...

Versão de Impressão - IFSP-BRA

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

Versão de Impressão - IFSP-BRA
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5o Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Uma reflexão quanto Modelagem Matemática no Brasil à luz dos trabalhos de
Rodney Carlos Bassanezi
Autor 1
Autor 2
Autor 3
Endereço dos autores.
RESUMO. Este trabalho traz uma reflexão sobre os precurssores em Modelagem Matemática no Brasil.
Especificamente, esta reflexão trata dos trabalhos nessa área desenvolvidos por Rodney Carlos Bassanezi. Para o
desenvolvimento deste trabalho, foi feito um breve relato histórico do processo de inserção da Modelagem Matemática
como uma metodologia de ensino. Dentre os precursores temos R. C. Bassanezi, que foi escolhido dentre os demais
devido a dedicação nessa grande área de pesquisa, mesmo não tendo ela como formação inicial, e quantidade de
trabalhos publicados e referenciados. Foi feita uma revisão bibliográfica principalmente de dissertações e teses sobre
Modelagem Matemática aplicada ao ensino de diferentes conteúdos de matemática.
Palavras-chaves: Modelagem Matemática. Referencial teórico. Ensino-aprendizagem.
1. INTRODUÇÃO
O trabalho de Pollack (2001) apud Biembengut (2009) apresenta alguns indícios sobre o início dos estudos em
Modelagem Matemática na educação. Os primeiros estudos ocorrem nos Estados Unidos da América (EUA) por volta
dos anos de 1958 e 1965, nos trabalhos realizados pelo School Matematics Study Group (SMSG) e entre os anos de
1966 a 1970, no 69o anuário da National Society for the Study of Education, onde Pollack discorre sobre o processo de
modelagem em um capítulo. Por fim, em New Trends in Mathematics Teaching IV, no capítulo intitulado – The
Interaction between mathematics and other school subjects, é apresentado um panorama sobre as aplicações
matemáticas e a criação de modelos.
Em 1968, na Suíça, ocorre o Lausanne Symposium, cujo tema central era como ensinar matemática através de temas
do cotidiano, tornando a aprendizagem significativa aos estudantes (veja Apêndice A). Nesse simpósio, discutiu-se que
os problemas propostos não poderiam ser os “padronizados”, e sim que deveriam estimular o raciocínio e desenvolver
as habilidades de matematizar e modelar matematicamente a realidade (Biembengut, 2009).
Ainda em Biembengut (2009), na área de educação matemática brasileira, essa abordagem ocorre com Aristides
Camargo Barreto, Ubiratan D’Ambrosio, Rodney Carlos Bassanezi, João Frederico Mayer, Marineuza Gazetta e
Eduardo Sebastini, como referenciais teóricos que iniciaram estudos de como se fazer um modelo matemático e como
se ensinar matemática.
O objetivo deste trabalho é fazer um breve histórico sobre a evolução da Modelagem Matemática no Brasil como
proposta de uma nova metodologia de ensino, à luz da obra de Rodney Carlos Bassanezi.
Embora a Modelagem Matemática no Brasil tenha sido inserida na educação apenas na década de 70 (Biembengut,
2009), devemos entender que ela existe há muito tempo. Biembengut (2011) traz um exemplo de modelo matemático
utilizado por Pitágoras. Ele nos deixou um grande conhecimento, em meio a tantos outros, para a área de música. Outro
exemplo trazido por ela é o de Willian Harvey (1578-1657), que demonstrou a circulação sanguínea utilizando
conceitos de modelagem matemática.
Devido a extensão do tema, listaremos alguns desses precursores da modelagem no Brasil neste trabalho.
Segundo Biembengut (2009), talvez o primeiro professor/pesquisador que realizou experiências em sala de aula,
tenha sido Aristides Camargo Barreto. Aristides tomou conhecimento sobre o tema durante o curso de engenharia na
década de 60. Quando ele se tornou professor da PUC-RJ, em meados da década de 70, pensou nessa aplicação
utilizando modelagem matemática em sala de aula. Nesse mesmo período, Aristides Camargo Barreto orientou as duas
primeiras dissertações em Modelagem Matemática da PUC-RJ.
Segundo Cipriano (2013), Ubiratan D’Ambrosio, na década de 60, então professor pesquisador da Brown
University, University of Rhode Island, e na State University of New York, tomou ciência de um movimento na Europa e
Estados Unidos relacionado a Modelagem Matemática. Em 1972, com apoio da Organização das Nações Unidas para a
Educação, Ciência e Cultura (Unesco) e da Organização dos Estados Americanos (OEA), D’Ambrosio implantou essas
propostas existentes na Europa e EUA aqui no Brasil. Dentre elas, destacamos a criação do Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática na UNICAMP, em 1974.
Analisando essa contextualização histórica da Modelagem Matemática no Brasil e a participação efetiva de Ubiratan
D’Ambrosio na criação do curso de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática na UNICAMP, notaremos a seguir a
ligação entre esse matemático e Rodney Carlos Bassanezi.
