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EQUAÇÃO GERAL DA RETA ........................................................

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EQUAÇÃO GERAL DA RETA ........................................................
EQUAÇÃO GERAL DA RETA .............................................................. 2
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA........................................................ 8
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 14
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA............................................................... 15
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO ................... 18
CONDIÇÃO DE PARALELISMO ........................................................ 26
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ......................................... 29
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS ........................................ 34
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................... 35
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR..................................................... 40
RESPOSTAS ..................................................................................... 44
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 46
No final das séries de exercícios podem aparecer
sugestões de atividades complementares. Estas
sugestões referem-se a exercícios do livro
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto
durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 3.
MATEMÁTICA III
1
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
ax  by  c  0
A toda reta r do plano está
associada uma equação na forma
ax + by + c = 0 onde a, b e c são números
reais e a e b não são simultaneamente
nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que
satisfaz a equação citada representa um
ponto de r.
que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da
reta.
É importante destacar, que, a
partir do que vimos, qualquer reta possui
uma equação geral e esta pode ser
encontrada a partir de dois de seus
pontos.
Vale ressaltar também que uma
mesma reta pode assumir equações
diferentes visto que a equação
encontrada
depende
dos
pontos
A(x1, y1) e B(x2, y2) considerados.
Entretanto, independente dos pontos
escolhidos, as diferentes equações de
uma mesma reta são equivalentes, daí
concluímos que uma reta r do plano está
associada à um conjunto de equações
equivalentes e que um conjunto de
equações equivalentes está associado à
uma reta.
Dados os pontos A(x1, y1) e
B(x2, y2), consideremos um ponto
genérico G(x, y) pertencente à reta
determinada por A e B, então podem os
escrever que:
x1
y1 1
x2
y2 1  0
x
y
O coeficientes a e b não serão
simultaneamente nulos se os pontos
A(x1, y1) e B(x2, y2), forem distintos,
observe:
1
e, desenvolvendo o determinante, temos
a  0  y1  y 2  0  y1  y 2 
 A B
b  0  x 2  x1  0  x1  x 2 
x1 y2  xy1  x2 y  xy 2  x1 y  x2 y1  0
xy1  y2   yx2  x1   x1 y2  x2 y1  0
A seguir, veremos alguns
exemplos.
e, por fim, fazendo
y1  y2  a ,
x2  x1  b e x1 y 2  x2 y1  c , temos:
xy1  y 2   yx 2  x1   x1 y 2  x 2 y1  0





 
a
CÁSSIO VIDIGAL
b
c
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
O que acabamos de fazer é, na
verdade, uma forma de verificar se um
ponto A pertence a uma reta r.
Ex.1: Escrever a equação da reta que
passa pelos pontos A(5, -1) e B(2, 3).
Vale ainda ressaltar que podemos
multiplicar ambos os termos da equação
encontrada por um número real qualquer
diferente de zero. Isto apenas nos
entregará uma outra equação da mesma
reta. Assim, multiplicando os dois termos
por -1, encontramos:
Resolução:
5
1 1
2
3
1 0
x y 1
15  x  2 y  3 x  5 y  2  0
 4 x  3 y  17  0
 4 x  3 y  17  0
Logo, a equação procurada é
 4 x  3 y  17  0 .
4 x  3 y  17  0
Ex.2: Encontre a equação da reta da
figura abaixo:
Observações:
1.
Note que não é necessário fazer o
esboço da reta em questão para
encontrar sua equação.
2.
É possível verificar se a resposta
está
correta
substituindo
as
coordenadas dos dois pontos A e B
dados na equação encontrada, veja:
Para A(5, -1):
 4 x  3 y  17  0
 4  5  3   1  17  0
 20  3  17  0
0 0
Resolução:
Para escrever a equação devemos
escolher dois pontos da reta, vamos
tomar, neste exemplo, os pontos B(-2, 1)
e E(6, 5).
Para B(2, 3)
 4 x  3 y  17  0
 4  2  3  3  17  0
 8  9  17  0
0 0
2 1 1
6
5 1 0
x
y 1
 10  x  6 y  5 x  2 y  6  0
 4 x  8 y  16  0
Como, em ambos os casos,
encontramos igualdades verdadeiras,
podemos afirmar que a resposta está
correta.
MATEMÁTICA III
  1
3
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Vamos, agora, escolher outro par
de pontos: faremos com os pontos
A(-6, -1) e D(4, 4).
01) Determinar as equações das retas
suporte dos lados do triângulo ABC
determinado pelos pontos A(0, 0),
B(1, 3) e C(4, 0).
 6 1 1
4
4
1 0
x
y
1
 24  x  4 y  4 x  6 y  4  0
 5 x  10 y  20  0
Note que a equação encontrada foi
diferente mas as duas são equivalentes,
veja:
 4 x  8 y  16  0   4  
  x  2y  4  0
 5 x  10 y  20  0   5 
Logo, a equação da reta da figura
e x  2y  4  0 .
___________________________
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma
forma diferente de se encontrar a
equação geral de uma reta a partr de dois
pontos conhecidos.
CÁSSIO VIDIGAL
4
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
02) Determinar a equação da reta
7 5 
definida pelos pontos A  ,  e
2 2
 5 7
B  ,   .
2
 2
MATEMÁTICA III
03) A reta determinada por A(a, 0) e B(0,
b) passa por C(3, 4). Qual a relação entre
a e b?
5
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
04) A reta determinada por A(p, q) e
B(3, -2) passa pela origem. Qual a
relação entre p e q?
CÁSSIO VIDIGAL
05) Prove que os pontos A(a; b+c),
B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e
determine a equação de reta que os
contém.
6
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
06) Dados A(-5, -5), B(1, 5), C(19, 0) e
r:5x – 3y = 0, verificar se r passa pelo
baricentro do triângulo ABC.
07) Desenhar no plano cartesiano as
retas cujas equações são dadas a seguir:
r: y = 2x
s: x + y = 5
t: x – y + 5 = 0
u: x + y + 3 = 0
v: 2y + x = 0
w: x – y – 4 = 0
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 60 – Exercício 06
______________________
MATEMÁTICA III
7
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
pelo que foi definido na página 2, temos
que a  y 2  y1 e b  x2  x1 . Assim,
podemos reescrever a expressão acima
substituindo, em seguida, a e b:
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Dada a equação geral de uma reta
não vertical r: ax + by + c = 0 como a
apresentada na página 2 desta mesma
apostila, vamos isolar y:
y 2  y1   y1  y 2 
a


