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Estrelas de Nêutrons: Estrutura e Propriedades

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Estrelas de Nêutrons: Estrutura e Propriedades
Fernanda Machado Araújo
Estrelas de Nêutrons:
Estrutura e Propriedades
Trabalho submetido à Universidade Federal do
ABC como parte dos requisitos para a conclusão
do projeto de pesquisa de Iniciação Científica.
Santo André – São Paulo
Setembro - 2010
Fernanda Machado Araújo
Estrelas de Nêutrons:
Estrutura e Propriedades
Trabalho submetido à Universidade Federal do
ABC como parte dos requisitos para a conclusão
do projeto de pesquisa de Iniciação Científica.
Profª Drª Cecília B. M. H. Chirenti
Orientadora
Centro de Matemática, Computação e Cognição - UFABC
Santo André, São Paulo, Setembro – 2010
ii
Ficha Catalográfica
Araújo M, Fernanda.
Estrelas de Nêutrons: Estrutura e Propriedades. Santo André, 2010. 29p.
Iniciação Científica – Universidade Federal do ABC. Centro de Matemática,
Computação e Cognição.
1. Estrelas de Nêutrons 2. Estrelas Newtonianas e Relativísticas 3. Estabilidade
4. Causalidade I. Universidade Federal do ABC. Centro de Matemática, Computação e
Cognição. II. Estrelas de Nêutrons: Estrutura e Propriedades.
iii
Dedico este trabalho à Universidade Federal do ABC pela oportunidade de estudar
na universidade do século XXI.
iv
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, por seus caminhos terem me trazido até
aqui. Em segundo lugar, agradeço à minha família por seu amor e apoio
incondicionais. Gostaria de agradecer também à minha orientadora, Profª Drª
Cecília Chirenti, à UFABC e ao CNPq pela grande oportunidade de aprendizado.
Por último, agradeço aos meus amigos, funcionários e professores por tornarem a
minha experiência acadêmica, uma grande experiência de vida.
v
Resumo
Estrelas de nêutrons são objetos astrofísicos fascinantes. Suas características gerais
são previstas pela teoria da evolução estelar, para a qual existe abundante evidência
observacional (pulsares, magnetares e sistemas binários). Neste projeto, visa-se obter uma
comparação das propriedades de estrelas de nêutrons obtidas a partir de diferentes modelos.
O estudo analítico das estrelas de nêutrons iniciará com modelos de estrelas newtonianas,
utilizando-se equações de estado (EoS) politrópicas. A estrutura interna dos politropos é
obtida através da integração numérica da equação de Lane-Emden. Para as diversas
características simuladas (valores de índices politrópicos, massa, raio, temperatura, pressão
e densidade), obteve-se propriedades fundamentais de estrelas Newtonianas como o limite
de Chandrasekhar para anãs-brancas. Entretanto, equações Newtonianas não descrevem
corretamente objetos massivos e compactos. Para estrelas de nêutrons há um limite superior
de massa, apoiado por evidências observacionais, que não é previsto pelas equações
Newtonianas. Portanto, estrelas de nêutrons são melhor descritas segundo o âmbito da
Relatividade Geral. A introdução das equações TOV (juntamente com as equações
relativísticas de Lane-Emden) no tratamento relativístico são, portanto, necessárias para
identificar corretamente modelos estáveis e instáveis (relação massa-raio). A análise da
equação de estado torna-se também relevante para prevenir uma possível violação de
causalidade (velocidade do som mais rápida que c).
vi
Abstract
Neutron stars are fascinating astrophysical objects. Their general characteristics are
predicted by the theory of stellar evolution, for which there is abundant observational
evidence (pulsars, magnetars and binary systems). This work aims to compare the
properties of neutron stars obtained through different models. We begin our study of
neutron stars with Newtonian stellar models using polytropical equations of state (EoS).
The internal structure of the polytropes is obtained by the numerical integration of the LaneEmden equation. For the several conditions simulated (values of polytropic index, mass,
radius, temperature, pressure and density), fundamental properties of Newtonian stars were
obtained such as the Chandrasekhar’s limit for white dwarfs. However, Newtonian
equations cannot correctly describe very compact and massive objects. There is an upper
mass limit for neutron stars, supported by observations, which is not predicted by
Newtonian equations. Neutron stars are best described under the framework of General
Relativity. The introduction of TOV equations (as well as relativistic Lane-Emden
equations) in the relativistic treatment is, therefore, necessary to correctly identify stable
and non-stable models (mass-radius relation). The analysis of the EoS also becomes
relevant to prevent a possible violation of causality (sound speed larger than c).
vii
Lista de Figuras
FIG. 1 – Comportamento da densidade de energia em função do raio.......... pág. 10
FIG. 2 – Comportamento da massa da estrela ao longo do raio....................... pág.10
FIG. 3 – Soluções numéricas e analíticas para o comportamento da pressão em
função do raio................................................................................................... pág. 10
FIG. 4 – Comportamento da densidade de energia para o caso não
relativístico........................................................................................................ pág.13
FIG. 5 – Comportamento da massa em função do raio para o caso não
relativístico....................................................................................................... pág. 14
FIG. 6 - Comportamento da pressão em função do raio para o caso não
relativístico........................................................................................................ pág.14
FIG.
7
–
Comportamento
da
densidade
de
energia
para
o
caso
relativístico........................................................................................................ pág.15
FIG. 8 – Comportamento da massa em função do raio para o caso
relativístico....................................................................................................... pág. 15
FIG. 9 – Comportamento da pressão para o caso relativístico........................ pág. 16
FIG. 10 – Comportamento da função
viii
para o caso
................... pág. 18
Lista de Tabelas
TABELA I– Tabela dos resultados das simulações realizadas....................... pág. 11
TABELA II – Propriedades de estrelas politrópicas de acordo com o valor de índice
politrópico........................................................................................................ pág. 28
TABELA III– Parâmetros das funções relativísticas de Lane-Emden Tabela dos
resultados das simulações realizadas................................................................ pág. 22
ix
Lista de Abreviaturas e Siglas
EoS
Equation of State
TOV
Tolman - Oppenheimer - Volkoff
x
Lista de Símbolos
a
Constante para a determinação do raio na equação de Lane-Emden
c
Velocidade da luz no vácuo
Densidade de Energia no interior da estrela
Densidade de Energia central
EDO’s
Equações Diferenciais Ordinárias
G
Constante gravitacional
γ
Expoente politrópico
K
Kelvin
km
Quilômetro
κ
Constante da equação de estado politrópica
mH
Massa do átomo de hidrogênio
Massa solar
Peso molecular médio do gás
n
Índice politrópico
Pressão no interior da estrela
Pressão inicial
Densidade de matéria
Densidade de matéria central da estrela
Distância de um ponto interior até o centro da estrela
xi
R
Raio da estrela
s
Segundo
T
Temperatura
x
Variável da equação de Lane-Emden
y
Variável da equação de Lane-Emden
xii
Sumário
Lista de Figuras..................................................................................................... viii
Lista de Tabelas....................................................................................................... ix
Lista de Abreviaturas e Siglas................................................................................. x
Lista de Símbolos..................................................................................................... xi
Introdução................................................................................................................. 1
Objetivos.................................................................................................................... 4
Metodologia............................................................................................................... 5
Resultados e Discussão............................................................................................. 7
4.1. Modelagem Newtoniana......................................................................... 8
4.2. Modelagem Relativística....................................................................... 19
4.2.1 Estabilidade e Causalidade de Politropos Relativísticos............. 28
Conclusão................................................................................................................ 29
Referências Bibliográficas.................................................................................... xiii
Apêndice A............................................................................................................. xiv
A.1
Rotinas Numéricas........................................................................... xiv
A.1.1. Equação de Lane-Emden.................................................................. xiv
A.1.2. Equação de Lane-Emden Relativística........................................... xvii
A.1.3. Equação de Lane-Emden.................................................................. xix
xv
Capítulo 1
Introdução
Vivencia-se um período de grandes e fascinantes descobertas nas áreas de Física,
possibilitando a aquisição de conhecimentos e compreensão de significados de fenômenos
outrora desconhecidos. A cosmologia, por exemplo, não é diferente. Estuda-se com afinco a
expansão acelerada do Universo, os recorrentes termos relacionados energia e matéria
escuras, a possível emissão de ondas gravitacionais em sistemas binários entre outros. Em
meio a essa diversidade fenomenológica, pode-se também destacar um objeto físico de
fundamental relevância à verificação de emissões de ondas gravitacionais, as estrelas de
nêutrons. Dessa forma, o estudo destes objetos compactos torna-se importante para a
comprovação de previsões feitas a partir da teoria da Relatividade Geral.
