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Diferentes Formas de Multiplicar

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Diferentes Formas de Multiplicar
Diferentes Formas de Multiplicar∗
Filomena Baptista Soares
[email protected]
Equiparada a Prof. Adjunto Departamento de Matemática ESEIG - IPP
Maria Paula Sousa Nunes
[email protected]
Equiparada a Prof. Adjunto Departamento de Matemática ESEIG - IPP
Resumo. A matemática é um edifício intelectual complexo, subtil, construído ao longo dos séculos sobre
diversos princípios e regras lógicas. O tão “básico” algoritmo da multiplicação que “mecanicamente”
utilizamos é o resultado de uma evolução histórica. Ao longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes
lugares, desenvolveram variadas técnicas para multiplicar e aqui serão recordadas algumas.
Desde o processo de duplicações sucessivas dos egípcios da Antiguidade, e de algumas
variações a este, ao processo de multiplicação utilizando as mãos, dos camponeses franceses, passando
pelo método da gelosia utilizado pelos árabes que, provavelmente, o aprenderam com os hindus, vários
serão os métodos analisados à luz dos conhecimentos actuais.
Para terminar, não poderá deixar de se abordar o algoritmo usual da multiplicação,
frequentemente “ensinado” como se de uma “receita” se tratasse, justificando todos os seus “porquês”.
1. Um método Egípcio para multiplicar
Ao longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes lugares, desenvolveram
variadas técnicas para multiplicar. Os egípcios da Antiguidade, por exemplo, criaram
um interessante processo usando duplicações sucessivas. Duplicar é dobrar, isto é,
multiplicar por dois. Para expor o processo começaremos com alguns exemplos simples
(embora conhecendo a numeração egípcia, nos exemplos apresentados utilizaremos o
nosso sistema de numeração para facilitar a compreensão do método).
Exemplos:
3
Multiplicar um número por quatro é dobrar o seu dobro, pois 4 = 2 x 2.
Por exemplo, para obter 4 x 17 fazemos assim:
dobro de 17 = 34
dobro de 34 = 68
Deste modo: 4 x 17 = 68
3
Multiplicar um número por 8 é dobrar o dobro do seu dobro, uma vez que
8 = 2 x 2 x 2. Assim, para obter 8 x 21 fazemos:
∗
Apresentado no XIV Encontro de Investigação em Educação Matemática, Caminha, Abril 17-19, 2005.
dobro de 21 = 42
dobro de 42 = 84
dobro de 84 = 168
Portanto: 8 x 21 = 168
3
32 x 13 = ?
dobro de 13 = 2 x13 = 26
dobro de 26 = 2 x 26 = 4 x 13 = 52
dobro de 52 = 2 x 52 = 8 x 13 = 104
dobro de 104 = 2 x 104 = 16 x 13 = 208
dobro de 208 = 2 x 208 = 32 x 13 = 416
Portanto: 32 x 13 = 416
Deste modo, através de duplicações sucessivas, é fácil multiplicar um número
por 4, 8, 16, 32, 64, etc. (estes são os números que se obtêm multiplicando o 2 por ele
mesmo sucessivas vezes). No entanto, este processo não permite obter, por exemplo, 14