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5º Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Na próxima seção, seção 2, faremos um breve relato biográfico de Rodney Carlos Bassanezi, desde sua formação
acadêmica/profissional até suas orientações e publicações na grande área da Educação Matemática. Nesse relato sobre
sua formação acadêmica/profissional, observa-se que Rodney Carlos Bassanezi foi orientado em sua tese de doutorado
por Ubiratan D’Ambrosio.
Na seção 3 deste trabalho, apresentamos uma reflexão quanto a modelagem matemática de acordo com alguns
trabalhos de Rodney Carlos Bassanezi. Por fim, a seção 5 apresenta nossas considerações finais.
2. RODNEY CARLOS BASSANEZI: RELATO BIOGRÁFICO
A escolha desse matemático para se fazer um relato mais aprofundado não foi feita de maneira aleatória. Quando
pensamos em Modelagem Matemática, temos diversos professores e/ou pesquisadores que poderiam ter sua obra citada
como um referencial teórico. O estudo da contribuição acadêmica/científica de Bassanezi1 foi escolhida justamente pela
sua inserção na educação matemática mesmo tendo como formação/pesquisas relacionadas a matemática aplicada.
Para mostrarmos como foi essa inserção de Bassanezi na área de Educação Matemática, com Modelagem
Matemática, apresentaremos na sequência, algumas seções que explicarão sua formação acadêmica e sua experiência
profissional e como orientador de diversos trabalhos2.
2.1 Formação Acadêmica
Rodney Carlos Bassanezi é graduado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista “Professor Júlio de
Mesquita Filho” — UNESP, campus Rio Claro, em 1965. Em 1971, obtém o título de Mestre pela Universidade
Estadual de Campinas (UNICAMP), cujo título de sua dissertação é “Sistemas ortonormais completos”, orientado por
Ayrton Badelucci, cuja grande área é Ciências Exatas e da Terra. Seis anos depois, ele obtém o título de Doutor pela
mesma universidade. Sua tese teve como tema “Problema de Dirichlet para equações de superfícies mínimas em
domínios pseudo-convexos”, orientado por Ubiratan D’Ambrosio e Umberto Massari. Em 1985, na Itália, conclui seu
segundo pós-doutorado pela Libera Universita Degli Studi Di Trento com trabalhos relacionados à teoria das medidas e
análise funcional.
2.2 Instituições em que trabalhou
Bassanezi trabalhou em diversas instituições, sendo elas:
a) 1969 – atual: professor titular da UNICAMP, atuando na área de Matemática Aplicada e em
Modelagem em Ensino-aprendizagem, orientador do programa de Matemática Aplicada;
b) 1968 – atual: professor assistente e titular da UNB, atuando na área de Matemática
Aplicada e atividades em extensão universitária;
c) 1966 – 1967: professor assistente da UFG;
d) 1981 – 1994: professor visitante na Fundação Universidade Estadual de Londrina, FUEL e
atividade em extensão universitária;
e) 1981 – 1990: professor titular Universitá Degli Studi Di Trento, UST, Itália, tendo como
linhas de pesquisa a Teoria Fuzzy e Modelagem Matemática;
f) 1993 – 1999: colaborador da PUC-Campinas, tendo como linhas de pesquisa Teoria Fuzzy,
Biomatemática: ecologia e epidemologia, Modelagem Matemática;
g) 2007 – atual: professor titular da Universidade Federal do ABC, UFABC.
Bassanezi faz parte do corpo editorial do periódico Biomatemática, da UNICAMP, é revisor de diversos periódicos
nacionais e internacionais, tendo como áreas de pesquisas descritas em seu currículo Lattes: matemática, matemática
aplicada, biomatemática e ensino-aprendizagem.
2.3 Trabalhos publicados
Ainda conforme é apresentado pelo próprio Bassanezi, em seu currículo disponível na plataforma Lattes, optamos
por fazer um levantamento de alguns artigos publicados.
Na década de 70, próximo ao ano da obtenção do título de doutor, mais precisamente no ano de 1978, Bassanezi
publica um artigo em conjunto com Umberto Massari cujo título é “The Dirichlet Problem for the Minimal Surface
Equation”. Artigo esse, na mesma linha de sua tese de doutorado.
Em 1988, com um artigo intitulado “A Matemática dos Ornamentos e a Cultura Arica”, Bassanezi, em conjunto com
Biembengut, parte das publicações em que eram voltadas a grande área da matemática pura e escreve um artigo sobre
uma vivência com a cultura Araica, de um povoado do Chile. Além de um trabalho bem contextualizado
historicamente, traz diversas aplicações da geometria na arte araica.
1
2
A partir desse momento, toda referência à Rodney Carlos Bassanezi, será dada como Bassanezi.
Os dados a seguir foram extraídos do currículo disponível na plataforma Lattes (atualizado em 2 out. 2012).
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5o Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Na década de 90, no currículo Lattes de Bassanezi, há registros de 4 artigos na área de matemática aplicada à
Biologia e relacionados à lógica Fuzzy. Em 1994 aparece um primeiro artigo publicado na Revista Dynamis, cujo título
é “Modelagem Matemática”. A partir deste trabalho, ele publica diversos artigos principalmente sobre a área de
Matemática Aplicada e sua relação com a Modelagem Matemática na educação.
