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Exercícios resolvidos | Capítulo 4

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Exercícios resolvidos | Capítulo 4
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO
Taxa Proporcional ou equivalente (juros simples) i2 
i1
k
Taxas Equivalentes (juros compostos)
1  ia   1  is 
2
 1  iq   1  it   1  ib   1  im   1  id 
3
4
6
12
360
Taxa Efetiva e Nominal
 in k 
in
iep  ao período de capitalização ; ie  1    1 ao periodo da taxa nominal
k
 k 

Taxa Real e Taxa Aparente 1  i   1  ir   1  I 
 S1 C 
 ˆ ˆ 
I I0 
ir   1
ao período de investimento
C
Iˆ0
du
Taxa Over
 over 
ie  1 
 1
30 

 over 
ao período ; S  C 1  ie   C 1 

30 

du
4.9 — Exercícios Propostos1
1) Considerando a taxa de 45%a.a., calcule as respectivas taxas equivalentes, nos
regimes de juros simples e compostos, relativas aos seguintes períodos:
a) Dia.
b) Mês.
c) Bimestre.
d) Trimestre.
e) Quadrimestre.
f) Semestre.
Solução
a) Taxa Diária – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao dia
i 0, 45
i2  1 
 0, 00125 ou 0,125%a.d .
k 360
Taxa Diária – Juros Compostos – ia ao ano e id ao dia
1  ia   1  id 
360
1
1
 id  1  ia  360  1  1, 45 360  1  0,001033 ou 0,1033%a.d .
1
Salvo menção em contrário considerar anos comerciais de 360 dias, com 12 meses de 30 dias, e regime
de juros compostos.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
b) Taxa Mensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao mês
i1 0, 45

 0, 0375 ou 3, 75%a.m.
k
12
Taxa Mensal – Juros Compostos – ia ao ano e im ao mês
i2 
1  ia   1  im 
12
1
1
 im  1  ia 12  1  1, 4512  1  0,031448 ou 3,1448%a.m.
c) Taxa Bimensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao bimestre;
i1 0, 45

 0, 075 ou 7,50%a.b.
k
6
Taxa Bimensal – Juros Compostos – ia ao ano e ib ao bimestre;
i2 
1  ia   1  ib 
6
1
1
 ib  1  ia  6  1  1, 45 6  1  0,063885 ou 6,3885%a.b.
d) Taxa Trimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao trimestre;
i1 0, 45

 0,1125 ou 11, 25%a.t.
k
4
Taxa Trimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao trimestre;
i2 
1
1
1  ia   1  it   it  1  ia  4  1  1, 45 4  1  0,097342 ou 9,7342%a.t.
4
e) Taxa Quadrimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao quadrimestre;
i1 0, 45

 0,15 ou 15, 00%a.q.
k
3
Taxa Quadrimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre;
i2 
1  ia   1  iq 
3
1
1
 iq  1  ia  3  1  1, 45 3  1  0,131851 ou 13,1851%a.q.
f) Taxa Semestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao semestre;
i1 0, 45

 0, 225 ou 22,50%a.s.
k
2
Taxa Semestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre;
i2 
1  ia   1  is 
2
1
1
 is  1  ia  2  1  1, 45 2  1  0, 204159 ou 20, 4159%a.s.
2) Considerando a taxa nominal de 36%a.a.c.m, calcule as correspondentes taxas
efetivas.
a) Mensal.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
b) Bimensal.
c) Trimestral
d) Quadrimestral
e) Semestral
f) Anual
Solução
a) Mensal
A taxa efetiva mensal é ie 
0, 36
 0, 03 ou 3, 00%a.m.
12
b) Bimensal
2
 0, 36 
A taxa efetiva bimensal é ie  1 
  1  0, 0609 ou 6, 09%a.b.
12 

c) Trimestral
3
 0, 36 
A taxa efetiva trimestral é ie  1 
  1  0, 092727 ou 9, 2727%a.t.
12 

d) Quadrimestral
4
 0, 36 
A taxa efetiva quadrimestral é ie  1 
  1  0,125509 ou 12, 5509%a.q.
12 

e) Semestral
6
 0, 36 
A taxa efetiva semestral é ie  1 
  1  0,194052 ou 19, 4052%a.s.
12 

f) Anual
12
 0, 36 
A taxa efetiva Anual é ie  1 
  1  0, 425761 ou 42, 5761%a.a.
12 

