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Aula - UFSM

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Aula - UFSM
4. DIFERENCIABILIDADE
Para motivar uma definição apropriada de diferenciabilidade para funções de
duas variáveis, será útil reexaminar a definição de diferenciabilidade vamos
“reexaminar” a definição de diferenciabilidade para uma função f de uma
variável.
Definição 6. Uma função f de uma variável é chamada diferenciável em x 0 se
existe um número
f ' ( x0 )
tal
que
∆f
pode ser escrito na forma
∆f = f ' ( x 0 ) ∆x + ε∆x onde ε é uma função de ∆x tal que ε → 0 quando ∆x → 0
e ε = 0 se ∆x = 0 .
Seja z = f ( x, y ) , então a variação no valor de f(x,y) quando (x,y) move-se de
alguma posição inicial (x 0 ,y 0 )
para alguma nova posição (x 0 +∆x,y 0 +∆y) é
chamada incremento em f é denotado por ∆f = f(x 0 + ∆x,y 0 + ∆y) − f(x 0 , y 0 ) .
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Definição 6. Uma função f de duas variáveis é dita diferenciável em ( x 0 ,y 0 ) se
fx ( x 0 ,y 0 )
e
fy ( x 0 ,y 0 )
existirem
e
∆f
puder
ser
escrito
na forma
∆f = fx ( x 0 ,y 0 ) ∆x + fy ( x 0 ,y 0 ) ∆y + ε1∆x + ε 2 ∆y onde ε1 e ε 2 são funções de ∆x e
∆y
tais que ε1 → 0 e ε 2 → 0 quando
( ∆x, ∆y ) → ( 0,0 )
e ε1 = ε 2 = 0 se
( ∆x, ∆y ) = ( 0,0 ) .
CONDIÇÕES SUFICIENTES DE DIFERENCIABILIDADE
Teorema 1. Se z = f ( x, y ) tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada
ponto de uma região circular centrada em (x 0 ,y 0 ) e se essas derivadas parciais
forem contínuas em (x 0 ,y 0 ) então f é diferenciável em (x 0 ,y 0 ) .
Exemplo 31. Mostre que função f ( x, y ) = 3 x 2 − xy é diferenciável em qualquer
ponto ( x, y ) .
Teorema 2. Se z = f ( x, y ) é diferenciável em (x 0 ,y 0 ) , então f é contínua em
(x 0 ,y 0 ) .
Teorema 3. Seja z = f ( x, y ) . Se f , f x , f y , f xy e f yx são funções contínuas em
um conjunto aberto, então f xy = f yx em cada ponto.
Exemplo 32. Seja f ( x, y ) = x 2 y − 2 xy 3 . Verifique que f xy = f yx .
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5. REGRA DA CADEIA
Teorema 3. Se x = x (t ) e y = y (t ) forem diferenciáveis em t e se z = f ( x, y )
for diferenciável no ponto ( x (t ), y (t )) , então z = f ( x (t ), y (t )) é diferenciável em
t e
dz ∂z dx ∂z dy
.
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
Exemplo 33. Se z = x 2 y , x = t 2 e y = t 3 , calcule
Exemplo 34. Se z =
θ =
π
2
dz
.
dt
xy + y , x = cos θ e y = senθ , determine
dz
quando
dθ
.
Observação 5. Se z = f ( x, y ) onde x = x (t ) e y = y (t ) podemos escrever
dz
dx
dy
= fx
+ fy
,
dt
dt
dt
ou ainda,
dz
= f x x ' (t ) + f y y ' (t ) .
dt
Observação 6. Se z = F ( x, y ) e y = y (x ) , a regra da cadeia resulta em
dz ∂F dx ∂F dy ∂F ∂F dy
=
+
=
+
.
dx ∂x dx ∂y dx ∂x ∂y dx
Este resultado pode ser usado para determinar as derivadas de funções que
são definidas implicitamente.
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Temos o seguinte resultado:
Teorema 4. Se a equação F ( x, y ) = 0 definir y implicitamente como uma
∂F
dy
∂F
∂x .
função diferenciável de x e se
≠ 0 , então
=−
∂F
dx
∂y
∂y
Exemplo 35. Se x 3 + y 2 x = 4 define implicitamente uma função y = y (x ) ,
dy
determine
.
dx
Teorema 5. Se x = x(u,v) e y = y(u,v) tiverem derivadas de primeira ordem no
ponto (u,v) e se z = f(x, y) for diferenciável no ponto
( x(u,v),y (u,v )) ,
então
z = f(x ( u,v ) , y ( u,v )) tem derivadas de primeira ordem no ponto (u,v) dadas por
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
e,
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
.
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Exemplo 36. Se z = xy 2 com x = u2 cos v e y = uv , calcule
∂z
∂z
e
, usando a
∂u
∂v
regra da cadeia
Exemplo 37. A que taxa está variando a área de um retângulo se seu
comprimento é 8m e está crescendo a 3m/s, enquanto que sua largura é de
6m e está crescendo a 2m/s.
Exercícios 6.4: 1-35 (ímpares), 39,41 e 43
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