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Estruturas de Betão Armado II 4 – Lajes Vigadas

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Estruturas de Betão Armado II 4 – Lajes Vigadas
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II
Estruturas de Betão Armado II
fct - UNL
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
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A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
fct - UNL
ANÁLISE ELÁSTICA DOS ESFORÇOS
Métodos de análise elástica dos esforços:
™ Métodos analíticos – Séries de Fourier
™ Métodos numéricos:
- Diferenças Finitas
- Elementos Finitos
™ Métodos aproximados
Existem ainda tabelas para o cálculo de esforços em lajes
vigadas, para diversas relações entre os vãos e para diferentes
condições de apoio. As mais conhecidas são as “Tabelas de
Marcus” e as “Tabelas de Barés”.
A. P. Ramos Set. 2006
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
fct - UNL
LAJE QUADRADA – APOIADA NO CONTORNO
Análise da convergência do Método dos Elementos Finitos
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4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
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TEORIA DA PLASTICIDADE
Comportamento não linear do betão armado:
mx
mx
Elasto-plástico
Plástico perfeito
Elástico Linear
Comportamento real
∂2ω
∂x2
∂2ω
∂x2
Devido à não linearidade do comportamento do betão é possível
adoptar diagramas de esforços diferentes dos obtidos pelo cálculo
elástico, para dimensionamento das armaduras das lajes aos
estados limites últimos.
A. P. Ramos Set. 2006
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II
4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços
fct - UNL
TEORIA DA PLASTICIDADE
Este facto é especialmente verdade em lajes porque:
¾ A percentagem de armaduras nas lajes é, em geral,
pequena, sendo a rotura em flexão condicionada pelo
comportamento do aço – comportamento dúctil.
¾ As lajes são bastante mais hiperstáticas que as
restantes estruturas (com excepção das consolas e das
lajes armadas numa só direcção), permitindo a
redistribuição de esforços em várias direcções.
Existem, no entanto, limitações à redistribuição de esforços para
acautelar um bom comportamento em serviço, nomeadamente o
controlo da fendilhação e da deformação.
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TEOREMA CINEMÁTICO
A carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível
é superior à carga última.
Método das linhas de rotura:
Laje rectangular
apoiada nos 4
bordos
Laje quadrada
apoiada em 2
bordos
m+
m-
Mecanismo 2
Mecanismo 1
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MÉTODO DAS LINHAS DE ROTURA
Cálculo para o mecanismo 2:
m-
wi = m − θ a 2
we = p
a2
δ
2
δ =θ
1
2
a
3 2
wi = we
2
a2 1
m θa 2=p
θ a
2 3 2
−
2
m− = p a
Curiosidade: m+ = m-
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A. P. Ramos Set. 2006
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TEOREMA ESTÁTICO
A carga que satisfaz as equações de equilíbrio, não excedendo
em nenhum ponto a capacidade resistente, é inferior à carga
última.
Este método é sempre conservativo
Os métodos baseados na análise plástica só devem ser utilizados
nas verificações em relação aos estados limites últimos,
podendo ser utilizados, sem qualquer verificação directa da
capacidade de rotação, desde que:
a) xu/d ≤ 0.25 para classes de resistência do betão ≤ C50/60
xu/d ≤ 0.15 para classes de resistência do betão ≥ C55/67
b) o aço das armaduras é da Classe B ou C
c) A relação entre os momentos nos apoio intermédios e os
momentos no vão está entre 0,5 e 2
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MÉTODO DAS BANDAS
O método das bandas utiliza o Teorema Estático da Teoria da
Plasticidade. Baseia-se no principio de que a carga aplicada pode
ser equilibrada apenas por flexão.
2
2
∂ 2 mx ∂ mxy ∂ m y
+
+
=−p
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
Desta forma, o método é conservativo porque existe uma reserva
de resistência (por torção) que não é considerada no cálculo.