Modelos acurados de estrelas de nêutrons estão ainda em elaboração. A equação de
estado da matéria nas condições extremas encontradas no centro destes objetos ainda é
desconhecida. Existe uma multiplicidade de diferentes fatores que podem ser levados em
conta. A existência de uma crosta sólida, campos magnéticos, rotação e superfluidez são
apenas alguns deles[1]. O estudo de estrelas de nêutrons é, portanto, extremamente
interdisciplinar, abrangendo diversas áreas da Física.
Entretanto, é necessário verificar se os modelos obtidos a partir de diferentes
suposições e simplificações são fisicamente consistentes e corretos. Devido à sua alta
compacidade é natural que estrelas de nêutrons sejam estudadas utilizando a teoria da
Relatividade Geral.
1
Neste projeto, inicialmente, serão abordadas simulações de estrelas Newtonianas
sem o devido acréscimo das correções relativísticas a fim de se obter as principais
propriedades físicas e estrutura interna das estrelas. O objetivo do estudo da estrutura estelar
é determinar as variações internas de suas principais propriedades físicas, como a pressão, a
densidade e a temperatura em termos de parâmetros de entrada como a massa total e a
composição química. Para isso é necessário conhecer os principais processos físicos que
ocorrem nas estrelas, quantificá-los e obter um sistema de equações, cuja solução deve levar
às variações desejadas.
Existem, no entanto, modelos mais simplificados que permitem obter essas soluções
ou de forma analítica ou por meio de soluções numéricas. Esses modelos são chamados
estrelas politrópicas ou politropos [2]. A equação de estado politrópica é util na descrição da
matéria em anãs-brancas e estrelas de nêutrons, variando-se apenas os índices politrópicos
(n) em cada caso. Sua utilização é devida à massa de estrelas de nêutrons se encontrar
predominantemente na região do núcleo, para a qual, especialmente se a equação de estado
for dura (n
) uma aproximação politrópica é razoável[3].
Dessa forma, para a construção de um modelo de uma estrela, deve-se conhecer um
conjunto de equações que são capazes de descrever o material constituinte da estrela e sua
estrututra. Utiliza-se, então, dois grupos de equações. A equação de estado, a qual relaciona
pressão, densidade e temperatura e as equações de estrutura. As equações de estrututra são
compostas pela equação de equilíbrio hidrostático e equação de continuidade da massa. O
equilíbrio hidrostático representa um balanço entre a força gravitacional e a pressão interna
da estrela. Se esse equilíbrio é alterado, podemos dizer que a estrela poderá expandir ou
encolher. A equação de continuidade da massa infere a distribuição da massa estelar ao
longo do volume esférico ocupado pela estrela1. As equações de estrutura são importantes
pois determinam a distribuição de grandezas que permitem a obtenção do valor da massa
total da estrela e seu tamanho [4].
Quanto à modelagem do perfil interno das estrelas, faz-se necessária a introdução de
uma equação nas simulações, que será responsável por determinar toda a estrutra interna de
uma estrela. Essa equação é proveniente das equações de estrutura e é denominada equação
de Lane-Emden. A equação de Lane-Emden modela a estrutura de um sistema
termodinâmico cuja equação de estado é um fluido politrópico e permite determinar o perfil
2
1
As estrelas aqui tratadas são supostas esféricas.
de pressão, densidade e temperatura em função da distância ao centro [2].
No tratamento relativístico,
introduz-se as equações TOV juntamente com as
equações relativísticas de Lane-Emden para identificar corretamente modelos politrópicos
estáveis e instáveis (relação massa-raio). Essa relação é obtida a partir de simulações para
distintos valores de índices politrópicos e buscando-se um valor de massa máxima para cada
equação de estado utilizada. A análise da equação de estado torna-se também relevante para
prevenir uma possível violação de causalidade (velocidade do som maior que c).
Os capítulos subseqüentes apresentarão respectivamente os objetivos (capítulo 2),
metodologia (capítulo 3), resultados e discussão (capítulo 4) e conclusão (capítulo 5). O
capítulo 4 é subdividido em três seções, as quais apresentarão as simulações Newtonianas
realizadas para diversos valores de n, massa, raio, temperatura, pressão e densidade
juntamente com a obtenção de propriedades fundamentais de estrelas newtonianas como o
limite de Chandrasekhar para anãs-brancas e a constatação essencial da limitação de
equações Newtonianas para a descrição de objetos massivos e compactos como estrelas de
nêutrons. Não obstante, mostra-se ainda simulações comparando-se os resultados
relativísticos e não relativísticos, e as pricipais constatações da introdução das correções
relativísticas, como a a verificação de massas máximas para cada EoS, possibilitando
definir o critério de estabilidade dos modelos.
3
Capítulo 2
Objetivos
O principal objetivo científico deste projeto é obter uma comparação das
propriedades de estrelas de nêutrons obtidas a partir de diferentes modelos. O estudo
analítico das estrelas de nêutrons começará com modelos newtonianos, para depois incluir
as correções relativísticas.
Assim, ao longo do projeto será realizado uma revisão
bibliográfica sobre os conceitos de Relatividade Geral
[1, 5, 6]
com o intuito de promover a
aquisição de noções básicas sobre o assunto.
Há também a elaboração de um programa para a integração numérica das equações
de estrutura (inicalmente Excel e posterior passagem ao MatLab). A partir disso, com a
estrutura desenvolvida, essa será aplicada para diferentes equações de estado, para
investigação de propriedades termodinâmicas e mecânicas.
4
Capítulo 3
Metodologia
A resolução das equações de estrutura bem como a equação de Lane-Emden foram
obtidas a partir de métodos numéricos padrão. Para a simulação inicial de estrelas
Newtonianas, adotou-se como método numérico, o método de Euler utilizando o software
Excel. O método de Euler é comumente utilizado para resolução de equações diferenciais
ordinárias (EDO’s), partindo-se de condições iniciais e valendo-se de uma expansão em
série de Taylor truncada em primeira ordem [7]. O método de Euler pode ser representado da
seguinte forma:
Em que
indica o erro cometido ao se truncar a fórmula de Taylor.