3) Qual a taxa nominal anual capitalizada mensalmente, em termos aparentes e em
termos reais, que transformou um capital inicial de R$ 10.000,00 em um montante
de R$ 11.886,86, no período de 7 meses, se a taxa mensal de inflação, nos
primeiros 3 meses, tiver sido de 0,6%, passando a 0,9% nos últimos 4 meses?
Solução
Em termos aparentes, ou seja, sem levar em conta a inflação, tem-se
7
i 
i 


ie  1  n   1  S7  C 1  n 
 12 
 12 
7
1
7


7
in 
11886
,
86





11886,86  10000 1    in  
  1 12  0, 3 ou 30%a.a.c.m.

12
10000






Em termos reais, temos que, a preços da data de aplicação, o montante recebido foi de
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
11886,86
1  0, 006  . 1  0, 009 
3
4
 R$11.264, 41 .
Logo, a taxa nominal com capitalização mensal, em termos reais, será a taxa in , tal que:
1


7
11264,
41


 12  0, 205854 ou 20,5854%a.a.c.m.
in  

1
 10000 



4) Qual o número de meses para que uma taxa nominal de 30% a.a.c.b. dobre o
capital inicial?
Solução
0,3
ie 
 0, 05a.b. ou 5%a.b.
6
S  C 1  ie 
n
b
 2C  C 1  0, 05 
nb  LN(1, 05)  LN(2)  nb 
n
b
 2  1  0, 05 
n
b
LN(2)
 14, 2067 bimestres
LN(1, 05)
Se estivermos tratando de uma aplicação com capitalizações descontinuas, o
número de bimestres necessários para dobrar o capital é igual a 15; já que os juros
só são formados ao final de cada período (bimestre). Isto significa dizer que serão
necessários 30 meses.
Por outro lado, se for adotada a convenção exponencial, serão necessários
somente 14,2067 bimestres ou 28,4134 meses.
5) Qual o total de juros acumulado, ao final de 8 anos, de uma aplicação de
R$ 250.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.c.s.?
Solução
0, 05
 0, 025a.s. ou 2,5%a.s.
2
n
16
J n  C 1  ie  s  1  250000 1  0, 025   1  R$ 121.126, 41




ie 
6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 160 dias
resgatou R$ 1.000.000,00 brutos.
a) Qual foi a taxa anual com capitalização diária auferida pelo investidor, se não houver
tributação?
b) Qual foi a taxa nominal anual com capitalização diária, que representa a taxa líquida da
operação, se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações financeiras for
aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente (sem desembolso adicional e
com desembolso adicional para o IOF) e postecipadamente?
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
c) Tendo sido constatado que, por ocasião do resgate, a taxa de inflação no período foi
de 5,55%, qual a taxa líquida, em termos reais e expressa como taxa nominal anual
com capitalização mensal, que foi efetivamente auferida pelo investidor, se os juros
contábeis forem tributados à alíquota de 8%?
Solução
a) Sendo id a taxa efetiva diária, tem-se:
Snd  C 1  id  d  1000000  750000 1  id 
n
160
1
 1000000 160
id  
  1  0, 0017996a.d .
 750000 
in  360  0, 0017996  0, 647867 ou 64, 7867% a.a.c.d .
b) IOF Antecipado (com pagamento adicional do IOF)
S nd  C  J  J  S nd  C  1000000  750000  250000
T  t  J  0,10  250000  25000
S nlíquido
 S nd  1000000
d
1
1
 S nlíquido
 nd
 1000000 160
id   d   1  id  
  1  0, 001594 ou 0,1594%a.d .
 C T 
775000