Em 1999, há um artigo escrito por ele que ressalta claramente essa preocupação quanto ao ensino de Matemática nas
escolas. Nele, além de uma reflexão acerca da descontextualização da matemática no ensino, há não apenas uma
proposta de inserção de uma disciplina nos cursos de Licenciatura em Matemática, mas como também um curso de
formação de professores com enfoque em Modelagem Matemática:
Se, por um lado, devemos pensar na formação do aluno da Licenciatura, refletindo sobre as condições
que resultem em vigor, competência, segurança e interesse para ministrar a disciplina em questão, por
outro lado, o contingente de professores atuantes no ensino fundamental e médio precisa ser
aperfeiçoado e capacitado, para esta nova prática de ensino (Bassanezi, 1999, p. 17).
No fragmento retirado do artigo, pode-se concluir que a preocupação de Bassanezi não é só com os professores que
estão no processo de graduação, existe também a preocupação com os professores já formados e atuantes no ensino.
Podemos dizer que talvez essa tenha sido uma demonstração da preocupação de Bassanezi não só com a matemática
pura e aplicada, como também com o ensino-aprendizagem da matemática.
A partir de então há diversos artigos publicados, dissertações e teses orientadas e até mesmo um livro escrito sobre
Modelagem Matemática aplicada ao ensino-aprendizagem. Dentre os principais que serão citados na próxima seção,
temos:
a) dissertação de mestrado de Dionísio Burak, 1987: “Modelagem Matemática – Uma
Metodologia Alternativa para o Curso de Matemática na 5a série”;
b) dissertação de mestrado de Maria Salett Biembengut, 1990: “Modelação Matemática
como Método de Ensino”;
c) dissertação de mestrado de Catharina de Oliveira Corcoll Spina, 2002: “Modelagem
Matemática no processo de ensino-aprendizagem do cálculo diferencial e integral para o
ensino médio”;
d) tese de doutorado de Jonei Cerqueira Barbosa, 2001: “Modelagem e Educação
Matemática”.
2.4 Trabalhos orientados
Bassanezi foi orientador de diversas dissertações de mestrado e teses de doutorado. Nessas dissertações e teses,
todas elas eram voltadas para a matemática aplicada com interfaces com a Biologia, lógica Fuzzy e em ensino de
matemática. Sua primeira orientação de mestrado ocorreu em 1977, cujo tema central foi da sua própria tese: as
equações de Dirichlet. Até o ano de 1986, todas as dissertações eram sobre temas voltados à matemática pura e
aplicada.
Em suas orientações citadas no final da seção anterior, nota-se algo em comum entre a maior parte delas. Isso se dá
pela instituição de ensino em que elas foram produzidas, que foi na UNESP – campus Rio Claro.
Esse fato, nos conduz a seguinte questão: qual a ligação entre Bassanezi e o programa de Pós-Graduação da UNESP
– campus Rio Claro?
Fizemos uma breve pesquisa sobre o Programa de Pós-Graduação do curso, encontrando no site da própria
instituição a seguinte passagem que talvez, nos ajude a responder nossa dúvida:
Uma característica importante do Programa, e que tem raízes no processo que levou ao seu
surgimento, é o tratamento efetivamente interdisciplinar dos problemas da área, pensando a
Educação Matemática em suas dimensões filosófica e epistemológica, histórica e sócio-cultural
(Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, 2014, Grifo nosso).
No trecho extraído, destacamos algumas passagens que talvez nos ajude a responder a questão. Na primeira
passagem destacada, observa-se a preocupação do ensino de Matemática não apenas como sendo uma ciência única,
mas trabalhada em conjunto com outras ciências, por isso temos a interdisciplinaridade como tema central.
Isso explica o fato de Bassanezi, embora tendo sua formação em matemática, voltado à matemática aplicada com
inteface com a Biologia, se interessar pela área de Educação Matemática. Vale ressaltar que, Bassanezi, fazia parte do
grupo de professores colaboradores do programa, sendo um dos responsáveis pelas orientações de dissertações e teses.
Em 1987, na UNESP, Bassanezi orienta Dionísio Burak, cujo título da dissertação é “Modelagem Matemática –
Uma Metodologia Alternativa para o Curso de Matemática na 5a série”. Neste trabalho há uma metodologia de ensino
de Matemática para estudantes da antiga 5a série do Ensino Fundamental 1. Através de uma situação problema
proposta, o autor propõe diversas atividades que envolvem desde divisão de números até o cálculo das operações com
frações, por exemplo.
Em 1990, Bassanezi orienta a dissertação de mestrado de Maria Salett Biembengut, outra professora/pesquisadora
preocupada com o processo de ensino-aprendizagem de matemática, que procura utilizar a Modelagem Matemática
nesse processo. O título de sua dissertação é “Modelação Matemática como Método de Ensino”. Em sua pesquisa,
Biembengut procura verificar a possibilidade da utilização da Modelagem Matemática como uma metodologia de
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5º Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
ensino em estudantes dos 1o e 2o graus. Para isso, a autora procurou fazer um estudo sobre os autores que escreveram
sobre o tema e com isso analisando os resultados obtidos por esses autores, dispôs o processo em etapas, o que segundo
ela, viabiliza o método.