x2  x1
b
 x2  x1 
ax  by  c  0
by  ax  c
como está definido na coluna anterior,
a
m   , assim, concluímos que:
b
a
c
y x
b
b
m  tg 
a
c
Fazendo m   e n   , temos
b
b
daí m ser chamado de coeficiente
angular da reta ou simplesmente de
declividade.
r : y  mx  n
Para r vertical, temos x = 0 logo
não há como representar esta reta por
meio de uma equação reduzida visto que,
inclusive, m não é definido para este tipo
de reta.
denominada equação reduzida da reta.
Os
dois
apareceram na
merecem
um
Acompanhe:
coeficientes
que
equação reduzida
estudo
especial.
Falando ainda da equação
y = mx + n, fazendo x = 0, temos y = n,
assim podemos concluir que a reta cruza
o eixo das ordenadas no ponto
(0, n) daí n ser chamado de coeficiente
linear da reta.
Sejam A(x1; y1) e B(x2; y2) dois
pontos de uma reta r: ax + by + c = 0 e 
o ângulo formado entre r e o eixo das
abscissas no sentido positivo.
A interpretação correta destes dois
coeficientes é de suma importância para
a perfeita localização de uma reta no
plano.
Ex.1: Reescrever na forma reduzida a
equação
da
reta
r
dada
por
r : 3x  2y  6  0 .
temos que:
tg  
CÁSSIO VIDIGAL
BC y 2  y1

AC x 2  x1
Resolução:
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
3x  2y  6  0
Resolução:
 2 y  3 x  6
y
Logo, r : y 
3
x3
2
3
x3
2
Ex.2: Escrever a equação reduzida da
reta que passa por A(0, 3) e B(-1, 0).
m  tg 
m  tg45 º
Resolução:
m 1
Já sabemos que m = 1, agora, tomando
um ponto genérico (x, y) podemos
escrever:
y3
x   1
x 1  y  3
1
y  x4
Assim, a equação procurada é y = x + 4.
Como a reta passa pelo ponto
(0, 3) já sabemos que n = 3. Falta
determinar o valor de m que pode ser
y
encontrado fazendo-se
:
x
m
Ex.4: Escrever a equação reduzida da
reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e
B(5, -4).
y y a  y b
3 0


3
x x a  x b 0   1
Resolução:
Assim, a equação procurada é
y = 3x+3
Ex.3: Obter a equação reduzida da reta
que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º
com o eixo OX.
MATEMÁTICA III
9
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
Podemos
substituir
as
coordenadas dos pontos em y = mx + n e
resolver um sistema, veja:
08) Determine o coeficiente angular da
reta que passa por (0, 2) e (5, 1) e a
seguir escreva sua equação reduzida.
Para A(-3, 2), temos 2 = -3m + n.
Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n.
 3 m  n  2
3m  n  2


5 m  n  4
5 m  n  4
8m  6  m  
3
4
1
 3
 3 m  n  2  3      n  2  n  
4
 4
3
1
Logo, y   x 
4
4
Observação: Os 4 exemplos acima
podem ser resolvidos de várias outras
formas mas o objetivo foi mostrar apenas
algumas soluções.
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma
forma diferente de se encontrar a
equação reduzida de uma reta a partir de
dois pontos conhecidos.
09) Obtenha a equação reduzida da reta
que possui coeficiente linear -2 e
coeficiente angular -3.
CÁSSIO VIDIGAL
10
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
10) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C
1

1

 ;  3  e D  ;  2  quais pertencem à
3

2

reta da questão anterior?
12) Determine as equações reduzida e
geral de uma reta que passa pela origem
7 
e pelo ponto  ; 1  .
2 
11) Escreva a equação reduzida da reta
que passa pelo ponto  5 ; 3 e forma,
com o eixo das abscissas um ângulo de
60º no sentido positivo.