in  360  0, 001594  0,573965 ou 57,3965%a.a.c.d .
IOF Antecipado (sem pagamento adicional do IOF)
Alternativamente, se o investidor dispuser somente de R$ 750.000,00, então este valor
deverá ser utilizado para fazer o investimento e pagar antecipadamente o IOF. Logo
750000  C  T .
Como
T  0,1 S  C   0,11000000  C   100000  0,1C
então
750000  C  100000  0,1C  0,9C  650000  C 
650000
 R$ 722.222, 22
0,9
T  100000  0,1 722222, 22  R$ 27.777, 78
Assim, considerando o desembolso total de R$ 750.000,00,
1
 1000000 160
id  
  1  0, 0017996a.d .
 750000 
in  360  0, 0017996  0, 647867 ou 64, 7867%a.a.c.d
Vale notar que este resultado é idêntico ao do item a.
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
IOF Postecipado
S nd  C  J  J  S nd  C  1000000  750000  250000
T  t  J  0,10  250000  25000
S nlíquido
 S nd  T  1000000  25000  975000
d
1
1
 Snlíquido
 nd
 975000 160
d
id  
1  i  

  1  0, 001641 ou 0,1641%a.d .
 C 
 750000 


in  360  0, 001641  0,590804 ou 59, 0804%a.a.c.d .
c) Utilizaremos a notação Snlíquido
para representar o valor líquido corrente
d , nd
recebido na data nd e Snlíquido
para representar o valor líquido real a preços da
d ,0
data da aplicação (época 0).
A preços correntes (aparentes), o valor líquido de resgate foi:
Snlíquido
 Snd ,nd  T  1000000  0,08 1000000  750000  R$ 980.000,00
d , nd
Tendo em vista a taxa de inflação observada no período, o valor líquido real de
resgate, a preços da data da aplicação, foi:
S
líquido
nd ,0

Snlíquido
d , nd
1  I 

980000
 R$ 928.909,95
1  0, 055
Logo, em termos reais, a taxa diária líquida foi:
1
 928909,95 160
i 
  1  0, 001338 ou 0,1338%a.d .
 750000 
Portanto, em termos reais, a taxa mensal líquida foi:
r
d
imr  1  idr   1  1  0, 001338  1  0, 040929 ou 4, 0929%a.m.
30
30
Levando, em termos reais, a uma taxa líquida nominal anual com capitalização
mensal, auferida de:
inr  12  imr  12  4,0929  49,1148%a.a.c.m.
7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 5.000,00, com prazo de 4 meses, à taxa
de juros compostos de 12% a.a.c.m., se for pago imposto de renda, com a alíquota de10%
incidindo sobre os juros, no resgate da aplicação?
Solução
i
0,12
ie  n 
 0, 01a.m. ou 1%a.m.
k
12
n
Sn  C  (1  i ) n e J n  C 1  i   1


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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Sn  Sn  T  Sn  t  J n
n
4
J 4  C 1  i   1  J 4  5000 1  0, 01  1  203, 02




S4  C  J 4  5000  203, 02  5203, 02
S4  S4  t  J  5203, 02  0,1 203, 02  R$ 5.182, 72
8) Delfina aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros de 12% a.a.c.b., pelo prazo de 50 meses.
Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 12% a.a.c.m.,
referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de
R$ 16.430,20. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das
taxas , considerando a Convenção Exponencial?
Solução
n
, J n  C 1  i   1 , 2n1  n2  50


12%
12%
i1 
 2%a.b. e i2 
 1%a.m.
6
12
n
n
S50  100000  1  i1  1   1  i2  2   16430, 20 ;  n1 em bimestres e n2 em meses 

 

n1
50  2 n1
  10000  1, 02 n1  1, 0150 2 n1
16430, 20  10000  1  0, 02    1  0, 01

 

S n  C  (1  i ) n
1, 02   1, 01
n1
50  2 n1
 1, 64302
Logo
 1, 64302  LN 1, 64302   LN  1, 02   1, 01
1, 02   1, 01
LN 1, 64302   n1 LN 1, 02    50  2n1  LN 1, 01
0, 496536  0, 0198026n1  50  0, 00995033   2  0, 00995033 n1
n1
50  2 n1
n1
50  2 n1