Catharina de Oliveira Corcoll Spina também foi uma orientanda de Bassanezi em 2002, com a dissertação entitulada
“Modelagem Matemática no processo de ensino-aprendizagem do cálculo diferencial e integral para o ensino médio”.
Nesse trabalho, fica nítida a preocupação com o processo de ensino-aprendizagem de estudantes do Ensino Médio. O
diferencial desse trabalho é a apresentação de uma proposta de atividades com a Modelagem Matemática que traz uma
possibilidade de ensino de cálculo diferencial e integral para esse grupo de estudantes. Embora o conteúdo de cálculo
diferencial e integral não faça parte do currículo atual de matemática, tal proposta estimula e motiva os estudantes. Isso
se justifica, segundo a autora, pelo fato dos estudantes solucionarem um problema do mundo real com conceitos
matemáticos.
As orientações de teses de doutorado, iniciaram em 1983. De 1983 até 1993, as teses orientadas eram em
Matemática. Em 2001, Bassanezi pela primeira vez, auxilia com uma co-orientação uma tese de doutorado em
Modelagem Matemática para o ensino de matemática. Jonei Cerqueira Barbosa fez sua tese cujo título “Modelagem
Matemática na Licenciatura: um estudo sobre as concepções de futuros professores”. Nesse trabalho, assim como no
artigo publicado por Bassanezi no ano de 1999, há uma grande preocupação do autor com a formação dos professores
de matemática. Jonei e Bassanezi fizeram um estudo de caso com três futuras professoras da Universidade Julio de
Mesquita Filho (UNESP) – Campus Rio Claro, que participaram de um programa extra-curricular intitulado
“Modelagem e Educação Matemática”.
Nesse estudo de caso das três professoras, Barbosa faz um levantamento de dados sobre algumas questões, sendo
elas, em resumo, respondem à questão inicial levantada por ele no início da pesquisa: investigar as concepções de
futuros professores em relação à Modelagem Matemática, levando em conta suas concepções de matemática e ensino e
suas experiências. Em linhas gerais, Barbosa concluiu que futuros professores possuem uma concepção sobre a
matemática, porém após o contato com a Modelagem Matemática, essa concepção se altera.
Assim como ocorreu nas dissertações de mestrado e nas teses de doutorado, há uma preocupação acerca do ensino
de matemática nas escolas. Embora o objeto de estudo seja diferente em cada um dos trabalhos, a preocupação central é
a mesma. Na dissertação de mestrado de Burak a preocupação é com o processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos
de matemática para estudantes da 5a série; já na dissertação de Biembengut, a metodologia proposta abrange os 1o e 2o
graus de ensino; e na tese de doutorado, o autor faz um estudo de caso com os professores que atuarão no ensino. No
trabalho de Spina, há esse diferencial quanto ao conteúdo elencado para trabalhar com a modelagem. Embora não faça
parte do currículo, as atividades propostas por ela fazem com que os próprios estudantes cheguem a resolução do
problema através do cálculo diferencial e integral sem necessariamente ter formalizado essa definição.
Nota-se que tanto os estudantes-autores como Bassanezi têm uma grande preocupação com o processo de ensinoaprendizagem, procurando desde a década de 80 buscar novas metodologias de ensino na matemática para que essa
aprendizagem se torne mais significativa.
Essas novas metodologias se baseiam na Modelagem Matemática, visto que ela busca uma reflexão maior sobre
como operar com os modelos matemáticos para a resolução dos problemas, desenvolvendo assim os conteúdos de
matemática e também o raciocínio lógico dos estudantes.
3. A MODELAGEM MATEMÁTICA
Em todos os trabalhos orientados por Bassanezi, em cada um deles é apresentada uma definição de Modelagem
Matemática. Nesta seção, estudaremos o que cada um desses autores entendem por modelagem matemática,
acrescentando também outros autores que não foram orientados por Bassanezi.
3.1 MODELAGEM MATEMÁTICA: JONEI CERQUEIRA BARBOSA
Em Barbosa (2001), temos duas definições de Modelagem Matemática, porém, em ambas, há uma grande
similaridade. De início, temos a seguinte afirmação:
O primeiro passo é esclarecer o que se deseja saber e colocar-se a par dos conceitos e variáveis que
sustentam a situação-problema. Faz-se necessário selecionar os fatores considerados relevantes e
assumir alguns pressupostos. Trata-se da simplificação da situação-problema para possibilitar sua
abordagem. Daí, procura-se relacionar essas variáveis através de conceitos matemáticos (…). A
representação ideal (…), de certos aspectos da situação real, chama-se modelo matemático e o seu
processo de construção, Modelagem Matemática (Barbosa, 2001, p. 13).
Ainda acrescenta na sequência:
(…) a partir do modelo matemático, elabora-se um problema que será, se possível, resolvido pelas
teorias matemáticas conhecidas. A solução é trazida de volta para a situação real para ser interpretada.