x 23, uma vez que nenhum dos dois factores é 4, 8, 16, 32, 64, etc.
Há uma forma de superar esta aparente impossibilidade. Para compreendê-la
devemos antes perceber o seguinte: os números naturais que não fazem parte da
sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., podem sempre ser escritos como soma de
alguns dos números que fazem parte dela. Por exemplo: o 3, que não é da sequência, é a
soma de 1 com 2, que são da sequência. Outros exemplos:
11 = 8 + 2 + 1; 36 = 32 +
4; 88 = 64 + 16 + 8
3
No método egípcio, para multiplicarmos 14 por 23, primeiro escrevemos
um dos dois factores (14, por exemplo) como soma de números da
referida sequência:
14 = 8 + 4 + 2
Seguidamente, fazemos as duplicações sucessivas do 23:
2 x 23 = 46
4 x 23 = 2 x 46 = 92
8 x 23 = 2 x 92 = 184
Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23,
resulta que 14 x 23 = 184 + 92 + 46.
Efectuando as adições teremos o resultado: 14 x 23 = 322.
3
Seguindo o mesmo raciocínio, multipliquemos 37 por 45:
Logo: 37 x 45 = 1665
O carácter aditivo da numeração usada pelos egípcios, reflecte-se nos processos
de cálculo que eles desenvolveram. Isto fica evidenciado no método que vimos: para
multiplicar, depois das multiplicações sucessivas, faz-se uma adição.
Em qualquer sistema de numeração, as regras usadas para escrever os números
influenciam as técnicas de cálculo.
O processo egípcio talvez explique a origem da palavra multiplicar na língua
latina: multi quer dizer vários e plicare significa dobrar. Assim, multiplicar é dobrar
várias vezes.
1. Um método Russo para multiplicar
Este método utilizado pelos russos que se vai apresentar de seguida, pode ser
considerado uma variante do método apresentado anteriormente, desenvolvido pelos
egípcios. Trata-se de uma forma peculiar de se efectuar as multiplicações, que mais
parece um truque... importa, pois, numa fase posterior, reflectirmos sobre a veracidade
do método e a razão pela qual ele funciona! Comecemos por observar um exemplo:
Um pequeno truque...
Este “truque” consiste num método para multiplicar dois números, através
de uma técnica não mais difícil do que somar, multiplicar e dividir por
dois. Esta técnica baseia-se no método de multiplicação egípcio.
Escrevem-se, um ao lado do outro, dois números, (na notação decimal).
Em linhas consecutivas, multiplica-se o número da direita por dois e
divide-se o da esquerda por dois, ignorando-se as fracções (metade de 11
deve ser considerado 5 e não 5,5). Então, riscam-se as linhas em que o
número da esquerda é par e soma-se tudo o que sobrou na coluna da
direita. O total será o produto procurado!
Vejamos um exemplo:
41×13=533
41 ÷2
13 ×2
20
26
10
52
5
104
2
208
1
+ 416
533
Este método “funciona”, vejamos no caso deste exemplo, o porquê:
41 × 13 = 41 × 13 ×
2
=
2
41
× 13 × 2 =
2
1

