p, obtemos:




"


k =0
k



O primeiro termo é a soma dos inversos dos
números naturais sendo que cada membro é
contado 1 só vez e assim obteremos que a série
harmônica $
1 1
1
1
1
#n=1 n = 1 ! 2 " 1 ! 3 " 1 ! 5 " ..." 1 ! p
O que não pode acontecer, pois a série
harmônica é divergente!
Esta demonstração de Euler é genial não ?
No artigo seguinte Legendre apresenta uma lista de
números primos que está dividida em duas
categorias, classificação que será amplamente
utilizada nas demonstrações de vários resultados
envolvendo números primos, inclusive na que se
refere à lei de reciprocidade:
 Todos os números ímpares se representam pela
fórmula 2x + 1, a qual segundo x é par ou ímpar,
contém as duas formas 4x + 1 e 4x – 1 ou 4x + 3.
Desses resultados são obtidas duas grandes divisões
de números primos, uma compreendendo os
números primos 4 x + 1, a saber, 1, 5, 13, 17, 29, 37,
41, 53, 61, 73, etc., outra contemplando os números
primos 4x – 1 ou 4 x + 3, a saber 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43,
47, 59, etc.


Em um outro artigo Legendre apresenta uma lista
de números primos divididos em duas categorias,
classificação que será amplamente utilizada nas
demonstrações de vários resultados envolvendo
números primos, inclusive na que se refere à lei de
reciprocidade:
“Todos os números ímpares se representam pela fórmula
2x + 1, a qual segundo x é par ou ímpar, contém as duas
formas 4x + 1 e 4x – 1 ou 4x + 3. Desses resultados são
obtidas duas grandes divisões de números primos, uma
compreendendo os números primos 4 x + 1, a saber,
1, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, etc., outra
contemplando os números primos 4x – 1 ou 4 x + 3, a
saber
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, etc. A forma geral 4x + 1
se subdivide em duas outras formas 8x + 1 e 8x – 3 ou 8x
+ 5; da mesma forma que 4x + 3 se subdivide em duas
outras 8x + 3 e 8x + 7 ou 8x – 1; de maneira que
relativamente aos múltiplos de 8, os números primos se
distribuem nessas quatro principais formas:




8x + 1 ... 1, 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,
etc.
8x + 3 ... 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107,
etc.
8x + 5 ... 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109,
etc.
8x + 7 ... 7, 23, 31, 47, 71, 103, 127, etc.
(LEGENDRE, 1798, p. 11-2, tradução
nossa)
Os estudos prosseguem e o autor subdivide a
categoria anterior, agora relacionada aos
múltiplos de 60:
[...] Que são as dezesseis formas distintas, a saber,

60 x + 1, 60 x + 7, 60 x + 11, 60 x + 13

60 x − 1, 60 x − 7, 60 x − 1 1, 60 x − 13

60 x + 17, 60 x + 19, 60 x + 23, 60 x + 29

60 x − 17, 60 x − 19, 60 x − 23, 60 x − 29,
 onde cada uma delas contém uma infinidade de
números primos e conjuntamente englobam a
totalidade deles, exceto os números 2, 3, 5
(LEGENDRE, 1798, p. 12, tradução nossa).


Um método para encontrar quantos termos
existem numa sequência ou progressão
aritmética qualquer que não são divisíveis por
nenhum dos números primos da progressão foi
apresentado por Legendre nos seus trabalhos
de 1785, 1798, 1808, 1823 e 1830. Os estudos
têm por objetivo encontrar quantos números
primos há em n termos sucessivos de uma
progressão aritmética de razão constante do
tipo:
... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B, ... onde
o termo geral é Ax + B, a razão A e B são
primos entre si e n é um número grande.

No final do artigo IV do trabalho Estudos sobre a
Análise Indeterminada (1785), Legendre declarou
que, nas demonstrações da lei de reciprocidade
ele utilizou uma propriedade sobre os números
primos onde conjeturou que, dada uma
progressão aritmética cujo primeiro termo e a
razão são primos entre si, existe uma infinidade
de números primos. Tal progressão é conhecida
como progressão de Bachet (matemático e
poeta francês que traduziu do latim para o
francês o livro Aritmética de Diofanto-maior
algebrista grego do séc. 3). Essa conjectura pode
ser interpretada como uma generalização do
teorema de Euclides sobre a existência de
infinitos números primos na sequência dos
números naturais 1, 2, 3, ...