Se possível, pode-se “validar” com os dados empíricos. Procura-se verificar o significado e a
acuidade da solução obtida na situação-problema. Se for julgada satisfatória aos propósitos do
modelador, os resultados são comunicados (Barbosa, 2001, p. 14).
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5o Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Essas definições trazidas por Barbosa, são dadas em formato de esquema, que o autor retirou da obra de Bassanezi.
Esse esquema é trazido na Fig. 1 a seguir:
Figura 1. Esquema de Modelagem apresentado por Bassanezi (2002, p. 27).
3.2 MODELAGEM MATEMÁTICA: DIONÍSIO BURAK
Para Burak (1987), temos a seguinte definição:
A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é
construir um parelelo para tentar explicar matematicamente os fenômenos do qual o homem
vive o seu cotidiano, ajudando-o a fazer predições a tomar decisões.
O modelo representa uma série de relações quer sejam matemáticas, físicas ou conceituais
que parecem ser apropriadas à compreensão de um conjunto de dados (Burak, 1987, p. 21).
Na sequência, Burak (1987), acrescenta ainda sobre o processo da Modelagem Matemática, resumindo esse
processo em um esquema apresentado na Fig. 2:
Figura 2. Esquema de Modelagem Matemática por Burak (1987, p. 38).
3.3 MODELAGEM MATEMÁTICA: CATHARINA DE OLIVEIRA CORCOLL SPINA
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5º Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Spina (2002), traz a definição de modelagem apresentada em um dicionário, para posteriormente, trazer a definição
do modelo matemático e por fim, a definição de Modelagem Matemática.
No dicionário a palavra modelagem refere a ação correspondente ao ato de modelar, ou seja, traçar,
delinear, contornar, dar forma a um objeto que se queira reproduzir por imitação ou ainda a
representação em pequena escala de um objeto que se pretenda interpretar em grande escala. A este
objeto damos o nome “genérico” de modelo (Spina, 2002, p. 46).
Para fazer a definição de Modelagem Matemática, Spina (2002) constrói toda estrutura da definição, baseada em
Bassanezi. Em sua dissertação é apresentada a seguinte frase para definir modelo: “Bassanezi (…), descreve modelo
como um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado.”
Para concluir a definição de Modelagem Matemática, ainda baseada na obra de Bassanezi, tem-se: “os modelos são
formulados de acordo com os fenômenos ou situações analisadas, podendo ser classificados conforme o tipo de
Matemática utilizada”.
Para o processo da Modelagem Matemática, enquanto uma metodologia de ensino, Spina procura abordar diferentes
obras. Dentre elas, D’Ambrosio e Bassanezi.
Segundo a autora, temos que:
No esquema de D’Ambrosio (1986), o processo de Modelagem Matemática se baseia na dinâmica
“realidade-reflexão sobre a realidade”, enquanto modelo seria o ponto de ligação entre as informações
captadas pelo indivíduo e sua ação sobre a realidade, e, portanto, um instrumento de auxílio à
compreensão da realidade através da reflexão e análise sobre sua natureza. Este autor defende que o
indivíduo cria modelos que lhe permitem elaborar estratégias de ação: “Essa recriação de modelos
pelo sujeito, que pode utilizar outros modelos que já foram incorporados a sua realidade e que é a
essência do processo criativo, deveria constituir o ponto focal dos sistemas educativos (Spina, 2002,
p. 50).
Posterior a essa definição, complementa com a ideia de Gazzeta, que segundo Spina:
Esta é também a posição de Gazetta (…), para exercer ação no meio em que vive, o indivíduo se
utiliza de algum tipo de modelo que seria o elo entre as informações e sua ação, e que lhe serve como
“instrumento de auxílio para a compreensão da realidade.” (Spina, 2002, p. 50).
Por fim, completa a definição, trazendo a referência do livro de Bassanezi, com um esquema apresentado na Fig. 3:
Escolha das
Variáveis e Parâmetros
Hipóteses e
“leis”
Formulação do
Problema em termos
matemáticos
Hipóteses e
“leis”
Analogias
Solução
Hipóteses e
“leis”
Interpretação
da Solução
Figura 3: Esquema do Processo de Abstração dado por Spina (2002, p. 51).
3.4 MODELAGEM MATEMÁTICA: TATIANA SOARES CIPRIANO
Nessa dissertação de mestrado, cujo título é: “Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular:
Estratégias e Possibilidades”, a autora, faz a definição do processo de Modelagem Matemática baseada na obra de
Bassanezi.
Ao definir a Modelagem Matemática, a autora coloca diferentes definições de quatro autores diferentes (Cipriano,
2013, p. 17):
•
•
•
“Qualquer representação matemática da situação em estudo” (Barbosa, 2007).
“Modelo matemático de um fenômeno, é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que
representam de alguma forma o objeto estudado” (Bassanezi, 2011).
“Um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz, de alguma forma, um fenômeno
em questão ou um problema de situação real, é denominado de Modelo Matemático”
(Biembengut e Hein, 2009).