MATEMÁTICA III

11
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
13) Determine os coeficientes angular e
linear
da
reta
de
equação
3x + 4y – 12 = 0
15) Qual a equação da reta mostrada na
figura abaixo?
14) Encontre a tangente do ângulo 
indicado na figura.
CÁSSIO VIDIGAL
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
16) Determine a equação da reta que
passa por P(2, 3) e pelo ponto Q
simétrico de P em relação à origem.
MATEMÁTICA III
17) Dados B(-3, -9) e C(-4, 2), determine
a equação da reta que passa pelo ponto
3
médio de BC e tem declividade .
2
13
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
18) Na figura, OABC é um quadrado.
Determine as equações das retas AB e
BC.
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA
RETA
Consideremos uma reta que
intercepta os eixos cartesianos nos
pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como
na figura:
A equação da reta é:
x
y 1
0
q 1 0
p 0 1
qx  py  pq  0
qx  py  pq
qx  py pq

pq
pq
x y
 1
p q
19) Qual a área do quadrado OABC da
questão anterior?
Esta equação é
equação segmentaria.
denominada
Ex.1: Obter a equação geral da reta que
intercepta o eixo Ox no ponto P(2, 0) e o
eixo Oy no ponto Q(0, -3).
Resolução:
Como temos os pontos de interseção da
reta com os eixos, podemos partir da
ideia de equação segmentária.
CÁSSIO VIDIGAL
14
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA
x y

1
2 3
3x  2 y 6

6
6
3x  2 y  6
3x  2 y  6  0
Assim, a equação procurada
3x – 2y – 6 = 0.
As equações geral, reduzida e
segmentária relacionam diretamente
entre si as coordenadas (x, y) de um
ponto genérico da reta. As equações
paramétricas dão as coordenadas (x, y)
de um ponto qualquer da reta em função
[geralmente linear] de uma terceira
variável t chamada de parâmetro.
é
Ex.2: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos
de intersecção da reta ax  by  c  0
onde a  b  c  0 com cada um dos eixos
coordenados, escreva p e q em função e
a, b e c.
Resolução:
Se P e Q pertencem à reta, então:
c
a  p  b  0  c  0  ...  p  
a
c
a  0  b  q  c  0  ...  p  
b
Ex.3: Qual a equação segmentaria da
reta de equação geral 4x – 9y + 5 = 0?
Resolução:
Assim, temos que:
x  f1  t  e
A
partir
destas
equações
paramétricas, encontramos a equação
geral isolando e eliminando o parâmetro
t.
Ex.1: Qual a equação geral da reta onde
t2
x
e y  3t  1 ?
5
Resolução:
Isolando o parâmetro t em ambas as
equações, temos:
t2
x
 t  2  5x  t  5x  2
5
y 1
y  3t  1  3t  y  1  t 
3
Comparando as equações, obtemos:
y 1
5x  2 
3
15 x  6  y  1
4x  9 y  5  0
4 x  9 y  5
4 x 9 y 5


5 5 5
x
y

1
5
5
4
9
Esta é a equação que estamos
procurando e concluímos que a reta
 5 
intercepta os eixos nos pontos P   , 0 
 4 
 5
e Q  0,  .
 9
MATEMÁTICA III
y  f2 t 
Assim, a
15  y  5  0 .
15
15  y  5  0
equação procurada
é
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Como forma geral, no caso em que
é dada a equação de uma reta numa
determinada forma e pedida em outra, tal
mudança deve ser feita passando pela
forma geral. Veja este exemplo:
20) Determinar a equação reduzida da
reta AB quando A = (-1, 1) e B = (7, 25).
Ex. Determine a equação reduzida da
1 t

 x  2
reta r : 
.
y  t  2

4
Resolução:
Vamos em princípio escrever a equação
geral de r:
1 t
x
 1 t  2x  t  1 2x
2
t2
y
 4y  t  2  t  4y  2
4
4 y  2  1 2x
2x  4 y  3  0
Agora vamos passar para a forma
segmentária:
2x  4 y  3  0
21) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determinar
a equação segmentária da reta AB.
2x  4 y  3
2x 4 y 3