Em seguida, a implementação foi feita no software MatLab para utilização do
método Runge–Kutta de 4ª ordem para obter maior precisão na integração de sistemas de
equações diferenciais acopladas. O método de Runge-Kutta é mostrado a seguir:
5
Em que
é o passo de integração.
No tratamento relativístico, as equações relevantes são as equações de Tolman –
Oppenheimer –Volkoff (TOV) e as equações relativísticas de Lane-Emden. Essas equações
introduzem as correções relativísticas às equações de estrutura para uma correta modelagem
de objetos massivos e compactos.
6
Capítulo 4
Resultados e Discussão
A modelagem da estrutura interna estelar permite a descoberta do comportamento
das variáveis físicas que caracterizam uma estrela. O comportamento das grandezas
temperatura, pressão e densidade de matéria é obtido a partir da equação de estado que
melhor caracteriza o fluido termodinâmico presente na estrela. Neste projeto, considera-se
que a estrela é um politropo, isto é, possui uma equação de estado (EoS) que obedece a
seguinte relação:
e
A utilização de equações de estado politrópicas é devido à massa de estrelas de
nêutrons estar localizada predominantemente na região do núcleo, para a qual,
especialmente se a equação de estado for dura (n
) uma aproximação politrópica torna-
se razoável[3].
A relação entre a massa da estrela e seu tamanho pode ser obtida integrando-se as
equações de estrutura no tratamento não relativístico e as equações TOV no tratamento
relativístico.
7
4.1. Modelagem Newtoniana
As equações de estrutura são compostas pela equação de equilíbrio hidrostático e a
equação de continuidade da massa. A equação de equilíbrio hidrostático representa um
balanço entre a força gravitacional e a pressão interna da estrela. Sua forma diferencial é
apresentada abaixo:
As quantidades
que aparecem na equação de equilíbrio hidrostático
não são independentes. A massa
interior ao raio
será determinada pela densidade do
material estelar. Portanto, a equação que relaciona essa dependência é a equação de
continuidade da massa e é apresentada a seguir:
A massa da estrela a ser modelada possui um papel importante na competição entre
força gravitacional e pressão. Quanto mais massiva a estrela, maior será a pressão
necessária para compensar a gravidade. A pressão e temperatura serão mais altas no núcleo
e vizinhanças. Por outro lado, uma estrela de baixa massa terá temperatura e pressão
centrais mais baixas.
O processo de modelagem, neste projeto, consistiu na utilização de diversas
condições características de uma estrela, variando-se valores centrais e equações de estado,
permitindo-se diferentes simulações de interiores estelares e obtenção de diferentes valores
de comportamento de massa, temperatura, pressão e densidade.
Inicialmente efetuou-se a integração numérica das equações de estrutura para uma
densidade de energia (
) constante. Neste caso, optou-se por utilizar a densidade de
energia ao invés da densidade de matéria. Para se resolver as equações de estrutura para
8
P(r) e M(r), deve-se integrar desde a origem
até o ponto r = R, onde a pressão cai
a zero. Este ponto define R como o raio da estrela. Para isso é necessário um valor inicial da
pressão em r = 0, chamado p0. O raio da estrela R e a massa total da estrela M(r) = M
dependerão de p0. Para realizar a integração, precisa-se saber a densidade de energia E(r)
em termos da pressão P(r). 2 Essa relação é a equação de estado para a matéria constituinte
da estrela. Entretanto, neste caso, considera-se a densidade de energia constante ao longo da
estrela e não se faz necessário o uso da equação de estado.
Sejam as equações diferenciais da forma:
As condições de contorno são:
Como a densidade de energia é constante, tem-se:
A partir da equação de continuidade da massa pode-se descobrir
pelo método
de Euler. Adotou-se como passo de integração o valor de 0,5 km e
solução de
km. Com a
obtida, pode-se integrar a equação de equilíbrio hidrostático e achar a
solução
Na primeira etapa, as integrações foram feitas variando-se os valores de
e
.
Ilustra-se, nas Figuras 1, 2 e 3, os resultados obtidos para uma simulação de valores para
= 6x10-4 Msolc2/km3 e
= 2x107 Msol/kms2.
9
2
A densidade de energia é dada por
Portanto, se impormos
A implicação
da imposição
nas equações se dá somente na conversão de unidades e nos valores dos parâmetros,
isto é, será adotada uma nova escala dependente de c.
Valores de E(r) (Msol c2/km3)
7,00E-04
6,00E-04
5,00E-04
4,00E-04
3,00E-04
2,00E-04
1,00E-04
0,00E+00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Raio (km)
FIG. 1 – Comportamento da densidade de energia em função do raio
3
2
1,5
1
0,5
0
Raio (km)
0
2
4
6
8
10
12
FIG. 2 – Comportamento da massa da estrela ao longo do raio
2,50E+07
Pressão (Msol/kms2)
Massa (Msol)
2,5
2,00E+07
1,50E+07
1,00E+07
Solução numérica para
p(r)
5,00E+06
Solução analítica p(r)
0,00E+00
0
5
10
15
Raio (km)
FIG. 3 – Soluções numéricas e analíticas para o comportamento da pressão em função do raio
10
Como resultado final desta simulação, obteve-se uma estrela de nêutrons de raio
igual a 10 km, massa 2,33 Msol,
= 6x10-4 Msolc2/km3 e
interessante notar que para o caso de
= 2x107 Msol/kms2. É
a solução pode ser obtida
analiticamente, sem o uso de métodos numéricos.
Para as diversas simulações feitas, podemos sintetizar os resultados, expressos na
tabela abaixo:
TABELA I – Tabela dos resultados das simulações realizadas
Raio (km)
Massa (
)
10
2,72
7x10-4
2x107
10
2,33
6x10-4
2x107
10
1,94
5x10-4
8x106
10
1,55
4x10-4
8x106
Para a modelagem completa do interior estelar será introduzida uma equação nas
simulações, responsável por determinar toda a estrutra interna de uma estrela. Essa equação
é proveniente das equações de estrutura e é denominada equação de Lane-Emden. A
equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária, não-linear, de 2ª ordem e
grau n e modela a estrutura de um sistema termodinâmico cuja equação de estado é a de um
fluido politrópico.
A equação de Lane-Emden é, assim, representada:
Ou reescrita de forma mais sucinta:
As variáveis
e
são definidas por:
Por simetria esférica, para
deve-se ter
11
de modo a evitar uma
singularidade no centro. Portanto, as condições de contorno da equação de Lane-Emden no
centro da estrela são:
Para
e
Assim, obtida a solução
para a equação de Lane-Emden para um dado n, é
necessário obter as variáveis físicas
contorno e que
Lembrando-se sempre das condições de
para
Pode-se mostrar que para
o politropo tem raio infinito, de modo que as
[2]
soluções com raios finitos devem ter
. Resta-se, então, descobrir
Isso pode
ser feito por integração numérica, utilizando-se o método de resolução de EDO’s de ordem
Resolveu-se
a
equação
de
Lane-Emden
para
os
índices
politrópicos
As respectivas equações diferenciais usadas são apresentadas
abaixo:
Mostrar-se-á detalhadamente somente o caso em que
obter alguns resultados interessantes. O caso
para o qual é possível
é um caso especial e representa o
12
modelo padrão de uma estrela. Este valor aplica-se ao caso de uma estrela de matéria
degenerada3 relativística, em que
é proporcional a
simulação de uma estrela de índice politrópico
são mostrados a seguir e basearam-se
em uma estrela com parâmetros de entrada de massa 2,5
FIG. 4 – Simulação para
. Os resultados para a
e raio igual a 10 km.