Mediante a dificuldade em determinar em
poucas linhas tal propriedade, Legendre
esboçou uma demonstração por exemplificação
e usou o Crivo de Eratóstenes, argumentando:
Essa progressão é muito fácil de demonstrar. No
entanto, podemos assegurar que ela é verdadeira,
comparando a referida progressão com a progressão
1, 3, 5, 7, etc. Basta considerarmos uma grande
quantidade de termos de ambas as progressões e
compararmos os termos maiores que ocupam a
mesma posição. Após eliminarmos os múltiplos de
3, 5, 7, etc. até um número p podemos concluir que
na segunda sequência sobrará a mesma quantidade
de termos que na sequência inicial. [...] indico esse
meio de demonstração que seria muito longa de
detalhar, uma vez que esse trabalho já ultrapassou os
limites permitidos. (LEGENDRE, 1785, p. 552, tradução nossa.)
No intuito de encontrar quantos números primos há
em n termos sucessivos de uma progressão
aritmética de razão constante do tipo ... − 2A + B, −
A + B, B, A + B, 2A + B, ... cujo termo geral é Ax + B,
A e B primos entre si e n é um número grande,
Legendre em Ensaio sobre a Teoria dos Números (1798) ao
considerar A + B como o primeiro termo da
sequência, demonstrou que os
n &$%1 ' (1 #!" termos remanescentes dessa progressão, não
serão divisíveis por
.
!
Posto isto ele deduziu que se!
,! ,µ ,... for uma
sequência aleatória de números primos não
divisores de A, a fórmula n &$1 ' (1 #! &$1 ' (1 #! &$$1 ' µ1 #!! ...

%
" %
"
%
"
representará a quantidade de termos da sequência A +
B, 2A + B, 3A + B, ... , nA + B que não são divisíveis
por nenhum dos números primos elencados.
Considerando a sequência natural dos números
primos 3, 5, 7 ..., ! , onde ! é o maior deles contido em

(nA+ B)
(excluídos os divisores de A), usando a fórmula anterior
n &$1 ' 1 #! &$$1 ' 1 #!!&$1 ' 1 #! , ...
%
(" %
µ "%
("
Legendre determina o produto n 2 ' 4 '6··· ( -1 , ...
357 (
e conclui que
se A + B for maior do que (nA+ B) , essa expressão é a
fórmula ideal para estimar a quantidade de números
primos na progressão
A + B, 2A + B, 3A + B, ... , nA + B
e se isso não ocorrer, diz ele, “será necessário
acrescentar à fórmula a quantidade de números primos
menores do que
(nA+ B)
pertencentes à sequência acima.”
&
$
$
$
%
#
!
!
!
"

Legendre aplica a fórmula no caso: encontrar quantos
números primos existem nos 1 000 primeiros termos
da sequência 49, 109, 19, 229, 289, ..., cujo termo geral
é 60x − 11. Determinando
59989
que é aproximadamente 244, tem-se que 241 é o maior
primo contido nessa raiz quadrada. Os números 3 e 5
são excluídos, por serem divisores de 60 e assim
utilizando-se os primos de 7 a 241 na fórmula
anterior, é obtida a expressão 1000× &$ 6 ' 10 ' 12 'L ' 240 #!
% 7 11 13
241 "
~ 377, e, acrescentando os dois números primos 109 e
229 da sequência que são menores do que 241, o autor
conclui que existem aproximadamente 380 números
primos na sequência proposta menores do que 1000
(Legendre, 1798, artigos XXV a XXVII).

Números primos e logaritmos:
Ainda no trabalho de 1798, Legendre optou pelas
potências de 10 para criar outra fórmula sobre a
quantidade de números primos em uma
progressão aritmética, com fundamentos na
propriedade de logaritmos decimais que
transformam multiplicações em adições,
argumentando que:
“Se existem b números primos na progressão natural
1, 2, 3, 4, 5 , ... , a = potência de 10, é extraordinário
observar que segundo os variados valores de a temos
aproximadamente as seguintes relações:
a = 101,
102,
103,
1
b

a = 2,
1
4,
1 ,
6
104, ...
1 , ...
8
Donde parece que em geral podemos concluir que b = a ,
2la
onde la é o logaritmo decimal de a
comumente apresentados em tabelas. Essa fórmula muito
simples pode ser vista como uma aproximação suficiente,
pelo menos quando a não é maior do que 1 000 000. Assim
se quisermos saber quantos números existem de 1 a 400 000,
encontraremos que esse número é 400000
2!5,602
ou aproximadamente 35.700. Além disso, verdadeiramente a
fórmula que fornece o valor de b quando a é muito grande é
dada por
a
b = A log a + B ,
onde A e B são constantes e log a o logaritmo hiperbólico. A
determinação exata desses coeficientes é um problema
curioso e digno do exercício da sagacidade dos analistas.”
(LEGENDRE, 1798, p. 18-9, tradução nossa.)