2
∂ 2 mx ∂ m y
+
=−p
∂x 2
∂y 2
-px
-py
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MÉTODO DAS BANDAS
∂ 2 mx
− px =
∂x 2
p = px + p y
− py =
∂ 2my
∂y 2
px = α p
p y = (1 − α ) p
Com 0 ≤ α ≤ 1 – coeficiente de repartição de carga
A carga é repartida entre as direcções x e y
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MÉTODO DAS BANDAS
my =
mx =
p y l y2
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p x l x2
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MÉTODO DAS BANDAS
Os valores de α devem ser determinados por forma a obter
diagramas de momentos próximos dos elásticos e não forçar a
redistribuições exageradas.
Os valores de α podem ser estimados de duas formas:
•
Em função da sensibilidade e experiência do projectista.
•
Forçando a compatibilidade de deslocamentos a “meio vão” da
laje.
a = ax = a y
k x p x l x4
ax =
EI
ay =
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k y p y l y4
EI
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MÉTODO DAS BANDAS
Os valores para kx e ky dependem das condições de apoio:
k=
5
384
a = ax = a y
px = α p
k=
2.08
384
k=
4
k x p x l x4 k y p y l y
=
EI
EI
k x p x l x4 = k y p y l y4
α p k x l = (1 − α ) p k y l
4
x
p y = (1 − α ) p
1
384
4
y
α=
k y l y4
k x l x4 + k y l y4
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MÉTODO DAS BANDAS
Se considerarmos alternativamente um vão equivalente (l´):
l´= l
Vem para α:
l´= 0.8l
a
l´= 0.67l
1,00
0,90
0,80
α=
1
0,60
4
l'x
4
l'y
0,70
+1
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,5
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0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
l´x/l´y
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MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (1)
lx = ly
lx = ly
lx = ly
a=0.5
a=0.5
a=0.5
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MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (2)
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lx = ly
lx = ly
a=0.71
a=0.83
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MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (3)
lx = 1.5ly
a=0.165
lx ≥ 2ly
a=0
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MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
Lajes com cantos reentrantes
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MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
Lajes com aberturas
Abertura Central
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MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
Lajes com aberturas
Pequena abertura
a um canto
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MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
Lajes com aberturas
Grande abertura
a um canto
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MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)
Lajes com bordo livre
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PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo
Método Elástico Linear
Armadura Inferior
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PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo
Método Elástico Linear
Armadura Superior
A-A
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PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo
Método das Bandas
Armadura Inferior
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PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS
Pormenorização de um painel de canto analisado pelo
Método das Bandas
Armadura Superior
A-A
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PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
Na análise dos esforços em lajes vigadas com continuidade os
esforços podem ser determinados nos painéis isolados, sendo depois
necessário efectuar o equilíbrio dos momentos negativos nos apoios
comuns dos diversos painéis e reajustar os momentos positivos.
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PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
O equlíbrio dos momentos negativos sobre os apoios pode ser
efectuado por uma técnica simplificada baseada no Método de
Cross. Esta técnica consiste em repartir a diferença entre os
momentos (m1-m2) pelos dois vãos adjacentes ao apoio da seguinte
forma:
m´1 = m1 – k1 (m1 - m2)
e
m´2 = m2 + k2 (m1 - m2)
Os coeficientes de repartição são dados por:
k1
k1 =
k1 + k 2
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e
k2
k2 =
k1 + k 2
Nestas expressões k é a
rigidez à rotação da
extremidade da barra
junto ao nó
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PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
Para painéis extremos
(apoiado-encastrado):
k=
Para painéis interiores
(encastrado-encastrado):
3EI
l
k=
4 EI
l
As expressões apresentadas na página anterior podem igualmente
ser escritas da seguinte forma:
´
´
2
1
1
2
´
´
´
´
1
2
1
2
k =
l
l +l
e
k =
l
l +l
Em que l´=l para painéis de extremidade, e l´=3/4l para painéis
interiores.
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PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
Se considerarmos agora a simplificação de que o coeficiente de
transmissão é nulo para lajes armadas em duas direcções, o
processo fica bastante simplificado.
+
=
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II
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PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE
Desta forma torna-se simples o cálculo do momento equilibrado
sobre o apoio uma vez que:
m′ = m1′ = m2′
Então:
m′ = m1 −
l2′
(m1 − m2 )
l1′ + l2′
Ou:
m′ =
m1 l1′ + m2 l2′
l1′ + l2′
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ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS
Ver acetatos anexos
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