. Solução para a equação de Lane-Emden não relativística. Comportamento da
Densidade, Pressão, Temperatura e Massa
Partindo-se de valores fixos de
e κ e, variando-se a densidade central
da estrela,
pretende-se obter o comportamento da variação das massas de acordo com a variação dos
valores de raio, isto é, busca-se verificar o comportamento de estrelas Newtonianas e a
constatação de massas máximas.
13
_________________________
3
Matéria degenerada é a matéria na qual uma fração importante da pressão provém do Princípio de
exclusão de Pauli.
A garantia da manutenção do valor constante de κ é dada através de uma relação única entre
a constante
e
As equações usadas nesta simulação são apresentadas em seguida.
Relação única entre
Para o caso
e
.
ao substituir-se o valor do índice politrópico nas equações
utilizadas, observa-se que a massa independe da densidade central
. Isto implica que a
massa é constante para todos os valores de raios simulados (FIG. 5).
6,00E+33
5,00E+33
Massa (g)
4,00E+33
3,00E+33
2,00E+33
1,00E+33
0,00E+00
0
5
10
15
20
Raio (cm)
FIG. 5 – Comportamento dos valores da massa para raios distintos para
Além disso, estudou-se o comportamento da densidade central
para diferentes
valores de raio (FIG. 6). Conforme aumenta-se o raio das estrelas, observa-se que os valores
de ρc diminuem. Para valores mais altos de ρc, mais massivas serão as estrelas. Portanto,
mais compactas elas terão de ser, de forma que a pressão seja capaz de suportar o colapso
gravitacional. A independência da massa em relação aos valores de
e, portanto, sua
constância para diferentes valores de raio significa a obtenção de uma massa máxima, isto
é, o único valor de massa possível. O limite de massa obtido representa que estrelas
governadas por
não podem assumir um valor maior de massa, caso contrário,
sofrerão um colapso gravitacional [1,4].
14
Dessa forma, é natural que se possa simular novamente o comportamento das massas das
estrelas para diferentes valores de κ, de forma a obter o limite de Chandrasekhar
(FIG. 4, 7, 8), a massa máxima para anãs-brancas (
). Essa simulação implica ao
variarmos κ e mantermos n constante em descobrir as diversas massas máximas das estrelas
segundo os valores de κ. Portanto, cada ponto na simulação corresponderá a uma estrela
diferente.
8,00E+15
Valores de ρc (g/cm3)
7,00E+15
6,00E+15
5,00E+15
4,00E+15
3,00E+15
2,00E+15
1,00E+15
0,00E+00
0,00E+00
5,00E+06
1,00E+07
1,50E+07
2,00E+07
2,50E+07
Raio (cm)
FIG. 6 – Comportamento dos diversos valores de
para raios distintos com
2
1,8
1,6
M (Msol)
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,00E+00
2,00E+14
4,00E+14
6,00E+14
K ( cm3/(g1/3*s2)
FIG. 7 – Comportamento da massa em função da variação dos valores de κ
15
8,00E+14
Massa (Msol)
1,405
1,4
1,395
1,39
1,385
1,38
1,375
1,37
1,365
1,36
1,355
4,65E+14
4,70E+14
4,75E+14
4,80E+14
K ( cm3/(g1/3*s2)
FIG. 8 – Limite de Chandrasekhar
A FIG. 8 ilustra o comportamento das massas para uma variação mínima de κ.
Portanto, pode-se inferir que o valor de κ que melhor representa o limite de Chandrasekhar
para anãs-brancas (1,4 Msol) é 4,78999 x 1014 cm3/(g1/3s2).
O Limite de Chandrasekhar representa a massa máxima possível para uma anã
branca (
g). Se uma anã branca exceder esse valor limite de massa,
sofrerá um colapso gravitacional. A energia gerada por fusão nuclear de elementos leves em
elementos mais pesados no núcleo estelar origina uma pressão de sentido contrário ao da
gravidade, pressionando a atmosfera da estrela para fora. À medida que o combustível da
estrela é gasto e começa a se esgotar, a atmosfera estelar retrocede na direção do núcleo,
acelerada por sua própria gravidade. Nesta fase, se a estrela possuir uma massa inferior ao
Limite de Chandrasekhar, o colapso é limitado pela pressão de degenerescência dos elétrons
(Princípio de exclusão de Pauli), resultando em uma anã branca estável. Entretanto, se a
estrela não possui mais combustível para manter sua produção de energia e possui uma
massa superior ao Limite de Chandrasekhar, a pressão exercida pelos elétrons não é
suficiente para suportar a força da gravidade e a estrela entra em colapso. Sua densidade
aumentará drasticamente, levando à formação de uma estrela de nêutrons ou buraco
negro4,[1,8].
16
________________________
4
É possível ainda a formação de uma estrela de quarks. No entanto, essa é uma solução teórica e não será
abordada nesse projeto.
Para cada nêutron formado pela fusão de um próton e um elétron durante o colapso
será liberado um neutrino (conservação do número leptônico) [9].
O Limite de Chandrasekhar resulta dos efeitos previstos pela Mecânica Quântica
considerando-se o comportamento dos elétrons que provocam a pressão degenerativa de
uma anã branca. Elétrons, sendo férmions, não podem ocupar o mesmo nível de energia,
i.e., não podem ser descritos pelos mesmos números quânticos. Dessa forma, em anãsbrancas, uma grande quantidade de elétrons encontram-se em níveis de energia superiores,
provocando uma determinada pressão capaz de sustentar a estrela. Para uma massa superior
à limite, essa pressão de degenerenscência torna-se insuficiente para impedir a eminente
contração da estrela. O índicio para a veracidade do Limite de Chandrasekhar está em que,
até as observações atuais, nenhuma anã branca com massa maior à de Chandrasekhar foi
alguma vez observada[9,8].
Simulações envolvendo diferentes índices politrópicos, diferentes de
mostram que na análise Newtoniana de estrelas, não é possível constatar um valor para o
qual a massa atinge um valor máximo finito. Os valores de massa tendem a crescer
indefinidamente, enquanto que a Relatividade Geral prevê uma massa máxima para cada
equação de estado. Mostra-se para o caso
, por exemplo, a não obtenção de uma
massa máxima para uma determinada EoS, e sim, valores crescentes não limitados de
massas.
1,4
1,2
M(Msol)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10
15
20
25
30
35
R(km)
FIG. 9 – Comportamento das massas de estrelas Newtonianas em função de diferentes raios para
17
40
A seguir, apresenta-se uma síntese das principais características obtidas para os
politropos simulados.