0, 496536  0, 000098n1  0, 4975166
0, 000098n1  0, 000980
n1 
0, 000980
 10 bimestres  20meses  n2  30 meses
0, 000098
9) Uma pessoa realizou dois investimentos com o mesmo capital inicial em duas
instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo taxas de juros de 12% a.a.c.s e
24%a.a.c.m., respectivamente. Sabendo-se que os prazos das duas aplicações
foram idênticos e que os montantes obtidos foram respectivamente R$ 13.382,26
e R$ 18.113,62 , quais foram o capital e o prazo das duas aplicações?
Solução
i
i
0,12
0, 24
ie1  n1 
 0, 06 ou 6%a.s. e ie 2  n 2 
 0, 02 ou 2%a.m.
k1
2
k2
12
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
S  C 1  i 
n
n2  6n1
;
;
 n1 em semestres e n2 em meses 
S n1  C 1  0, 06  1  13382, 26  C  1, 06  1  C 
n
n
S n2  C 1  0, 02  2  18113, 62  C  1, 02 
n
13382, 26
1, 06  1

18113, 62
1, 02  1
n
1, 06  1

0, 7387955 
6n
1, 02  1
n
6n
C 
1, 06  1
n
18113, 62
1, 02 
6 n1
1
13382, 26 1, 06 


18113, 62 1, 02 6 n1
n
1, 06  1
 0, 7387955 
n1
1, 02 6 


n
1, 06  1
n
0, 7387955 
6 n1
13382, 26
1,126162  1
n
 1, 06 
 0, 7387955  

 1,126162 
n1
0, 7387955  0,94125n1  LN  0, 7387955   n1 LN  0,94125 
n1 
C
LN  0, 7387955 
LN  0,94125 
13382, 26
1, 06 
n1
C 
 5semestres ou 30meses
13382, 26
1, 06 
5
 R$ 10.000, 00
10) Uma aplicação em CDB prefixado rende 36% a.a.c.d. e é taxada pelo Imposto de
Operações Financeiras (IOF) e pelo Imposto de Renda (IR), no recebimento do
rendimento, segundo alíquotas variáveis de acordo com o número de dias da
aplicação. Se você aplicou R$ 100.000,00, qual a taxa efetiva ao ano obtida,
considerando que os impostos incidem, sobre o rendimento obtido, ao final do
prazo de aplicação, se este for de:
a) 20 dias?
b) 30 dias?
Solução
a) 20 dias
A taxa efetiva é dada por:
i
0,36
ie  n 
 0, 001a.d . ou 0,1%a.d .
360 360
O rendimento do investimento inicial, é dado por:
20
20
J  C  1  id   1  100000  1  0,001  1  2019,11




Os impostos serão dados por (vide Tabelas 4.1.e 4.2):
IOF  t IOF  J  0,33  2019,11  666,31
IR  t IR  J  0, 225  2019,11  454,30
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Os montantes bruto e liquido serão:
S20  100000  2019,11  102019,11
líquido
S20
 S20  IR  IOF  102019,11  666,31  454,30  100898,50
Logo a taxa efetiva líquida, ao dia, será:
líquido
S20
 C 1  il   100898,50  100000 1  il 
20
20
1
 100898,50  20
il  
  1  0, 00045 ou 0, 045%a.d .
 100000 
ia  (1  id )360  1  1, 00045360  1  0,17582 ou 17,582a.a.
b) 30 dias
A taxa efetiva é dada por:
i
0,36
ie  n 
 0, 001a.d . ou 0,1%a.d .
360 360
O rendimento do investimento inicial, é dado por:
30
30
J  C  1  id   1  100000  1  0,001  1  3043,91




Os impostos serão dados por(vide Tabelas 4.1.e 4.2):
IOF  t IOF  J  0, 0
IR  t IR  J  0, 225  3043,91  684,88
Os montantes bruto e liquido serão:
S30  100000  3043,91  103043,91
S30líquido  S30  IR  103043,91  684,88  102359, 03
Logo a taxa efetiva líquida, ao dia, será:
S30líquido  C 1  il   102359, 03  100000 1  il 
20
30
1
 102359, 03  30
il  
  1  0, 000778 ou 0, 0778%a.d .
 100000 
ia  (1  id )360  1  1, 000778360  1  0,32286 ou 32, 286%a.a.
11) Pensando nas festas de fim de ano, Thuener pretende aplicar no mercado aberto
R$ 200.000,00 em 04/06 (6ª feira) e R$ 300.000,00 em 06/09 (2ª feira). Se o banco usado
lhe pagará juros composto à taxa over de 12% a.m., qual será o valor que Thuener vai
retirar em 06/12?
(Obs.: considere os feriados os dias 7/set , 12/out, 2/Nov e 15/Nov)
Solução
 over 
ie  1 
 1
30 