Numa transição entre as obras de Euler e Legendre
se encontra Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss
que foi escrito em 1796, publicado em 1801 e
traduzido do latim para o francês em 1807 como
Recherches Arithmétiques por Poullet-Delisle, um exaluno de Laplace.
Contrariamente a esses eminentes matemáticos, em
1792, Gauss aos quinze anos já percebera que os
conhecimentos
matemáticos
até
então
desenvolvidos não eram suficientes para sanar o
problema, vez que “Se séculos de pesquisas não
permitiram encontrar uma fórmula mágica capaz de
fornecer uma lista de números primos durante todo esse
tempo foi por quê é necessário adotar uma nova
estratégia”. (SAUTOY, 205, p. 77, tradução nossa)
A estratégia inicial de Gauss foi a mesma de
Legendre em 1785 e anos depois, Gauss estabeleceu
uma outra relação entre logaritmo e probabilidade.
Desde a tenra idade Gauss descobriu que poderia
contar números primos de uma sequência
numérica com a ajuda de logaritmos na base e.
Como hábil calculista, construiu aos dezoito
anos uma tabela que permitia descobrir que
entre os números 1 a N, aproximadamente 1
log N
é primo.
Ele então estimou que a quantidade real dos
! (N) é
números primos de 1 a N, denotada por
N log(N) . Gauss não pretendia
aproximadamente
que esse sistema oferecesse uma fórmula exata
para encontrar números primos até N, mas ela
ainda constitui uma boa aproximação para essa
finalidade. Com esses cálculos, Gauss rompeu
com o empirismo de Euler (e Legendre) e
valorizou o poder de uma demonstração em
Teoria dos Números. Para alguns matemáticos,
se ele tivesse difundido todas as suas
descobertas teria avançado em mais de meio
século o desenvolvimento dessa ciência.
(SAUTOY, 2005, p. 86, tradução nossa)



Comparando-se as estimativas de Gauss e Legendre
para determinar quantos números primos existem de
1 a 10n, para n = 1, 2, 3, as fórmulas de ambos
matemáticos fornecem estimas
bem próximas. Pela
a
fórmula de Legendre 2la , onde la = log a é o
logaritmo decimal e sendo a menor do que 1 000 000,
as proporções para se encontrar quantos números
existem de 1 a 10, de 1 a 100, de 11 a 1 000, são,
respectivamente, 1 = 0,5; 14 = 0, 25; 6 = 0, 167.
2
O que significa que
existem em torno de 5, 25, 167
números primos menores do que 10n; n = 1, 2, 3. Já a
estimativa de Gauss pela fórmula N log( N) ,
onde
log(N) é o logaritmo natural ou neperiano, essas
quantidades são, respectivamente 4, 25, 168. Na
tabela construída por Legendre, excluído o 1 como
número
primo,
essas
quantidades
são,
respectivamente 4, 25, 168.


No entanto, de 1 a 100 000, Legendre estimou que
há aproximadamente 9 715 números primos
menores do que 100 000 (LEGENDRE, 1798, p. 1220), enquanto que pela fórmula de Gauss esse
número é aproximadamente 9 592. E de 1 a 400 000,
pela
fórmula
de
Legendre
existem
aproximadamente 35 700 números primos e pela de
Gauss esse número é aproximadamente 32 000. As
duas primeiras estimativas diferem de 123, e em
relação às duas últimas a diferença é de 3 700. Pela
observação acima, a proporção de números primos
aumenta de 2,3 mais rapidamente do que 1 pela
fórmula de Gauss, à medida que n é um número
muito grande.
Portanto esses argumentos são suficientes para
deduzir que a escolha do logaritmo neperiano
torna a fórmula de Gauss muito mais eficaz do que
a escolha de Legendre que é fundamentada no
logaritmo decimal.