TABELA II – Propriedades de estrelas politrópicas de acordo com o valor de índice politrópico
Índices Politrópicos
Propriedades
n = -1
Politropo de pressão constante
n=0
Politropo de densidade constante
n = 1,5
Caso de um politropo adiabático e de um gás degenerado não
relativístico (γ = 5/3)
n=3
Modelo padrão. Caso degenerado relativístico (γ = 4/3).
n=5
Politropo de raio infinito
n=∞
Politropo de temperatura constante
18
4.2. Modelagem Relativística
As simulações clássicas realizadas até o momento mostraram que a Gravitação
Newtoniana não é capaz de descrever corretamente o comportamento de objetos muito
compactos e massivos. Na teoria Newtoniana, não encontra-se evidência de massas
máximas nas equações, ao passo que a teoria da Relatividade Geral prevê a obtenção de
massas máximas para cada equação de estado utilizada. Faz-se, portanto, necessária a
introdução de correções relativísticas nas equações de estrutura responsáveis por modelar o
perfil estelar. A introdução das correções relativísticas nas equações caracterizam as
chamadas equações TOV. As equações TOV são obtidas pela resolução das equações de
Einstein em uma métrica esfericamente simétrica e determinam a estrutura de um corpo
em equilíbrio gravitacional, esfericamente simétrico e isotrópico, modelado pela
Relatividade Geral[8]. Mostra-se, a seguir, as equações TOV.
Em que
é densidade de massa total e
é a massa gravitacional interior ao raio
Essas equações, quando implementadas junto a uma equação de estado,
determinam completamente a estrutura de um corpo isotrópico, esfericamente simétrico
e em equilíbrio. É importante ressaltar, que se supormos a velocidade da luz instantânea
(
), como na teoria Newtoniana, as equações TOV voltarão a possuir a forma da
equação de equilíbrio hidrostático anteriormente vista e, novamente, poderá ser
modelado um objeto em que as correções da Relatividade Gerial podem ser
desconsideradas.
Analogamente ao tratamento clássico, pode-se utilizar uma equação que introduza
19
novos parâmetros e seja uma combinação das equações de estrutura para possibilitar a
determinação de toda a estrutura interna de uma estrela. No tratamento relativístico, utilizase as equações de Lane-Emden relativísticas. Define-se, então, coordenadas adimensionais
de raio, massa e densidade:
Em que,
e o subscrito
refere-se a valores centrais
Com a definição desses novos
parâmetros, a equação de estado de um fluido politrópico
e as equações TOV
assumem a seguinte forma
As funções de Lane-Emden são as soluções das duas últimas equações, resolvidas
simultaneamente, desde que se satisfaçam as condições
em
e
em
As características relativísticas encontram-se apenas na última equação. O índice
representa o caráter da Relatividade Geral inserido nessas equações.
20
Novamente, pode-se, a partir das equações relativísticas de Lane-Emden, chegar-se
à formulação não relativística da equação de Lane-Emden. Para
relativísticos
podem
ser
desconsiderados
resume-se a
e
assim,
e, juntamente com
, os efeitos
a
equação
, chega-se
à formulação original não-relativística de Lane-Emden
4.2.1. Estabilidade e Causalidade de
Politropos Relativísticos
Para o tratamento relativístico, estendeu-se os cálculos realizados, incluindo os
resultados previamente obtidos, para equações de estado mais duras (matéria
incompressível,
), buscando-se encontrar massas máximas para cada valor distinto de
índice politrópico. A TABELA III apresenta todas as simulações numéricas realizadas,
junto com valores de massa e raio obtidos para cada família de estrela. A partir desses
resultados, foi possível verificar se as soluções obtidas eram causais e estáveis. As equações
utilizadas para o cálculo das propriedades apresentadas na TABELA III são fornecidas
abaixo.
,
21
TABELA III – Parâmetros das funções relativísticas de Lane-Emden

ξ1
M (1033 g)
R (km)
6,8966
6,8264
7,9494
10,8346
17,8244
37,2163
91,0674
162,6175
187,233
187,029
183,6571
n = 3.0, 
2,0182
2,0182
1,0785
1,0785
0,713
0,713
0,5386
0,5386
0,4516
0,4516
0,4214
0,4214
0,4493
0,4493
0,5266
0,5266
0,5969
0,5969
0,6375
0,6375
0,657
0,657
4,9701
2,6558
1,7559
1,3264
1,1121
1,0377
1,1065
1,2968
1,4698
1,57
1,618
10
9,8982
11,5267
15,7101
25,8454
53,9637
132,0477
235,7954
271,4878
271,1921
266,3027
5,357
4,7838
4,7223
4,9868
5,5453
6,4325
7,7234
9,5149
11,884
14,825
n = 2.5, 
2,1869
0
1,1694
0,6576
0,7608
0,5088
0,5558
0,4113
0,4387
0,3489
0,3665
0,3082
0,3203
0,2819
0,2905
0,2657
0,2721
0,2573
0,2618
0,255
5,38545994
2,87976444
1,87354608
1,36871308
1,08034262
0,9025429
0,78877078
0,7153853
0,67007346
0,64470868
7,76765
6,93651
6,847335
7,23086
8,040685
9,327125
11,19893
13,796605
17,2318
21,49625
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1.0...................
4,3531
3,6989
3,3983
3,271
3,2473
3,2967
3,3986
3,5469
3,7334
3,9539
4,2027
n = 2.0, 
2,411
0
1,2987
0,4107
0,8403
0,3758
0,6055
0,3316
0,468
0,296
0,38
0,2687
0,3201
0,2479
0,2773
0,232
0,2457
0,2197
0,2216
0,2102
0,203
0,203
5,9374
3,1981
2,0693
1,491
1,1525
0,9358
0,7882
0,6828
0,6049
0,5458
0,4998
6,312
5,3634
4,9275
4,743
4,7085
4,7802
4,9279
5,143
5,4134
5,7332
6,0938
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
3,6537
3,0385
2,6993
2,4931
2,3611
2,2749
n = 1.5, 
2,7141
0
1,4823
0,2636
0,9604
0,2872
0,6883
0,279
0,527
0,2651
0,4226
0,2513
6,6836
3,6502
2,3649
1,695
1,2978
1,0406
5,2979
4,4058
3,914
3,6149
3,4237
3,2986
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1.0...................
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
v(ξ1)
Mtilda
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1.0...................
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1.0...................