3
3 3
x
y

1
3
3
2
4
Aí está, então, a equação segmentária
de r.
DICA: Compare a forma paramétrica e a
segmentária de reta r e tira algumas
conclusões.
CÁSSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
22) Determinar a equação geral das retas
abaixo:
a)
c)
b)
23) Quais as coordenadas do ponto de
intersecção com o eixo horizontal da reta
do item c) acima?
MATEMÁTICA III
17
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
24) Dadas as equações paramétricas de
 x  5t  3
uma reta r : 
, determinar a
 y  2t  4
equação segmentária de r.
POSIÇÕES RELATIVAS DE
DUAS RETAS NO PLANO
Dadas duas retas r e s cujas
equações são:
r : a1 x  by1  c1

 s : a2 x  b2 y  c2
elas podem ocupar três posições
relativas no plano cartesiano. Essas
posições podem ser definidas com base
na quantidade de pontos em comum
entre as retas, isto é:
r e s concorrentes
↕
um ponto em comum
r s
25) Achar as coordenadas do ponto de
intersecção entre as retas r e s onde:
`x  3t
`x  3  u
r:
t
e s:
u
 y  2t
y  2 u
r e s paralelas distintas
↕
nenhum ponto em comum
r s 
r e s coincidentes
↕
Infinitos pontos em comum
r s
Obs: Com o símbolo r s
indicaremos que as retas r e s são
concorrentes, com o símbolo r  s  
indicaremos que r e s são paralelas e
distintas e com r  s , indicaremos que r
e s são coincidentes. É importante
destacar ainda que r // s indica r  s  
ou r  s .
CÁSSIO VIDIGAL
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Todo ponto comum a r e s é
solução de um sistema linear formado
pelas equações das retas r e s:
e
de 4 : y 
r : a1 x  b1 y  c1

 s : a2 x  b2 y  c2
a1c2  a2 c1
a1b2  a2b1
Assim, se a1b2  a2b1  0 podemos
afirmar que x e y são únicos, logo r e s
são concorrentes:
Se o sistema é possível e
determinado, a única solução será o
ponto de intersecção das retas r e s.
Caso o sistema não apresente solução,
podemos concluir que as retas são
paralelas e distintas e, por fim, se o
sistema for indeterminado, as retas r e s
são coincidentes.
Por outro lado, se a1b2  a2b1  0 o
sistema
será
indeterminado
ou
b2c1  b1c2  0
impossível:
se
e
Vamos “resolver” o sistema acima
a fim de entender a caracterização da
posição relativa entre duas retas a partir
dos coeficientes a, b e c de suas
equações gerais:
a1c2  a2 c1  0
o
sistema
será
indeterminado e r e s serão coincidentes;
se b2c1  b1c2  0 ou a1c2  a2 c1  0 então o
sistema é impossível e as retas r e s são
paralelas distintas:

r : a1 x  b1 y  c1


 s : a2 x  b2 y  c2
a1b2  a2b1  0  a1b2  a2b1 
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
a
b
c
b2 c1  b1c2  0 ou a1c2  a2 c1  0  1  1  1
a2 b2 c2
1
b2 c1  b1c2  0 e a1c2  a2 c1  0 
2
fazendo 1  b2 e 2   b1  , temos:
a1b2 x  b1b2 y  b2c1 

a2b1 x  b1b2 y  b1c2 
e, desta forma, podemos resumir:
x  a1b2  a2b1   b2c1  b1c2
agora, fazendo
1   a2 
3
e
2  a1 ,
rs

r s 

rs

obtemos:
a1a2 x  a2b1 y  a2c1 

a1a2 x  a1b2 y  a1c2 
y  a1b2  a2b1   a1c2  a2c1
e, assim, temos que:
de 3 : x 
MATEMÁTICA III
a1 b1