=  20 +  × 13 × 2 =
2

=
= ( 20 × 13 × 2 ) +
1
× 13 × 2 =
2
 20

=
× 13 × 4  + 13 =
 2

= (10 × 13 × 4 ) + 13 =
 10

=  × 13 × 8  + 13 =
 2

= ( 5 × 13 × 8 ) + 13 =
5

=  × 13 × 16  + 13 =
2




1
=  2 +  × 13 × 16  + 13 =
2



1

= ( 2 × 13 × 16 ) +  × 13 × 16   + 13 =
2


= ( 2 × 13 × 16 ) + 13 × 8 + 13 =
= 13 × 32 + 13 × 8 + 13 =
= 416 + 104 + 13 = 533
3. Um método para multiplicar usado pelos árabes
O algoritmo para multiplicar, que apresentaremos a seguir, era usado pelos árabes que,
provavelmente, o aprenderam com os hindus. É fácil ver que ele é bastante parecido
com o que usamos hoje. É chamado Gelosia ou método da grade:
Aqui está a multiplicação de 185 por 14:
Para compreender o processo vamos apresentá-lo passo a passo:
3
Desenhamos um rectângulo dividido em rectângulos mais pequenos. No
nosso exemplo temos 2 filas e 3 colunas de pequenos rectângulos porque
14 tem 2 algarismos e 185 tem 3 algarismos.
3
Traçamos uma diagonal em todos os rectângulos pequenos, como mostra
a figura, obtendo uma grelha:
3
Seguidamente, multiplicamos os algarismos de um factor pelos
algarismos do outro factor e registamos os resultados na grelha.
Observemos a forma de fazer o registo.
3
Agora, neste último passo, somamos os algarismos que estão numa
mesma faixa diagonal. É preciso observar o "e vai um".
Para compreender o funcionamento desta técnica, vamos compará-la com o
nosso modo de multiplicar.
Vejamos mais dois exemplos:
4. O “nosso” Algoritmo
Muitas pessoas que aprenderam o algoritmo habitual da multiplicação, embora
saibam executá-lo, não o compreendem. Deste modo, a execução da operação é um acto
mecânico, sem raciocínio matemático. Compreender uma técnica de cálculo não é
apenas saber executá-la, é , fundamentalmente entender todos os seus “porquês”.
Para compreender o algoritmo da multiplicação, vamos analisar alguns
exemplos.
Começaremos por um exemplo simples: 7 x 15.
O produto de 7 por 15 é o número de quadradinhos unitários contidos no
rectângulo de lados 7 e 15.
Vamos decompor o rectângulo em outros dois. Isto significa usar a propriedade
distributiva da multiplicação relativamente à adição:
7 x 15 = 7 x (10 + 5) = 7 x 10 + 7 x 5 = 70 + 35
Estes cálculos podem ser organizados de outra maneira:
Temos assim a forma habitual do algoritmo:
Vejamos agora um exemplo um pouco mais complicado: 13 x 25.
Vamos representar esse produto com o rectângulo de lados 13 e 25,
decompondo-o em outros dois rectângulos.
Para encontrar o total de quadradinhos (ou a área) do rectângulo, um caminho
natural é encontrar o total de cada parte e, depois, somar esses resultados parciais.
Assim sendo, devemos efectuar 3 x 25 para a parte menor, 10 x 25 para a parte
maior, e somar os resultados:
Esse processo pode ser resumido:
Notemos, novamente, que o algoritmo está ligado à propriedade distributiva: ao
multiplicarmos 13, multiplicamos por 3 e por 10, somando depois os resultados. O
algoritmo também está ligado ao nosso sistema de numeração: quando multiplicamos 2
dezenas e 5 unidades (25) por 10, obtemos 2 centenas e 5 dezenas (250) e por isso, o 5
de 250 é escrito por baixo do 7 do 75.
Vejamos agora um terceiro exemplo:
Analisemos as seguintes questões:
1. Como foi obtido o 615?
2. Porque ficou um espaço vazio sob o 5 de 615?
3. O 246 escrito por baixo de 615 é duzentos e quarenta e seis?
Para responder, é necessário compreender o algoritmo. Analisando-o passo a passo,
chegamos às respostas:
1. Como 25 x 123 = (20 + 5) x 123, o 615 foi obtido multiplicando-se 5 por 123.
2. Ao multiplicar 20, isto é, 2 dezenas, por 123, obtemos 246 dezenas, ou seja,
2460 unidades. Isto significa que o espaço vazio sob o 5 do 615 pode ser visto
como:
- correspondendo a um zero, que pode ou não ser escrito;
- a “casa” das unidades vazia, uma vez que o resultado é dado em
“dezenas”.
3. A terceira questão já está respondida: o 246 escrito por baixo de 615 pode ler-se
duzentos e quarenta e seis dezenas ou duas mil, quatrocentas e sessenta
unidades.
5. Multiplicações “curiosas”
5.1
Multiplicando com as mãos
Existe um processo muito curioso para fazer multiplicações com os dedos das