ao dia útil
1
 0,12 
ie  1 
  1  0, 004 ou 0, 4%a.du.
30 

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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Os números de dias úteis em cada período são:
Esta tabela foi feita manualmente para calcular o número de dias entre duas datas. Porém,
o Excel dispõe de uma função chamada DIATRABALHOTOTAL que calcula o número de dias
úteis entre duas datas; inclusive aceita como argumentos os feriados. A tabela acima
poderia ter sido feita de uma forma muito mais simples utilizando a planilha a seguir.
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
O único detalhe que deve ser observado é que a data final é a data de vencimento menos
um dia. A razão para tal é que a função considera, inclusive, a data inicial e a data final; o
que nos levaria a uma contagem errada. Uma planilha contendo uma lista com todos os
feriados até o ano de 2078, pode ser obtida no site da Andima no endereço (em
3/1/2011):
http://www.andima.com.br/feriados/feriados.asp
O montante do 1º investimento renderá durante 127 dias úteis e é de:
127
 0,12 
S127  200000 1 

30 

 R$ 332.056,15
O montante do 2º investimento renderá durante 61 dias úteis e é de:
61
 0,12 
S61  300000 1 
  R$ 382.716,98
30 

Logo, em 06/12, Thuener poderá retirar o seguinte total:
S  S127  S61  332056,15  382716,98  R$ 714.773,13
12) Para aplicação de R$ 100.000,00 em um CDB pré-fixado, com prazo de 2 anos, o Banco
Irreal está oferecendo a taxa de 6% a.a. Alternativamente, o Banco Irreal oferece ao
investidor a opção de um CDB pós-fixado, prometendo pagar 98% da taxa do CDI.
Pergunta-se
I.
Se, em ambos os casos, o imposto de renda é cobrado no resgate, à alíquota de 15%,
qual deve ser a estimativa da taxa do CDI, para que um investidor considere,
minimamente, interessante a aplicação no “CDB pós” ?
Se um dado investidor, assessorado por um dos gerentes, seu conhecido, do Banco
Irreal, que lhe fornece a estimativa da taxa de remuneração do CDI, no prazo
considerado de 2 anos, de 6,3% a.a, qual seria a opção mais interessante para a
aplicação de R$ 100.000,00?
Se, no fim do prazo de 2 anos, tiver sido verificado que o CDI acumulou uma taxa de
variação de 12,04%, quanto terá recebido e qual terá sido , em termos aparentes, a
taxa anual de rentabilidade do investidor se este tiver aplicado R$ 100.000,00 em cada
um dos dois tipos de CDB’s?
II.
III.
Solução
I.
Para aplicações do mesmo valor, a condição de indiferença entre as duas modalidades
de CDB’s, no caso em apreço, é:
1, 06  1  0,15  0,15  1  0,986   1  0,15  0,15
2
ou
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
1,1236  1  0,986    0,125355 ou 12,5355% ao bi-ano
onde  é a taxa, relativa ao prazo de 2 anos, do CDI.
II.
III.
Se o gerente “amigo” fornece a estimativa de que a taxa anual do CDI, para o período
de 2 anos, seja de 6,3%, o que implica na taxa bi-anual de (1+0,063)2 – 1 = 0,129969 ou
12,9969%, o investidor seria levado a acreditar que valeria a pena a aplicação no “CDBpós”.
Tendo aplicado R$ 100.000,00 em cada um dos tipos de CDB’s, o investidor teria
recebido, no fim do prazo de 2 anos, o seguinte total:


100000 1  0, 06   1  0,15   0,15  100000 1  0,986  0,1204   1  0,15   0,15
2


2
 100000 1  0, 06   1  0,118714   0,85  0,3  R$ 220.596, 72


Consequentemente, a taxa anual de rentabilidade, em termos aparentes, auferida pelo
investidor seria:
1/2
 220.596, 72 
 200.000, 00 


 1  0, 050230 ou 5, 023% a.a
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