a2 b2
a1 b1

a2 b2
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
4
Ex.1: Verificar a posição relativa das
retas r e s em cada caso:
a) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0
Resolução:
b2 c1  b1c2
a1b2  a2b1
19
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
27) As retas suportes dos lados do
triângulo ABC são AB : 3x  4 y  0 ,
a
b
1 2
  1  1  r e s são concorrentes
2 3
a2 b2
AC : 4 x  3 y  0
BC : x  y  7  0 .
e
Encontre os vértices deste triângulo.
b) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0
Resolução:
a
b
c
1 2 3
   1  1  1
3 6 1
a2 b2 c2
r e s paralelas distintas
c) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0
Resolução:
a
b
c
1 2 3
   1  1  1
2 4 6
a2 b2 c2
r e s paralelas coincidentes
Ex.2: Verificar a posição relativa das
retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0.
Resolução:
a
b
1 1
  1  1  r e s são paralelas
1 1
a2 b2
Para m = 2 temos r  s (coincidentes)
Para m ≠2 temos r  s   (paralelas
distintas)
26) Achar a intersecção entre as retas
r : x  2 y  3  0 e s : 2x  3y  5  0 .
CÁSSIO VIDIGAL
20
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
28) Mostre que as retas r : 2 x  3 y  1  0 ,
s : x  y  0 e t : 3 x  4 y  1  0 concorrem
num mesmo ponto.
29)
Mostre
r : x  2y  0 ,
que
as
s : x  2y 8  0
t : 1  k  x  2 1  k  y  8  0
retas
e
concorrem
num mesmo ponto P, ∀ k ∈ ℝ
MATEMÁTICA III
21
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
31) Mostre que as retas r : 2 x  3 y  0 ,
30) Determine k para que as retas de
equações x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0
e 2x – 2y – k = 0 sejam concorrentes no
mesmo ponto,
CÁSSIO VIDIGAL
e
s :  2m  1 x   3m  2 y  5  0
t : x  2y  5  0 são concorrentes num
mesmo ponto, qualquer que seja m.
22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
32) Determine a de modo que as retas
r : 3x  y  a  0 , s : 3x  y  1  0 e
5 x  y  1  0 sejam suportes para os
lados de um triângulo.
33) Em cada caso, determine a equação
da reta que passa pelo ponto P e é
paralela à reta r:
a) P(1, 2) e r : 8 x  2 y  1  0
x y
b) P(2, 5) e r :   1
2 3
MATEMÁTICA III
23
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
c) P(4, -4) e r : x  y  5  0
e) P(-4, 2) e r : y  2  0
d) P(-1, 3) e r : 2 x  5 y  7  0
f) P(2, -5) e r : x  2
CÁSSIO VIDIGAL
24
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
34) Determine o perímetro do triângulo
ABC que verifica as seguintes
condições:
 O vértice A pertence ao eixo OX
 O vértice B pertence ao eixo OU
 A reta BC tem equação x  y  0
 A
reta
AC
tem
equação
x  2y  3  0
MATEMÁTICA III
35) Dadas as retas:
r : 2x  y  3  0
s : x  2y  3  0
t : 2x  y  5  0
u : 2x  4y  3  0
v : 3 x  6 y  3
z : 4 x  2y  6
Determine a posição relativa entre:
res
ret
reu
rev
rez
set
seu
sev
sez
teu
tev
tez
uev
uez
vez
25
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
36) Quando nos deparamos com a
equação 2x + 6y – 10 = 0 temos o hábito
de dividir todos os coeficientes por 2 a fim
de simplificar os coeficientes. Neste caso,
obtemos a equação x + 3y – 5 = 0.
Verifique se as duas equações
representam ou não a mesma reta.
CONDIÇÃO DE PARALELISMO
Dadas duas retas r e s, não
verticais, são paralelas se, e somente se,
seus coeficientes angulares são iguais.
r / /s  m r  ms
r / /s
Demonstração:
1   2
tg1  tg 2
mr  ms
Ex.1:
Verificar
se
as
retas
r : 3 x  6 y  1  0 e s : 2 x  4 y  7  0 são
paralelas.
Resolução: Vamos escrever as duas
equações na forma reduzida:
Reta r:
Reta s:
2x  4y  7  0
3 x  6y  1  0
6 y  3 x  1
4 y  2 x  7
3 x  1
6
1
1
y  x
2
6
2 x  7
4
1
7
y  x
2
4
y
mr  
1
2
y
ms  
1
2
Como mr=ms, podemos afirmar que r//s.
CÁSSIO VIDIGAL
26
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
2x  3y  c  0
Ex.2: Escrever a equação da reta s que
passa pelo ponto (3, -1) e é paralela á
reta r : 2 x  3 y  6  0 .
Resolução:
Vamos, em princípio, encontrar a
inclinação da reta r escrevendo sua
equação reduzida:
2x  3y  6  0
3 y   2 x  6
3y  2x  6
2x  6
y
3
2
y  x2
3
2
assim, concluímos que mr  . Como
3
mr  ms pois s deve ser paralela a r, já
conhecemos a inclinação de s e um de
seus pontos. Usaremos agora o mesmo
princípio visto nos exemplos 3 e 4 das
páginas 145 e 146:
ms 
2  3  3   1  c  0
63c 0
9c 0
c  9
por fim, substituímos c  9 na primeira
linha a fim de encontrarmos a equação e
fica s : 2 x  3 y  9  0 .
37) Determinar a equação da reta s que
contém P(-5, 4) e é paralela à reta de
 x  3t
equações paramétricas r : 
 y  2  5t
y  yp
x  xp
2 y   1

3
x 3
2x  6  3y  3
2x  3y  9  0
daí,
a
equação
s : 2x  3y  9  0 .
procurada
é
Obs.: Existe uma outra forma de resolver
esta questão e partiremos da ideia de que
duas retas paralelas, quando escritas na
forma geral ( ax  by  c  0 ) possuem os
coeficientes a e b iguais diferenciando
apenas o coeficiente c caso não sejam
coincidentes. Daí substituímos as
coordenadas do ponto P em r deixando c
como incógnita, observe:
MATEMÁTICA III
27
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
38) Determinar a equação da reta que
passa por P(-5, 2) e é paralela à reta
4
1 6
3
definida por A  ,  e B  ,   .
5
2 5
2
CÁSSIO VIDIGAL
39) Determinar a equação da reta que
passa pelo ponto de intersecção das
retas r e t e é paralela à reta s. Dados:
r:
28
 x  3t
x y
  1, s : 
2 2
 y  2  3t
e t : 3 x  4y  0 .
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
40) Dois lados de um paralelogramo
ABCD estão contidos nas retas r : y  2x
e s : x  2y . Dado o vértice A(5, 4) ,
determine os vértices B, C e D.
CONDIÇÃO DE
PERPENDICULARISMO
Duas
retas
r
e
s
são
perpendiculares entre si se, e somente
se, o produto de seus coeficientes
angulares for igual a -1.
r  s  m r  ms  1
Demonstração:
Conforme o caso, das figuras acima,
tiramos:


