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Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR3. Interpretaç˜ao

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Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR3. Interpretaç˜ao
0
Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR3 .
Interpretação geométrica do determinante
0.1
Produto vectorial em IR3
3
Comecemos por
o que
 recordar

 é0 oproduto vectorial de dois vectores em IR . Dados dois
x
x
vectores x =  y  e x0 =  y 0 , em IR3 , define-se o produto vectorial x × x0 , de x por
z
z0
0
x , como sendo o seguinte vector de IR3 :
x × x0
def
=
(yz 0 − y 0 z) i + (zx0 − z 0 x) j + (xy 0 − x0 y) k
(0.1.1)
O produto vectorial x × y, pode ser obtido desenvolvendo segundo a primeira linha, o determinante formal:


i j k
x × y = det  x y z 
x0 y 0 z 0
A seguir indicam-se as propriedades mais importantes deste produto vectorial, todas elas de
demonstração simples (que deve ser feita como exercı́cio).
• O produto vectorial é bilinear:
(x + y) × z = x × z + y × z
x × (y + z) = x × y + x × z
λ x × y = x × λ y = λ (x × y),
λ ∈ IR, x, y, z ∈ IR3
(0.1.2)
• O produto vectorial é antissimétrico:
x × y = −y × x
(0.1.3)
• Além disso, se x ∈ IR3 e y ∈ IR3 , são ambos não nulos, então:
1. x × y é perpendicular a x e a y, i.e.:
(x × y) · x = 0 = (x × y) · y
(0.1.4)
Se x e y são linearmente independentes, x × y é perpendicular ao plano gerado por
x e y.
2.
kx × yk = kxkkyk sin θ
(0.1.5)
onde θ é o ângulo entre x e y. Portanto, kx × yk é igual à área do paralelogramo
cujos lados adjacentes são x e y.
3. x × y = 0
⇔
x e y são linearmente dependentes.
0.2. Produto misto (ou triplo) em IR3
1
4. O produto vectorial não é associativo. De facto:
(x × y) × z = (x · z)y − (y · z)x
(0.1.6)
x × (y × z) = (x · z)y − (x · y)z
(0.1.7)
enquanto que:


 0 
x
x
Em particular, se consideramos o paralelogramo de lados adjacentes x =  y  e x0 =  y 0 ,
0
0
contido no plano z = 0, vemos que a respectiva área é dada por:
¯

¯
¯
¯
i
j
k
¯
¯
0
¯


x y 0 ¯¯
kx × x k = ¯det
¯
x0 y 0 0 ¯
¯
·
¸¯
¯
x y ¯¯
= ¯¯det
x0 y 0 ¯
= xy 0 − x0 y
= área do paralelogramo gerado por x e x0
(0.1.8)
Uma equação (cartesiana) para o plano vectorial spanIR {u, v}, gerado por dois vectores
u, v ∈ IR3 − {0}, linearmente independentes, é:
(u × v) · x = 0
0.2
(0.1.9)
Produto misto (ou triplo) em IR3
Definamos agora, ainda em IR3 , o chamado produto misto (ou triplo).
Dados três vectores x, y, z em IR3 , define-se o produto misto (ou triplo) [x, y, z], de x, y
e z (por esta ordem), através de:
[x, y, z] ≡ x · (y × z)
(0.2.1)
É fácil ver que [x, y, z] é dado por:
[x, y, z] = det [x y

x1

= det x2
x3
z]

y1 z1
y2 z2 
y3 z3
(0.2.2)
Eis algumas propriedades do produto triplo:
• São válidas as igualdades seguintes, que se deduzem das propriedades sobre determinantes:
[x, y, z] = [y, z, x] = [z, x, y] = −[y, x, z]
= −[x, z, y] = −[z, y, x]
(0.2.3)
2
• O volume vol (x, y, z), do paralelipı́pedo de lados adjacentes x, y, z ∈ IR3 , é igual ao módulo
do produto misto:
vol (x, y, z) = |[x, y, z]|
(0.2.4)
Com efeito, o volume de um paralelipı́pedo é igual ao produto da área da base pela sua
altura. A base é o paralelogramo de lados adjacentes x e y, e por isso, a sua área é kx×yk.
A altura é igual à norma da projecção de z sobre um vector perpendicular à base. Mas
x × y é perpendicular à base, e, portanto, a projecção de z sobre x × y, é igual a:
z · (x × y)
(x × y)
kx × yk2
(0.2.5)
donde se deduz fàcilmente o resultado.
Quando x1 , x2 e x3 são linearmente independentes, de tal forma que:
det [x1 x2 x3 ] 6= 0
dizemos que a base ordenada {x1 , x2 , x3 } é positiva se det [x1 x2 x3 ] > 0, e negativa se
det [x1 x2 x3 ] < 0.
0.3
Interpretação geométrica do det A
Consideremos agora uma aplicação linear A : IR3 → IR3 . A imagem do cubo Q ⊂ IR3 , gerado
pelos vectores da base canónica (que é positiva) {e1 , e2 , e3 }:
Q = {ae1 + be2 + ce3 : 0 ≤ a, b, c ≤ 1}
é o paralelipı́pedo A(Q), de lados adjacentes A(e1 ), A(e2 ) e A(e3 ).
 1 
 1 
a1
a2
2
1
2
3
1
2
3



a1 , A(e2 ) = a2 e1 + a2 e2 + a2 e3 =
a22 , e
Pondo A(e1 ) = a1 e1 + a1 e2 + a1 e3 =
3
a1
a32
 1 
a3
A(e3 ) = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 =  a23  sabemos que o volume deste paralelipı́pedo é igual a:
a33
vol A(Q) = |[A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )]|
= |det [A(e1 )
¯
 1
¯
a1
¯
= ¯¯det  a21
¯
a31
= |det A|
A(e2 ) A(e3 )]|
¯
a12 a13 ¯¯
a22 a23 ¯¯
a32 a33 ¯
(0.3.1)
Portanto:
vol A(Q) = |det A|
(0.3.2)
Mais geralmente, se P é um paralelipı́pedo gerado pelos vectores x, y e z, então a imagem
A(P) é o paralelipı́pedo gerado por A(x), A(y) e A(z), e é fácil provar que o volume dessa
imagem é igual a:
vol A(P) = |[A(x), A(y), A(z)]|
= |det [A(x) A(y) A(z)]|
= |det A| vol (P)
(0.3.3)
0.3. Interpretação geométrica do det A
3
Em particular, se os vectores x, y e z são linearmente independentes, de tal forma que vol P =
6 0,
então:
vol A(P)
|det A| =
(0.3.4)
vol P
Diz-se que uma aplicação linear inversı́vel A : IR3 → IR3 preserva a orientação (ou é
positiva) se det A > 0, e que inverte a orientação (ou é negativa) se det A < 0.
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