5o Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
•
“A matemática com suas expressões, equações, funções, fórmulas, tabelas, formas e teorias, é um
conjunto de modelos” (Chaves, 2005).
Embora tenha colocado diversas definições de Modelagem Matemática, por fim, ela opta pelo processo de
modelagem proposto por Bassanezi, o que se explicita no fragmento:
Como método de pesquisa, tem uma orientação metodológica a ser seguida. Neste sentido, foram
elaborados diferentes esquemas visando descrever as etapas pertinentes a um processo de Modelagem
Matemática. De acordo com Bassanezi (2011) essas etapas de modelagem são: experimentação,
abstração, resolução dos modelos validação e motivação (Cipriano, 2013, p. 18).
3.5 MODELAGEM MATEMÁTICA: HENRIQUE MARINS DE CARVALHO
No trabalho desse autor, intitulado: “Modelagem Matemática: elementos históricos sobre seu desenvolvimento em
cursos de pós-graduação”, ele procura fazer uma contextualização histórica de como se deu o percurso da Modelagem
Matemática no Brasil para se chegar até como se desenvolve os programas de pós-graduação sobre o tema. Ao final,
acrescenta diversas propostas de aplicação de modelos matemáticos a serem utilizados como metodologias de ensino.
Embora não tenha sido orientado por Bassanezi, esse autor também ressalta a importância da obra de Bassanezi,
quando traz um capítulo que retrata uma breve biografia desse autor. Essa colaboração substancial de Bassanezi é
enaltecida por Carvalho na seguinte passagem:
Sobre os ombros gigantes, Bassanezi sempre desenvolveu suas experiências em Modelagem
Matemática, tendo como motivação frequente a busca por um modelo que permita a resolução, em
um ambiente matemático, de um problema oriundo do mundo real, cuja resposta quantitativa ou
qualitativa possa ser transportada novamente ao mesmo cenário do qual surgiu a pergunta, oferecendo
a melhoria de algum procedimento ou a explicação de um fenômeno (Carvalho, 2010, p. 24).
Antes de introduzir sua concepção de Modelagem Matemática, esse autor faz diversas reflexões acerca desse
processo. A exemplo disso, traz um exemplo de uma situação-problema da realidade que fora solucionado através de
processos matemáticos, transformando-o em um problema matemático. Para esse caso, esse autor fez uso do exemplo
da roda.
Após esse exemplo, o autor traz a classificação dada por Bassanezi acerca dos tipos de modelos, que serão
detalhados na seção 3.7.
Feito isso, traz também, um esquema representado pela Fig. 4, que explica esse processo desde a indicação da
situação-problema até a solução do mesmo:
Figura 4. Processo de Modelagem Matemática (Carvalho, 2010, p. 33).
3.6 MODELAGEM MATEMÁTICA: RODNEY CARLOS BASSANEZI
Antes de iniciarmos as definições trazidas na obra de Bassanezi, faremos um breve relato histórico de como foi a
inserção de Bassanezi nessa área de Educação Matemática.
Segundo Biembengut (2009), isso ocorreu quando Bassanezi realizou uma experiência com 30 professores que
ministravam a disciplina de Cálculo em universidades da região sul. A atividade proposta por ele era elaborar algum
problema inicial de contextualização daquele conteúdo. Após um certo tempo, ele verificou que os problemas propostos
não apresentavam muita criatividade, sendo todos muito similares aos que eram apresentados nos livros didáticos.
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5º Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
A partir desse ponto, Bassanezi observa que há uma necessidade de criar uma metodologia que desenvolvesse essa
criatividade nesse grupo de professores. Então, como Bassanezi havia sido convidado a ser o coordenador do curso de
pós-graduação, propõe uma mudança no programa do curso: “fazer uma visita às empresas da cidade e, a partir do
primeiro contato com as questões da realidade, levantar problemas de interesse para serem investigados” (Biembengut,
2009, p. 11).
Sendo assim, pensamos que essa experência tenha sido uma das que influenciaram Bassanezi a pesquisar e
contribuir com a grande área da Educação Matemática. Além do fato de alguns professores possuírem essa falta de
criatividade na elaboração de siutuações-problema diferentes dos já propostos em livros didáticos, o desafio de “como
ensinar” e “para que aprender” podem ter sido grandes motivadores de Bassanezi para que buscasse essa respota.
Encontrando-a, talvez, na metodologia proposta pela Modelagem Matemática.
Com esse mesmo raciocínio, Biembengut reforça:
É possível que a questão – para que aprender matemática – advinda de estudantes e a dificuldade de
muitos professores em respondê-la a partir de aplicações nas diversas áreas do conhecimento tenham
contribuído para Bassanezi defender a modelagem como estratégia de ensino de matemática. Sua
proposta nos cursos que ministrou para professores era levar os estudantes a se inteirarem das
atividades de uma região à qual pertenciam, e, a partir desse contato com as questões da realidade,
levantar problemas de interesse para serem investigados. O conteúdo matemático era apresentado
quando requerido pelos modelos que estavam sendo elaborados (Biembengut, 2009, p. 12).