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
2,2192
2,1848
2,1658
2,1585
2,16
0,3505
0,2985
0,2594
0,2291
0,2051
0,239
0,2284
0,2194
0,2117
0,2051
0,8633
0,735
0,6387
0,5642
0.5052
3,2178
3,168
3,1404
3,1299
3,132
3,1416
2,5989
2,277
2,0642
1,9133
1,8008
1,7143
1,6458
1,5903
1,5447
1,5066
n = 1.0, 
3,1416
0
1,7514
0,1751
1,1426
0,2285
0,8192
0,2457
0,6249
0,25
0,4981
0,2491
0,4101
0,246
0,3461
0,2423
0,2979
0,2383
0,2605
0,2344
0,2307
0,2307
7,7364
4,313
2,8138
2,0172
1,5389
1,2266
1,0098
0,8523
0,7335
0,6414
0,5682
4,5554
3,7684
3,3017
2,9931
2,7742
2,6112
2,4857
2,3864
2,306
2,2399
2,1846
3,0553
2,5289
2,2129
2,0018
1,8507
1,7371
1,6486
1,5777
1,5198
1,4715
n = 0.9, 
3,2473
0
1,8199
0,1622
1,1899
0,2196
0,8537
0,2411
0,6512
0,2488
0,5187
0,2505
0,4267
0,2495
0,3597
0,2473
0,3092
0,2446
0,27
0,2417
7,99680098
4,48168574
2,93024774
2,10232162
1,60364512
1,27735062
1,05079142
0,88579722
0,76143592
0,664902
4,430185
3,666905
3,208705
2,90261
2,683515
2,518795
2,39047
2,287665
2,20371
2,133675
2,9736
2,4631
2,1534
1,9447
1,794
1,6798
1,5901
1,5177
1,458
1,4078
n = 0.8, 
3,364
0
1,8955
0,1506
1,2423
0,2115
0,892
0,2372
0,6804
0,2483
0,5418
0,2527
0,4453
0,2539
0,375
0,2533
0,3219
0,2519
0,2807
0,25
8,2841864
4,6678583
3,05928798
2,1966392
1,67555304
1,33423668
1,09659578
0,923475
0,79271094
0,69125182
4,31172
3,571495
3,12243
2,819815
2,6013
2,43571
2,305645
2,200665
2,1141
2,04131
2,896
2,4016
2,0986
1,8927
n = 0.7, 
3,4916
0
1,9784
0,1401
1,3003
0,2043
0,9347
0,2341
8,59841416
4,87200784
3,20211878
2,30179222
4,1992
3,48232
3,04297
2,744415
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1,7429
1,6285
1,5382
1,4647
1,4037
1,3522
0,7131
0,5676
0,4662
0,3922
0,3364
0,293
0,2486
0,2558
0,2591
0,2603
0,2603
0,2596
1,75608006
1,39777176
1,14806412
0,96583172
0,82841864
0,7215418
2,527205
2,361325
2,23039
2,123815
2,035365
1,96069
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
2,8224
2,3439
2,0478
1,845
1,6965
1,5824
1,4918
1,4177
1,3559
1,3034
n = 0.6, 
3,6316
0
2,0709
0,1307
1,3648
0,1978
0,9823
0,2316
0,7497
0,2497
0,5966
0,2597
0,4898
0,2653
0,4118
0,2684
0,3529
0,27
0,3071
0,2706
8,94317816
5,09979834
3,36095648
2,41901198
1,84621122
1,46918716
1,20618148
1,01409868
0,86905154
0,75626446
4,09248
3,398655
2,96931
2,67525
2,459925
2,29448
2,16311
2,055665
1,966055
1,88993
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
2,7523
2,2898
2,0008
1,8013
1,6544
1,5409
1,4503
1,3759
1,3136
1,2604
n = 0.5, 
3,786
0
2,1735
0,1222
1,4358
0,192
1,035
0,2298
0,791
0,2516
0,6295
0,2647
0,5164
0,2727
0,434
0,2779
0,3717
0,2812
0,3231
0,2833
9,3234036
5,3524611
3,53580108
2,548791
1,9479166
1,5502067
1,27168664
1,0687684
0,91534842
0,79566606
3,990835
3,32021
2,90116
2,611885
2,39888
2,234305
2,102935
1,995055
1,90472
1,82758
9,74746332
5,63492132
3,73871932
2,69974838
2,06316628
1,64107664
1,34728846
1,13181096
0,96829432
0,84122416
3,894265
3,246405
2,83794
2,553885
2,3432
2,17993
2,04885
1,940825
1,850055
1,77248
10,21929748
5,95407428
3,80219
3,177095
n = 0.4
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
2,6857
2,2389
1,9572
1,7613
1,616
1,5034
1,413
1,3385
1,2759
1,2224
3,9582
2,2882
1,5182
1,0963
0,8378
0,6664
0,5471
0,4596
0,3932
0,3416
0
0,1147
0,1874
0,2292
0,2546
0,2707
0,2816
0,2891
0,2942
0,2979
n = 0.3
0......................
0.1...................
2,6222
2,1911
4,1498
2,4178
0
0,108
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1,9166
1,7244
1,5811
1,4695
1,3795
1,305
1,2424
1,1886
1,6102
1,1653
0,8916
0,7099
0,5824
0,4885
0,4182
0,3631
0,1833
0,2294
0,2588
0,2785
0,2922
0,3018
0,3094
0,315
3,96527852
2,86966778
2,19565416
1,74819974
1,43421824
1,2029801
1,02985932
0,89417006
2,77907
2,50038
2,292595
2,130775
2,000275
1,89225
1,80148
1,72347
10,75269664
6,31607648
4,2258216
3,06519822
2,3480891
1,87059096
1,53493858
1,28744728
1,1007822
0,95573506
3,714465
3,111845
2,724405
2,451225
2,246485
2,086115
1,956485
1,848895
1,75798
1,679825
11,34987714
6,72486808
4,52552002
3,29175742
2,52515004
2,01243672
1,6524046
1,38742884
1,18598816
1,02838176
3,6308
3,050365
2,67351
2,405985
2,20429
2,04566
1,9169
1,80989
1,71912
1,640965
12,0842
7,2198
4,8777
3,5589
2,736
2,1836
1,7934
1,5057
1,2867
1,116
0,9795
3,5537
2,9931
2,6263
2,3644
2,166
2,0091
1,8815
1,775
1,6844
1,6063
1,5379
n = 0.2
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
2,5617
2,1461
1,8789
1,6905
1,5493
1,4387
1,3493
1,2751
1,2124
1,1585
4,3664
2,5648
1,716
1,2447
0,9535
0,7596
0,6233
0,5228
0,447
0,3881
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
2,504
2,1037
1,8438
1,6593
1,5202
1,4108
1,322
1,2482
1,1856
1,1317
4,6089
2,7308
1,8377
1,3367
1,0254
0,8172
0,671
0,5634
0,4816
0,4176
2,4508
2,0642
1,8113
1,6306
1,4938
1,3856
1,2976
1,2241
1,1616
1,1078
1,0606
n = 0, 
4,9071
0
2,9318
0,0927
1,9807
0,1772
1,4452
0,2375
1,111
0,2811
0,8867
0,3135
0,7283
0,3385
0,6114
0,3581
0,5225
0,3739
0,4532
0,3869
0,3977
0,3977
0......................
0.1...................
0.2...................
0.3...................
0.4...................
0.5...................
0.6...................
0.7...................
0.8...................
0.9...................
1.0...................
0
0,1021
0,1803
0,2307
0,2644
0,2878
0,3049
0,3173
0,3271
0,3349
n = 0.1
0
0,09689
0,1781
0,2333
0,2716
0,2991
0,3199
0,3359
0,3485
0,3585
25
Na TABELA III, cada linha apresentada representa uma família de estrelas, sendo
possível variar os valores centrais e obter diferentes características.
A velocidade de ondas de som de baixas freqüências é dada por
, em que no centro da estrela, onde
. Se
atinge o máximo valor
,
, a velocidade do som calculada excederia a velocidade da luz. A
estabilidade das equações foi obtida para
[3]
e utilizando-se
.
FIG. 10 – Valor crítico do índice de relatividade geral, acima do qual um politropo é desestabilizado por efeitos da
Relatividade Geral. As regiões em que a EoS no centro da estrela é causal e não causal são também indicadas [3].