mãos. Este método era usado, até há pouco tempo, por camponeses de uma região de
França. Eles sabiam de cor a tabuada até à dos 5 e, para multiplicar números
compreendidos entre 5 e 10, como por exemplo, 6 x 9 ou 7 x 8, usavam os dedos.
Vejamos como faziam para obter, por exemplo, 6 x 8.
Numas das mãos, baixamos tantos dedos quantas unidades o 6 passa de 5;
portanto baixamos 1 dedo.
Na outra mão, baixamos tantos dedos quantas unidades o 8 passa de 5; portanto
baixamos 3 dedos.
Somamos o número de dedos baixados, exprimindo a soma em dezenas. No
nosso caso temos 1 + 3 = 4 dezenas, isto é, 40 unidades.
Seguidamente multiplicamos os números de dedos levantados: 4 x 2 = 8
unidades.
Para obter o resultado final, somamos os valores encontrados: 40 + 8 = 48
De facto: 6 x 8 = 48!
Embora, para nós, este procedimento possa não ser prático, ele é, sem dúvida,
curioso.
Utilize-o para obter, por exemplo, 7 x 8, 6 x 7, 7 x 9 e 6 x 9. Verifique que o
método também é válido para os factores 5 e 10, que são os extremos do intervalo em
que o processo pode ser usado.
Apresentaremos, agora, uma proposta de explicação deste método:
Pretende-se multiplicar dois quaisquer números, X e Y, onde X e Y são naturais
entre 5 e 10, sabendo unicamente a tabuada até à dos cinco.
Consideremos, então, X = x + 5 e Y = y + 5 , onde x e y são os dedos que se
baixam em cada mão. Deste modo, 5 − x e 5 − y , são os dedos que ficam levantados
em cada mão.
O método apresentado consiste em se multiplicar por 10, a soma dos dedos que
estão para baixo e, posteriormente adicionar-se o produto dos que ficam levantados, ou
seja:
10 ( x + y ) + ( 5 − x ) ( 5 − y ) = 10 x + 10 y + 25 − 5 y − 5 x + xy =
= xy + 5 x + 5 y + 25
Ora, o produto que se pretende efectuar é:
XY = ( x + 5 ) ( y + 5 ) = xy + 5 x + 5 y + 25
Daqui se pode concluir a veracidade do método e escrever-se:
XY = ( x + 5 ) ( y + 5 ) = 10 ( x + y ) + ( 5 − x ) ( 5 − y )
5.2 A tabuada dos nove e os dedos das mãos
Há um modo interessante para se obter a tabuada dos nove usando os dedos das
mãos. Coloque as mãos abertas sobre a mesa.
Vamos obter, por exemplo, 3 x 9. Dobre o 3° dedo, a contar da esquerda para a
direita.
Veja que, à esquerda do dedo dobrado, ficaram dois dedos e, à sua direita, 7
dedos.
Eis o resultado: 3 x 9 = 27!
Veja como se obtém 6 x 9:
Não é curioso? Experimente obter as outras multiplicações da tabuada dos nove.
A justificação formal deste resultado é simples. O produto de nove por um
qualquer número x entre 1 e 10, obtém-se baixando o “dedo x” e lendo como dezenas o
número de dedos que lhe ficam à esquerda (( x – 1 ) dezenas ) e como unidades o
número de dedos que lhe ficam à direita (( 10 – x ) unidades). Temos, então o resultado
“lido nas mãos”: ( x − 1) ×10 + (10 − x ) , isto é, 9.x , o produto procurado!
6. Considerações Finais
Os métodos aqui referidos estão longe de esgotar todas as “formas” de
multiplicação existentes, mais ou menos similares, como, por exemplo, os “Ossos de
Napier”, a “Multiplicação Triangular”, a “Multiplicação utilizando Logaritmos”, entre
outros, que se encontram referidos, de um modo acessível em [1] .
Para terminar, não podemos deixar de referir a importância do conhecimento
basilar de qualquer questão matemática por muito simples que seja. O contacto recente
com alguns professores do 1º Ciclo do Ensino Básico, foi o “motor” desta apresentação
que, não tendo como objectivo “ensinar” métodos mas sim referir a sua existência,
procura essencialmente evitar que existam professores a “não saber” justificar o comum
algoritmo da multiplicação. Foi, para nós, “escandaloso” apercebermo-nos que existem
hoje professores que se sentem confortáveis com justificações do tipo “… é assim
porque… é assim”.
Bibliografia e Referências
http://www.projects.ex.ac.uk/trol/trol/trolfg.pdf
http://educar.sc.usp.br/matematica
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/
http://www.mathgoodies.com/lessons
http://www.scipione.com.br/sceduca/assessoria/pensar/index5.htm
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