Quase uma década depois da publicação de Teoria
dos Números (1830), a conjectura de Legendre para
enumerar números primos, finalmente, foi
demonstrada pelo alemão Peter Gustav LejeuneDirichlet, um ex-aluno de Gauss e contemporâneo
de Abel e Jacobi, que completou seus estudos em
Paris. A demonstração é parte integrante do
trabalho Estudos sobre diversas aplicações da Análise
Infinita à Teoria dos Números, que foi lido na
Academia de Berlim em 1837, traduzido do alemão
para o francês por Terquem e publicado no Jornal de
Matemática Pura e Aplicada de Liouville em 1839.
A primeira tentativa da demonstração da conjectura
foi frustrada, quando Dirichlet buscou argumentos
nas grandezas discretas da Aritmética. Devido à
complexidade do assunto, o objetivo somente foi
atingido quando o referido autor recorreu às
grandezas contínuas da Teoria Analítica dos
Números, como aponta a introdução do trabalho:

Não existe uma demonstração rigorosa do teorema que
acabei de anunciar. Mediante a grande quantidade de
aplicações é necessário uma demonstração. Que eu o
saiba, Legendre foi o único analista a tentar demonstrála. Apesar das dificuldades, esse teorema teve para ele
todo um interesse particular uma vez que lhe serviu como
lema em seus trabalhos posteriores. A demonstração
desse ilustre matemático dependia da solução dessa
questão. [...] Mas a solução dada por ele é apenas
fundamentada sobre uma indução. Procurando provar a
exatidão dessa solução de uma forma simples, encontrei
dificuldades que me foram impossíveis de superar. Após
abandonar essa via, consegui chegar a uma demonstração
rigorosa do teorema. Ela não é somente aritmética,
sobretudo fundamentada em grandezas contínuas. A
novidade dos princípios sobre qual ela se apoiou é que
antes de considerarmos o caso geral, devemos considerar
o caso particular cuja razão da progressão aritmética é
um número primo ímpar.
(LEJEUNE- DIRICHLET, 1839, p. 394, tradução nossa.)