O índice de relatividade geral
aproximação
também pode ser escrito como uma
. Isso implica em uma adequação de uma aproximação pós-
Newtoniana. Na Relatividade Geral, para um dado valor
o valor mínimo necessário para
estabilidade é acrescido acima do valor 4/3 o qual seria suficiente para a estabilidade na
teoria Newtoniana [3]. Reciprocamente, um politropo de um dado expoente
26
ou índice
politrópico n torna-se instável quando o índice adimensional de relatividade geral excede
(valor de sigma máximo para o qual a estrela se torna instável). Mostra-se, também, na
FIG. 10 a curva de limite de causalidade. Essa intercepta a curva de
onde
A região de altos valores de
e baixos
em
,
representa a região
em que a EoS é causal e a estrela é estável, sendo mostrada no gráfico da FIG. 10. Portanto,
o máximo valor de
para
é imposto pela Relatividade Geral para
.
27
e pela causalidade
Capítulo 5
Conclusão
O presente trabalho possibilitou a aquisição de conhecimentos fundamentais ao
desenvolvimento de modelos de estrelas Newtonianas e Relativísticas. Através da
implementação de métodos numéricos junto à revisão bibliográfica foi possível obter
resultados que simulassem o meio intra-estelar e se verificassem as principais propriedades
físicas de estrelas politrópicas. A resolução das equações de Lane-Emden (clássica e
relativística) tornou-se, portanto, um mecanismo fundamental para a determinação de sua
estrutura interna. Para as simulações realizadas, obteve-se uma boa relação entre os
resultados apresentados e os encontrados na bibliografia.
Não obstante, o estudo clássico do politropo de índice
permitiu determinar
características físicas importantes como o limite máximo de massa e relacioná-lo a um
fenômeno bem conhecido às anãs-brancas, o limite de Chandrasekhar. A partir disso,
tornou-se possível a compreensão do conceito de matéria degenerada e sua relação com o
colapso gravitacional.
Todavia, a verificação de que as equações Newtonianas não explicam corretamente
o comportamento das massas de estrelas para diferentes raios tornou-se essencial. Equações
Newtonianas descrevem o comportamento das massas das estrelas através de um
crescimento indefinido enquanto a Relatividade Geral prevê a obtenção de um valor limite
máximo de massa para cada equação de estado.
28
Faz-se necessária, portanto, a utilização das correções relativísticas para uma correta
simulação de objetos compactos e massivos.
Dessa
forma,
conclui-se
que
a
realização
das
simulações
permitiu o
desenvolvimento de técnicas e noções intuitivas sobre o comportamento geral de estrelas,
entendendo-se a importância da introdução das correções relativísticas bem como os
resultados daí decorrentes, sendo estes essenciais para a determinação de soluções estáveis e
subluminais.
29
Referências Bibliográficas
[1] B. F. SCHUTZ, “Gravity from the ground up”, Cambridge, 2003.
[2] W. J. MACIEL, “Introdução à Estrutura e Evolução Estelar”, Edusp, São Paulo, 1999.
[3] S. A. BLUDMAN, “Stability of General-Relativistic Polytropes”, Am. J. Phys. 183, 7
(1973)
[4] R.R. SILBAR e S. REDDY, “Neutron stars for undergraduate students”, Am. J. Phys.
72, 7 (2004)
[5] B. RYDEN, “Introduction to Cosmology”, Pearson Addison Wesley, San Francisco,
2003.
[6] J.V. NARLIKAR, “An Introduction to Cosmology”, Cambridge, 2002.
[7] W. H. PRESS; B.P. FLANNERY; S.A. TEUKOLSKY, “Numerical Recipes in
Fortran 77: The Art of Scientific Computing”, Cambridge, 1986.
[8] R. D’INVERNO, “Introducing Einstein's relativity”, New York: Oxford, 1992.
[9] K. C. CHUNG, “Introdução à Física Nuclear”, Rio de Janeiro: Eduerj, 2001.
xiii
Apêndice A
A.1 Rotinas Numéricas
A.1.1. Equação de Lane-Emden
function dy = lane3(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=-(y(2)*2/(t))-y(1).^3;
% A equação de Lane-emden está escrita em duas
%equações. Como ela é de 2ª ordem, o método
%ode45 não resolve. Ele só resolve EDO's de
% 1² ordem. Por isso quebramos Lane-Emden
%em duas.
%Modificando a integração do método ODE45
options=odeset('AbsTol',0.0000000001,'RelTol',0.00000001,'InitialStep'
,0.001,'Refine',100)
y0=[1 0];
L=[0.00001 10];
[T,Y]=ode45(@lane3,L,y0,options)
x=linspace(0,10,100);%essa variavél x serve como a abcissa da variável
z
z=0*x;
subplot(4,2,1);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),':',x,z,'-')
title('Solução da Equação de Lane-Emden: y(x) e dy(x)')
subplot(4,2,2);plot(T,Y(:,1),'k.')
axis([0 7 0 1.1])
title('Y(x)')
%determinação do valor de t, em que y(1)=0
y1=Y(:,1);
for i=1:length(y1)-1
if y1(i+1)<0 & y1(i)>0
indice1=i;
indice2=i+1;
end
end
xiv
if abs(y1(indice1))>abs(y1(indice2))
indice=indice2;
else indice=indice1;
end
indice;
T(indice);
y1(indice);
ylinha=Y(:,2);
ylinha(indice);
[T,Y];
%ysolucao=linspace(y1(1),y1(indice),indice);
%Tsolucao=linspace(T(1),T(indice),indice);
%Determinação das propriedades físicas do politropo
R=10e05; %O raio é dado em cm
M=4.97e33; %A massa sa estrela é dada em g ou equivalentemente a
2.5Msol
a=R/T(indice); %a é uma constante usada para determinação da constante
K e é dada em km.
r=a*T;
Vestrela=4*pi*R^3/3 %Conversão de km^3 para cm^3
rhomedia=M/Vestrela;
rhocentral=rhomedia*T(indice)*-1/(3*ylinha(indice))
rho=rhocentral*abs(Y(:,1)).^3;%Equação que define o comportamento da
densidade da estrela ao longo do raio.
G=6.673e-8; %constante gravitacional em cgs
K=4*pi*G*rhocentral^((3-1)/3)*a^2/(4);
P=K*rho.^((3+1)/3); %Equação da Pressão
u=0.62; %peso molecular médio do gás
mh=1.008; %massa molar do Hidrogênio
k=1.3804e-15; % razão entre a constante dos gases ideiais (R) e o
numero de Avogadro (Na)
Temp=rho.*u*mh*K/k; %Equação da Temperatura
Mass=-4*pi*(a^3)*rhocentral*(T.^2).*ylinha;
Mass1=-4*pi*(a^3)*rhocentral*(T(indice)^2).*ylinha(indice);
subplot(4,2,3);plot(T,r,'k--')
axis([0 7 0 10e05])
title('Função Raio')
subplot(4,2,4);plot(r,rho,'k')
axis([0 10e05 0 7e16])
xlabel('Raio (cm)')
ylabel('Densidade')
title('Comportamento da Densidade de Matéria')
subplot(4,2,5);plot(r,P,'k:')
axis([0 10e05 0 2e37])
xlabel('Raio (cm)')
ylabel('Pressão')
title('Comportamento da Pressão')
subplot(4,2,6);plot(r,Temp,'k-.')
axis([0 10e05 0 2.3e46])
xlabel('Raio (cm)')
xv
ylabel('Temperatura')
title('Comportamento da Temperatura')
subplot(4,2,7);plot(r,Mass,'k-.')