 2  1  ou 1   2 
2
2
Pois o ângulo externo é igual a soma dos
ângulos externos não adjacentes,
lembra-se?
Então:
 2  1 

2


tg  2  tg  1  
2

tg 2  cot g  1 
tg 2  
1
tg1
tg 2  tg1  1
mr  ms  1  r  s
Observação:
Existem duas formas práticas de
determinar
se
duas
retas
são
perpendiculares:
MATEMÁTICA III
29
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
1. A partir de suas equações reduzidas
r : y  mr x  br e s : y  ms x  bs , as
retas r e s serão perpendiculares se:
mr  
Assim, a equação
s : 2 x  3 y  15  0
1
ms
s : as x  bs y  cs  0 , as retas r e s
serão perpendiculares se:
 1 
M  , 4
 2 
Agora calculamos a inclinação da
reta que passa por A e B.
26
4
4
mAB 

 mAB  
3   4  7
7
ar as  br bs  0
Ex.1:
Verificar
se
as
retas
r : 3 x  2y  1  0 e s : 4 x  6 y  3  0 são
perpendiculares.
A
inclinação
da
reta
r,
perpendicular àquela determinada por A
e B pode ser encontrada a partir de
1
mr  
, assim:
mAB
1 7
mr  

4
4
7
Resolução:
ar
3
 
br
2
3 2
     1
a
2 3
4 2
ms   s  

bs
6 3 
mr  
Por fim, vamos escrever a
equação da reta r que passa por
7
 1 
M   , 4  e tem inclinação mr  :
4
 2 
7
y 4

4
 1
x  
 2
7
7 x   4 y  16
2
49
7 x  4y 
0
2
logo, as retas r e s são perpendiculares.
Ex.2: Escreva a equação da reta s que
passa pelo ponto (6, -1) e é perpendicular
à reta r : 3 x  2y  1  0 .
ms  
ms  
1
mr
1
3
2

ms 
y 1 2

x 6 3
14 x  8 y  49  0
3 y  3  2 x  12
2
3
CÁSSIO VIDIGAL
é
Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do
segmento AB onde A = (3, 2) e
B = (-4, 6)?
Resolução:
Primeiramente vamos encontrar o
ponto médio do segmento AB.
26
3   4 
1
yM 
4
xM 

2
2
2
2. A partir de suas equações gerais
r : ar x  br y  cr  0
e
Resolução:
a
3
mr   r  
br
2
procurada
2 x  3 y  15  0
30
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) P(2, 6) e r : 2 x  y  3  0
41) Mostre que as retas r :
s:
x y
 1 e
7 9
x y
 são perpendiculares.
9 7
c) P(1, 4) e r : x  y  1  0
42) Determinar a equação da reta que
passa pelo ponto P e é perpendicular à
reta r em cada caso:
a) P(-3, 2) e r : 3 x  4 y  4  0
MATEMÁTICA III
31
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
d) P(3, 5) e r : y  4  0
44) Determinar a projeção ortogonal do
 x  2t
ponto P(-7, 15) sobre a reta r : 
.
 y  3t
43) Dadas as retas r : p x  py  p  0 e
2
s : 3 x   p  1 y  7  0 , determine p de
forma que r e s sejam perpendiculares.
CÁSSIO VIDIGAL
32
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
45) Determinar a projeção do ponto
P(3, 2) sobre a reta r : x  y  1  0 .
46) Determinar o ponto Q, simétrico de
em
relação
á
reta
P  3, 2
r: x + y – 1 = 0.
MATEMÁTICA III
33
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
ÂNGULO FORMADO POR DUAS
RETAS
Ex.: Determinar o ângulo agudo formado
entre as retas r : y  4  3  x  5  e
Consideremos
duas
retas
concorrentes r e s, oblíquas aos eixos
coordenados e não perpendiculares
entre si, de coeficientes mr e ms
respectivamente. A tangente do ângulo 
formado entre elas pode ser encontrada
a partir de mr e ms.
s : 2x  y  7  0 .
Resolução
r : y  4  3  x  5
y  4  3 x  15
y  3 x  11
mr  3
  