3.7 DEFINIÇÃO DE MODELAGEM MATEMÁTICA POR BASSANEZI
Em seu livro intitulado “Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática”, Bassanezi procura ser sucinto ao
definir os termos. A exemplo disso, no início do livro, após fazer algumas reflexões acerca da matemática aplicada e
sobre o porquê de se ensinar matemática, o autor defini modelo:
Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de
agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados
essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo (Bassanezi, 2011, p. 19).
Após a definição de modelo, Bassanezi defini Modelo Matemático, que segundo ele, é o “conjunto de símbolos e
relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado. (Bassanezi, 2002, p. 20). Mostrando com
isso, a procura de definições curtas e objetivas.
Dada a definição de “modelo matemático”, o autor faz a distinção entre alguns tipos (Bassanezi, 2011, p. 19):
•
•
•
•
Linear ou Não Linear: conforme suas equações básicas tenham estas características;
Estático: quando representa a forma do objeto (…); ou Dinâmico: quando simula avaliações de
estágios do fenômeno.
Educacional: quando é baseado em um número pequeno ou simples de suposições (…); ou
Aplicativo é aquele baseado em hipóteses realísticas e, geralmente, envolve interrelações de um
grande número de variáveis.
Estocástico ou Determinístico: de acordo com o uso ou não de fatores aleatórios nas equações.
Com isso, traz a definição de Modelagem Matemática:
é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma
de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste,
essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos, cujas
soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (Bassanezi, 2011, p. 24).
Esse processo definido por Bassanezi como Modelagem Matemática, segundo ele, deve seguir uma sequência de
etapas, que de forma resumida, é apresentada na Fig. 1, na seção 3.1:
Após a explicação de cada uma das etapas de modelagem, Bassanezi traz um novo esquema, o mesmo apresentado
no trabalho de Burak, porém com algumas atualizações em sua edição do ano de 2002:
Figura 5. Divisão de Atividades Intelectuais dada por Bassanezi (2002, p. 32).
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5o Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho fizemos um breve relato histórico acerca do processo de inserção de uma metodologia de ensino
denominada Modelagem Matemática no Brasil, para que com isso, chegássemos em um dos autores mais referenciados
e que possui suas obras citadas em muitas publicações nessa área, Rodney Carlos Bassanezi. Após um breve histórico
acadêmico e profissional, fizemos um pequeno levantamento sobre suas orientações na área de trabalhos voltados à
Modelagem Matemática para que pudéssemos verificar a concepção que esse autor possue sobre esse tema. Posterior a
isso, verificamos alguns outros pesquisadores com trabalhos publicados na área, que não foram orientandos de
Bassanezi e vimos que também se basearam na obra de Bassanezi. Ao fim da seção, trouxemos a definição dada por
Bassanezi em seu livro intitulado “Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática”, edição de 2011.
Os “primeiros passos” acadêmicos de Bassanezi, eram voltados à matemática pura e aplicada, como é notado em sua
dissertação de mestrado e sua tese de doutorado. Porém, ao fim da década de 1980, orienta a primeira dissertação de
mestrado em Modelagem Matemática. Após essa dissertação, Bassanezi continua suas orientações e publicações em
matemática pura e aplicada, mas sempre demonstrando preocupação com a grande área da educação matemática.
Embora houvesse essa constatação de que sua tendência acadêmica se voltaria à grande área de matemática, não
havendo indícios de que contribuiria para a grande área de Educação Matemática, no fim da década de 1980 até os dias
de hoje, Bassanezi vem contribuindo de forma significativa para essa grande área.
Como prova disso, verificamos a grande quantidade de artigos publicados, um livro que é referenciado em grande
parte dos trabalhos sobre Modelagem Matemática e a quantidade de doutores cujas teses foram centradas em
Modelagem Matemática. A exemplo disso, temos Dionísio Burak, Maria Salett Biembengut, Catharina de Oliveira
Corcoll Spina que tiveram sua orientação em suas dissertações e Jonei Cerqueira Barbosa, cuja tese de doutorado teve a
co-orientação de Bassanezi.
Pode-se concluir que o processo de ensino-aprendizagem com a Modelagem Matemática, nos permite a busca de
situações-problemas que incentivam a criatividade dos educandos em solucionar à questão proposta e fazendo com que
haja a reflexão das teorias matemáticas envolvidas nela. Isso faz com que a aprendizagem não seja apenas por
memorização, mas seja significativa para o educando.
Após estudarmos a formação acadêmica, profissional e também os trabalhos de mestrado e doutorado orientados por
Rodney Carlos Bassanezi, chegamos a conclusão de que sua obra é um importante referencial teórico quando pensamos
em Modelagem Matemática.
5. REFERÊNCIAS
AUSUBEL, David Paul. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: Uma perspectiva Cognitiva. 1. ed. Coimbra:
Paralelo, 2003.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática: Concepções e Experiências de Futuros Professores. 2001.
253 f. Tese Doutorado — Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem Matemática: Uma disciplina emergente nos programas de formação de
professores. In: XXII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, 1999. Santos. Biomatemática
IX. Campinas: IMECC, 1999, v. 9, p. 9-22.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. 3. ed. São Paulo: Contexto,
2011.