Dieudonné (1978, p. 187) coloca que, o trabalho
de Lejeune-Dirichlet marcou o verdadeiro início
da Teoria Analítica dos Números, uma vez que,
além da demonstração da conjectura de
Legendre, ele contém métodos de resolução para
vários problemas da Teoria dos Números,
destacando-se, dentre eles, o estabelecimento de
uma fórmula capaz de fornecer a quantidade de
classes de formas quadráticas (a, b, c) que
dependem do discriminante D = b2 – 4ac, cujo
caso particular foi conjeturado por Jacobi em
1832.
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A Teoria dos Números desenvolvida no século XVIII foi fortemente
influenciada pelas obras de Euler e Lagrange. No século XIX a ciência foi
marcada por outras obras a exemplo de Disquisitiones (1801) de Gauss e em
especial pelos trabalhos de Adrien-Marie Legendre que sistematizaram as
teorias do século anterior e forneceram ao século XX métodos inovadores e
problemas interessantes por meio da Análise Indeterminada ou Análise de
Diofanto.
Enfatizamos nesse trabalho a busca de Legendre por mais de 45 cinco anos para
encontrar uma fórmula geradora de números bem como para determinar
quantos números primos existem numa progressão aritmética, questões essas
que no fim do século XIX foram apontadas por Lucas (1891) como questões que
não possuíam uma solução satisfatória, a saber:
Dado um número primo p, encontrar outro número primo que seja maior do
que p.
Encontrar uma função que forneça números primos.
Encontrar um número primo sucessor de um determinado número primo.
Encontrar a quantidade de números primos menores do que um determinado
número.
Calcular diretamente um número primo a partir de uma sequência numérica.
(LUCAS, 1891, p. 354, tradução nossa)
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O matemático Legendre bem como Fermat, Mersenne,
Goldbach, Euler, Gauss, Riemann tentaram responder a
alguma dessas questões e envidaram esforços utilizando os
mais variados conhecimentos com fundamentos não
somente no ponto de vista estático da Aritmética, mas
também na divergência dinâmica de uma teoria dividida em
vários ramos de estudos em função dos métodos utilizados
e das questões tratadas (SAUTOY, 2005; GOLDSTEIN,
2004).
Nesse sentido divisamos que Legendre ao utilizar a Análise
Indeterminada, ultrapassou os limitados artifícios da
Aritmética na abordagem de uma série de problemas
clássicos. Suas demonstrações de outros importantes
resultados que foram consideradas como incompletas e até
mesmo deixaram a desejar, por estarem fundamentadas no
que ele chamava de “forma indutiva”. Na verdade, tais
demonstrações eram por apreensão por meio de exemplos
numéricos, que até certo ponto se adequava à teoria
exposta, porém, sem o devido rigor matemático que o
método de indução finita impõe. Embora as suas
consequências fossem verdades matemáticas, Legendre
tinha a concepção de que existiam teoremas que não
precisavam ser rigorosamente demonstrados.
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No entanto, os seus estudos sobre os números
primos deixaram como legado a conjectura sobre a
existência de números primos numa sequência
aritmética que somente foi demonstrada por
Lejeune-Dirichlet em 1837 utilizando o cálculo
infinitesimal e a análise complexa, quatro anos
depois da morte de Legendre. Tal conjectura
também inspirou o matemático Riemann, que na
juventude estudou todo o conteúdo do livro Teoria
dos Números (1830) e tempos depois, em 1859, e
criou a hipótese de Riemann, a saber: “os zeros da
função zeta (função definida por por Euler (1748)
por meio de séries cujos elementos são os inversos
dos quadrados de números naturais) pode
controlar a distribuição dos números primos em
sequências aritméticas de números naturais”.Esse
problema colocado por Riemann há mais de 150
anos, ainda focaliza o interesse dos maiores
matemáticos. Um deles foi André Weil, que em
1940 demonstrou um caso particular da conjectura
de Riemann utilizando argumentos da geometria
(LACHAUD, 2005).
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Legendre também deixou como herança aos matemáticos do
XX como Tchebychev, Hadamard, Erdös, Selberg, muitas
implicações na busca de uma fórmula mágica geradora de
números primos (RIBENBOIM, 2001).
O sonho de encontrar uma fórmula mágica para gerar
números primos permanece ainda hoje e permitiram grandes
avanços à Teoria dos Números: na teoria combinatória dos
números, os problemas em Teoria dos Números implicam
nas idéias combinatórias em suas formulações ou em suas
soluções onde os métodos algébricos ou analíticos são
fundamentais nesse campo de estudos. A teoria calculatória
dos números estuda em particular os algoritmos apropriados
para a Teoria dos Números em que algoritmos deterministas
e probabilistas para os testes de primalidade dos números e as
decomposições em produtos primos de números com grande
quantidade de algarismos têm importantes aplicações na
criptografia. ”(COUTINHO, 1997; RIBENBOIM, 2001;
SAUTOY, 2005).
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E o sonho continua... Como no caso da
demonstração do famoso Teorema de
Fermat, muitos matemáticos até hoje
ainda procuram demonstrar a hipótese
de Riemann e a conjectura de Goldbach:
“todo número par pode ser expresso
como soma de dois números primos”
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COUTINHO, S. C. Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. Instituto de Matemática e Aplicada. Série
de Computação e Matemática, 1997, p. 53 – 55.
GUEDES, Eric C. Bastos, Fórmulas para números primos. Rio de Janeiro: Eric
Campos Bastos Guedes 89p. – Rio de Janeiro: edição do autor, 2008.
RAMOS, M. A. R. A Teoria dos Números de Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
(a ser publicado EDFURN)
RIBENBOIM, Paulo. Números Primos: mistérios e recordes. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira e Matemática, Instituto de Matemática e Aplicada, Coleção
Matemática Universitária, 2001.
SAUTOY, M. La symphonie des nombres premiers. Traduit de l’anglais par
Raymond Clarinard, France: Editions Héloise d’Ormesson, 2005, Traduction de
The Music of the Primes. Traduzido no Brasil em 2005 como A Música dos
Números Primos.
SILVA, M. A. R RAMOS. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e suas obras em
Teoria dos Números. Tese em Educação, Universidade Federal do Rio Grande
do Norte. Centro de Ciências Sociais Aplicadas. Programa de Pós-Graduação em
Educação, Orientadores: Prof. Dr. John Andrew Fossa & Dra. Evelyne Barbin,
Natal: RN, 2010, 256 p.
WATANABE, Renate G.. Uma Fórmula para números primos. Revista do
Professor de Matemática, N. 37, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1998, p. 19 – 21.
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