  
tg 
tg  tg    
tg 
s : 2x  y  7  0
3   2 
1  3   2 
y  2 x  7
ms  2

5
5
tg  1    45º
tg  tg 
1  tg  tg 
Observação: As retas r e s deste exemplo
formam dois ângulos: um de 45 e outro
de 135º. Pense nisso e justifique a
presença do módulo na fórmula a que
chegamos na coluna ao lado.
mr  ms
tg 
1  mr  ms
Observações:
1. Se r e s forem paralelas, mr = ms
e  = 0.
2. Se r e s são perpendiculares,
mrms = -1 e  = 90º.
3. Se uma das retas for vertical,
temos:
47) Determinar o ângulo agudo formado
r : y  4x  6
entre
as
retas
e
1
s : y  3    x  5 .
4
    90º
  90º 
tg  tg  90º  
tg  cotg
CÁSSIO VIDIGAL
tg 
1
tg
tg 
1
ms
34
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
48) Determinar a tangente do ângulo
agudo formado pelas retas r: y = 7 e
s:2x – 3y + 5 = 0.
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E
RETA
Sabemos que calcular a distância
entre um ponto P e uma reta r é, na
verdade, encontrar a MENOR distância
entre P e r e isto pode ser feito
encontrando-se a distância de P até sua
projeção ortogonal P’ em r.
Uma outra forma de encontrar tal
distância é aplicando uma fórmula de
demonstração não tão simples a ponto de
não caber neste curso mas que pode ficar
como pesquisa para interessados.
Dados um ponto P(xP, yP) e uma
reta r: ax + by + c = 0, a distância entre P
e r pode ser encontrada a partir de:
49) Determinar a equação da reta que
passa pelo ponto P(2, 1) e forma um
ângulo de 45º com a reta de equação y
dPr 
axP  by P  c
a2  b2
= 5x + 3.
Ex.1: Determinar a distância entre o
ponto P(3, -1) e a reta r : x  2y  4  0 .
Resolução:
3  2   1  4
3
3 5
dPr 


2
2
5
5
1 2
Assim, a distância procurada é
3 5
u. c.
5
Ex.2: Encontrar a distância ente as retas
r : 2 x  3 y  10  0 e s : 2 x  3 y  6  0 .
Resolução:
Se r e s são duas retas paralelas,
então a distância entre elas é igual à
distância entre um ponto e r e a reta s,
MATEMÁTICA III
35
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
b) P(1, -5) e r: 3x – 4y – 2 = 0
assim, vamos encontrar um ponto
qualquer de r e achar a distância deste
ponto até s.
Determinando um ponto de r:
Fazendo, arbitrariamente, x = -1, temos
2   1  3 y  10  0
3 y  12  0
3 y  12
y 4
P ( 1, 4)
Agora vamos, aplicando a fórmula,
calcular a distância de P ( 1, 4) à reta
s : 2x  3y  6  0 :
dPr 
2   1  3  4  6
22  32

4
13

Logo, a distância procurada é
c) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0
4 13
13
4 13
u. c.
13
50) Nos seguintes casos, calcule a
distância de P e r:
a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + 1 = 0
d) P(6, 4) e r: y – 2 = 0
CÁSSIO VIDIGAL
36
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
51) Sendo P a intersecção a reta
r: x + y – 4 = 0 e o eixo das abscissas e s
a reta de equação 3x – 4y + 10 = 0,
determine a distância entre P e s.
MATEMÁTICA III
52) Determine a distância entre as retas
paralelas r : 4 x  3 y  9  0 e
s : 4 x  3y  6  0 .
37
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
53) Determine k sabendo que a distância
entre o ponto P(0, k) e a reta
r : 4 x  3 y  2  0 é 2,
55) Qual a distância do ponto A(8, 7) à
reta determinada pelos pontos B(7, -2) e
C(-2, 3)?
54) Se a distância de P(k, 2) à reta
r : 3 x  4 y  40  0 é 4 unidades, qual o
valor de k?
CÁSSIO VIDIGAL
38
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
r : 5 x  3y  7  0 ,
57)
As
retas
s : x  4 y  17  0 e t : 3 x  11y  23  0
são suportes dos lados de um triângulo.
Determine a altura relativa ao lado
definido pela reta t.
56) Os pontos A(1, -2), B(9, 3) e
C(-1, 4) são vértices de um triângulo.
Quanto mede a altura relativa ao lado
BC?
MATEMÁTICA III
39
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
58) Calcule a área do ABC definido
pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4).
ÁREA DA REGIÃO
TRIANGULAR
(Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto
A à reta BC de altura e, a seguir, faça S = b x h)
No último tópico da apostila
anterior vimos que o determinante
x1 y1 1
x 2 y 2 1 é igual a zero se, e somente
x3 y3 1
se, os pontos A(x1, y1 ) , B(x 2 , y 2 ) e
C(x 3 , y 3 ) estão alinhados. Caso estes
pontos não estejam alinhados, eles
formarão os vértices de um triângulo e
esse mesmo determinante ajudará a
encontrar a área deste triângulo.
Chamando de D o determinante
acima e de S a área do triângulos de
vértices A, B e C temos que:
x1
y1 1
D  x2
y2 1
x3
y3 1
e
S
1
D
2
Ex.: Calcule a área do ABC definido
pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4).
Resolução:
1 2 1
D  9 3 1   58
1 4 1
1
 58  29
2
Assim, a área do ABC é 29 u. a.
S
CÁSSIO VIDIGAL
40
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
61) As retas suporte dos lados de um
triângulo,
tem
como
equações
r : y 5  0,
s : x  2y  1  0
e
t : x  2y  7  0 . Calcule a área deste
triângulo.
59) Calcule a área do triângulo que tem
como vértices, os pontos A(4, 0), B(-1, 1)
e C(-3, 3).
60) Um triângulo com vértices nos pontos
A(5, 3), B(4, 2) e C(2, k) tem área igual a
8. Calcule k.
MATEMÁTICA III
41
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
62) Sabendo que os pontos A(m, m),
B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um
triângulo, determine sua área em função
de m.
CÁSSIO VIDIGAL
63) Calcule a área do quadrilátero
definido pelos pontos A(-2, -1), B(2, -2)
C(-1, 4) e D(11, 5).
42
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Para resolver as questões a seguir, você
deve utilizar todo o conhecimento
adquirido nesta apostila e na anterior.
Não fique preso a um único tópico.
65) Sendo A, B e C os vértices que um
triângulo e M, N e P os pontos médios de
cada lado, determine a razão entre as
áreas dos triângulos ABC e MNP.
64) Mostre que o segmento que une os
pontos médios de dois lados de um
triângulo:
a) é paralelo ao terceiro lado.
b) tem comprimento igual à metade do
comprimento do terceiro lado.
MATEMÁTICA III
43
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
RESPOSTAS
01)
AB: 3x – y = 0; BC: x + y – 4 = 0; e
AC: y = 0
02)
x–y–1=0
03)
3b + 4a – ab = 0
04)
2p + 3q = 0
05)
x + y – (a + b + c) = 0
06)
Gr
07)