BASSANEZI, Rodney Carlos; BIEMBENGUT, Maria Salett. A Matemática dos Ornamentos e a Cultura Araica.
Revista de Ensino de Ciências, n. 21, p. 39-45, set. 1988.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelação Matemática como Método de Ensino e Aprendizagem de Matemática
em Cursos de 1o e 2o graus. 1990. Dissertação (Mestrado em Educação) — Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho”, Rio Claro.
BIEMBENGUT, Maria Salett. 30 anos de modelagem matemática na educação brasileira: das propostas primeiras às
propostas atuais. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia. Santa Catarina. Alexandria, v. 2, n. 2, p. 7-32, jul.
2009. Disponível em: <http://alexandria.ppgect.ufsc.br/files/2012/03/mariasalett.pdf>. Acesso em: 19 maio 2014.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 5. ed. São Paulo: Contexto, 2011.
Anais do CONCISTEC'14
© 2014, copyright by IFSP
5º Congresso Científico da Semana Tecnológica – IFSP
20-24 de outubro de 2014, Bragança Paulista, SP, Brasil
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática: uma Metodologia Alternativa para o Ensino de Matemática na 5a
série. 1987. 188 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho”, Rio Claro.
CIPRIANO, Tatiana Soares. Modelagem Matemática como Metodologia no Ensino Regular: Estratégias e
Possibilidades. 2013. 56f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT) —
Departamento de matemática, instituto de ciências exatas, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropédica.
MIRANDA, Anderson Melhor. As Tecnologias da Informação no Estudo do Cálculo na Perspectiva da
Aprendizagem Significativa. 2010. 152f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática) —
Departamento de matemática, instituto de ciências exatas e biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.
SPINA, Catharina Corcoll de Oliveira. Modelagem Matemática no Processo de Ensino-aprendizagem do Cálculo
Diferencial e Integral para o Ensino Médio. 2002. 177 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) —
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro.
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Unesp/Rio Claro. Disponível em:
<http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/new/index.php>. Acesso em: 11 jun. 2014.
6. NOTA DE RESPONSABILIDADE
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo deste artigo.
APÊNDICE A
Aprendizagem Significativa
Apresentaremos brevemente o conceito de “aprendizagem significativa” utilizada neste trabalho.
Quando escrevemos sobre aprendizagem significativa, deve-se entender que estamos pensando na concepção de
David Paul Ausubel, psicólogo e e teórico educacional. Enfatizamos essa afirmação, considerando que segundo Pontes
Neto (2006 apud MIRANDA, 2010), existem dois autores com teorias apresentadas com o mesmo título: Ausubel e
Rogers. Segundo o autor, essa igualdade no título só ocorre na tradução para o português, visto que em inglês, a
expressão utilizada por Rogers é “significant learning” e a utilizadapor Ausubel é “meaningful learning”. Além da
diferença no título original, existe também uma diferença no enfoque dado por cada um deles.
Rogers é humanista e seus estudos são orientados para os aspectos afetivos e relacionais da
aprendizagem; já Ausubel é um autor voltado para as questões do cognitivismo, enfatizando aspectos
relacionados à aquisição, organização e consolidação do conhecimento (Pontes Neto, 2006 apud
Miranda, 2010).
Portanto, adotaremos a mesma concepção dada por Ausubel, pois a preocupação da Modelagem Matemática está
diretamente relacionada com o cognitivismo, enfatizando aspectos relacionados à aquisição, organização e consolidação
do conhecimento.
Para Ausubel (2003), existe uma contraposição entre “aprendizagem por memorização” e “aprendizagem
significativa”. Como o próprio nome diz, a aprendizagem por memorização não há uma relação com o cognitivo,
apenas da assimilação de conceitos que não resultam na aquisação de novos significados. Ou seja, no caso do educando,
ele é condicionado a dar uma resposta a determinada pergunta apenas pelo fato de ter memorizado aquela situação. Já a
aprendizagem significativa, os conceitos inseridos são rigorosamente ligados ao cognitivo. Com novos materiais, o
educando é capaz de fazer a assimilação de conceitos não mais de forma arbitrária e literal, mas de forma cognitiva.
Ainda com relação a aprendizagem significativa e aprendizagem por memorização, verifica-se as seguintes “falhas”
ou inificácias da aprendizagem por memorização, contrapondo-se com a aprendizagem significativa:
o equipamento cognitivo humano, ao contrário do de um computador, não consegue lidar de modo
eficaz com as informações relacionadas consigo numa base arbitrária e literal, apenas se conseguem
interiorizar tarefas de aprendizagem relativamente simples e estas apenas conseguem ficar retidas por
curtos períodos de tempo, a não ser que sejam bem apreendidas (Ausubel, 2010, p. 4).
No trecho destacado anteriormente, temos então que a aprendizagem por memorização não é eficiente em um
processo de ensino-aprendizagem pela capacidade curta, em geral, de memorização de conceitos. Podendo assim,
verificar a eficácia da aprendizagem significativa sobre a aprendizagem por memorização.
Fly UP