axis([0 10e05 0 5.2e33])
xlabel('Raio (cm)')
ylabel('Massa')
title('M x R')
format long
M=[1.49311e-06 2.08668E-06 2.91622E-06 4.07555E-06 5.69575E-06
7.96005E-06 1.11245E-05 1.5547E-05 2.17276E-05 3.03652E-05 4.24366E-05
5.9307E-05 8.28841E-05 0.000115834 0.000161883 0.000226238 0.000316178
0.000441872 0.000617534 0.000863031 0.001206122 0.001685607
0.002355707 0.003292201 0.00460099 0.00643008 0.008986309 0.012558749
0.017551386 0.024528807 0.03428005 0.047907826 0.066953223 0.093569974
0.130768014 0.182753855 0.255406276 0.356941123 0.498840384 0.69715063
0.974297624 1.361622324 1.361622324 1.382097635 1.3841713 1.386248076
1.388327967 1.39041098 1.392497118 1.394586385 1.396678788 1.39877433
1.398984151 1.399194004 1.399403888 1.399613804 1.399823752 1.40003373
1.400243741 1.400453782 1.902925048];
M;
K=[5.00E+10 6.25E+10 7.81E+10 9.77E+10 1.22E+11 1.53E+11 1.91E+11
2.38E+11 2.98E+11 3.73E+11 4.66E+11 5.82E+11 7.28E+11 9.09E+11
1.14E+12 1.42E+12 1.78E+12 2.22E+12 2.78E+12 3.47E+12 4.34E+12
5.42E+12 6.78E+12 8.47E+12 1.06E+13 1.32E+13 1.65E+13 2.07E+13
2.58E+13 3.23E+13 4.04E+13 5.05E+13 6.31E+13 7.89E+13 9.86E+13
1.23E+14 1.54E+14 1.93E+14 2.41E+14 3.01E+14 3.76E+14 4.70E+14
4.70E+14 4.75E+14 4.75E+14 4.76E+14 4.76E+14 4.77E+14 4.77E+14
4.78E+14 4.78E+14 4.79E+14 4.79E+14 4.79E+14 4.79E+14 4.79E+14
4.79E+14 4.79E+14 4.79E+14 4.79E+14 5.88E+14];
K;
subplot(4,2,8);plot(K,M,'k.-')
xlabel('Values of K (cm^3/g^1^/^3*s^2)')
ylabel('Mass (solar mass)')
title('Limite de Chandrasekhar')
xvi
A.1.2. Equação de Lane-Emden
Relativística
function dy = laneRel(t,y)
%definição de parâmetros
global sigma
global n
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2)^n.*t^2;
dy(2)=-((y(1)+sigma.*y(2).*t.*dy(1))*(1+sigma.*y(2))/(12*sigma*(n+1).*y(1)./t))./t^2;
% Equação de Lane-Emden Relativística
clc %limpa a tela de comando
close all % fecha todas as figuras
global sigma n
sigma=0;
n=3;
options=odeset('AbsTol',0.0000000001,'RelTol',0.00000001,'InitialStep'
,0.001,'Refine',100)
y0=[0 1];
L=[0.00001 200];
[T,Y]=ode45(@laneRel,L,y0,options);
x=linspace(0,200,100);%essa variavél x serve como a abcissa da
variável z
z=0*x;
subplot(2,1,1);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),':',x,z,'-')
title('Solução da Equação de Lane-Emden: y1(x) e y2(x)')
subplot(2,1,2);plot(T,Y(:,2),'k:',x,z,'r-')
axis([0 200 -0.3 1.1])
title('Y2(x)')
%determinação do valor de t, em que y(2)=0
y2=Y(:,2);
for i=1:length(y2)-1
if y2(i+1)<0 && y2(i)>0
indice1=i;
indice2=i+1;
break
end
end
if abs(y2(indice1))>abs(y2(indice2))
indice=indice2;
else indice=indice1;
end
xvii
indice;
n
sigma
T(indice)
y2(indice);
y1=Y(:,1);
y1(indice)
[T,Y];
%Calculando M_tilda
M_tilda=sigma^((3-n)/2)*y1(indice);
M_tilda
%Cálculo da Massa
rhocentral=6.4280e+016;
a=1.4500e+005;
%CGS
G=6.6730e-008;
%CGS
K=7.0727e+014;
%CGS
%CGS
M=((4*pi*y1(indice)*rhocentral)*(a^3))
%-4*pi*(a^3)*rhocentral*(T.^2).*ylinha; Valor de massa para o caso nao
%relativistico
R=a*T(indice)
char='Deu certo'
Mlinha=M/10^33;
Rlinha=R/10^5;
F=[n,sigma,T(indice),y1(indice),M_tilda,Mlinha,Rlinha]
xviii
A.1.3. Extensão de Cálculo para
Estabilidade e Causalidade
% Equação de Lane-Emden Relativística
clc %limpa a tela de comando
close all % fecha todas as figuras
global sigma n
sigma=0;
while (sigma)<=1;
n=0.8;
for nn=1:11
options=odeset('AbsTol',0.0000000001,'RelTol',0.00000001,'InitialStep'
,0.001,'Refine',100);
y0=[0 1];
L=[0.00001 200];
[T,Y]=ode45(@laneRel,L,y0,options);
x=linspace(0,200,100);%essa variavél x serve como a abcissa da
variável z
z=0*x;
%determinação do valor de t, em que y(2)=0
y2=Y(:,2);
for i=1:length(y2)-1
if y2(i+1)<0 && y2(i)>0
indice1=i;
indice2=i+1;
break
end
end
if abs(y2(indice1))>abs(y2(indice2))
indice=indice2;
else indice=indice1;
end
y1=Y(:,1);
indice;
n;
sigma;
T(indice);
y1(indice);
%Calculando M_tilda
M_tilda=sigma^((3-n)/2)*y1(indice);
M_tilda;
xix
%Cálculo da Massa
rhocentral=6.4280e+016;
a=1.4500e+005;
%CGS
G=6.6730e-008;
%CGS
K=7.0727e+014;
%CGS
%CGS
M=((4*pi*y1(indice)*rhocentral)*(a^3));
%-4*pi*(a^3)*rhocentral*(T.^2).*ylinha; Valor de massa para o caso nao
%relativistico
R=a*T(indice);
Mlinha=M/10^33;
Rlinha=R/10^5;
for m=1:7
if (m==1)
A(nn,m)=n;
elseif (m==2)
A(nn,m)=sigma;
elseif (m==3)
A(nn,m)=T(indice);
elseif (m==4)
A(nn,m)=y1(indice);
elseif (m==5)
A(nn,m)=M_tilda;
elseif (m==6)
A(nn,m)=Mlinha;
elseif (m==7)
A(nn,m)=Rlinha;
end
end
sigma=sigma+0.1;
end
end
A
%escrever os resultados em forma de tabela, que nem no Help
%options2=rptgen.cfr_table('AllAlign','center','ColumnWidths',[1 10
5])
xx
%{'index','sigma','x(r)','y1','Mtilda';[A(:,1)],[A(:,2)],[A(:,3)],[A(:
,4)],[A(:,5)]}
%Causalidade
%Os valores em que vs<1, a solução será causal.
rho=rhocentral*abs(Y(:,1)).^3;
dpdrho=K*(1+(1/n))*rho.^1/n;
c=1;
vs=(c^2*dpdrho).^1/2;
xi
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