15)
2x + y + 2 = 0
16)
y
17)
6x – 4y + 7 = 0
18)
AB: y = x + 6
BC: y = –x – 6
19)
18 u. a.
20)
y=3x+4
21)
x y
 1
3 5
22)
1
x
; y   2
5
5
08)
m
09)
y  3 x  2
10)
BeC
11)
y  3x  6 3
12)
y
13)
2
x e 2x 7 y  0
7
3
Coef. Angular 
4
Coef. Linear: 3
CÁSSIO VIDIGAL
44
3
5
14)
3
x
2
a)3x – 3y + 6 = 0
b) x – 2y – 2 = 0
c) 3x + 2y + 4 = 0
23)
4

 0,  
3

24)
x
y

1
13 26
5
25)
(3, 2)
26)
(1, 1)
27)
A(0, 0); B(4, 3); e C(3, 4)
28)
(demonstração)
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
29)
C  AC  xC  2yC  3  0
C  xC , yC   
C  BC  xC  yC  0
C  xC , yC   C 1,1
Resolução:
Em princípio vamos obter a
intersecção entre r e s:
x  2 y  0
  x4e y2

x  2 y  8  0
Perímetro:
d AB  d AC  d BC 
Vamos agora verificar se P(4, 2)
pertence à reta t:
1  k  x  2 1  k  y  8  0
 32  02  22  12  12  12 
3 2  5
1  k   4  2 1  k   2  8  0
4  4k  4  4k  8  0
35)
0  0, k 
3
2
30)
k  2 ou k  
31)
(Demonstração)
32)
a  7 e a
33)
a) y  4 x  6
3
b) y   x  8
2
c) y   x
2
17
d) y  x 
5
5
e) y  2
f) x  2
34)
res
ret
reu
rev
rez
set
seu
sev
sez
teu
tev
tez
uev
uez
vez
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Concorrentes
Paralelas distintas
Concorrentes
Concorrentes
Paralelas coincidentes
Concorrentes
Concorrentes
Paralelas distintas
Concorrentes
Concorrentes
Concorrentes
Paralelas distintas
Concorrentes
Concorrentes
Concorrentes
36)
Você deve vericar que as retas
são coincidentes.
37)
s: 5x + 3y + 13 = 0
38)
2x + y + 8 = 0
39)
 A  OX  y A  0
A  xA, y A   
 A  AC  x A  2y A  3  0 40)
A  x A , y A   A  3,0 
41)
x – y – 14 = 0
Resolução:
42)
B  OY  xB  0
B  xB , y B   
B  BC  xB  y B  0
B  xB , y B   B  0,0 
MATEMÁTICA III
45
B(4, 2) , C(0, 0) e D(1, 2)
Demonstração
a)
b)
c)
d)
4 x  3 y  15  0
x  2y  14  0
x  y 5  0
x 3  0
GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA
1
4
43)
p
44)
 62 93 
P ' ,

 13 13 
59)
4
60)
-16 ou 16
61)
84,5
45)
P '  2, 3 
62)
m2
46)
Q  1, 4 
63)
48
47)
90º
64)
Demonstração
48)
2
3
65)
Demostração
49)
y 
50)
4
3
51)
52)
53)
54)
3
2
1
x4 e y  x
2
3
3
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE,
Atica, 2005.
c) 2 5
IEZZI,
d) 2
Gelson
e
outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
22
5
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
1977.
8
3
Links dos
apostila:
52
ou 4
3
55)
43 106
53
56)
58 89
89
57)
23 130
65
58)
29
CÁSSIO VIDIGAL
Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
a) 2
21
b)
5
4 ou 
Luiz
vídeos
sugeridos
nesta
Pág. 06
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac
ao-geral-de-reta/
Pág. 10
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equac
ao-reduzida-da-reta/
Pág.
46
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
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