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Gráficos - DFI-UEM

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Gráficos - DFI-UEM
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Prof. Irineu Hibler
1
GRÁFICOS
Os gráficos desempenham na Fı́sica Experimental um papel preponderante. Mais facilmente pelos gráficos do que pelos números pode-se tomar
conhecimento de um determinado fenômeno, verificar a validade de uma
certa lei, etc. Por este motivo impõe-se o estudo dos mesmos.
1.1
Escalas
Iniciaremos o nosso estudo pelas escalas que vêm a ser segmentos de
reta sobre os quais vem marcados pequenos traços e aos quais correspondem
números ordenados. Esses números são chamados argumentos da reta e
representam os possı́veis valores de uma grandeza fı́sica.
Chama-se PASSO de escala, a distância, arbitrária, medida em unidades de comprimento, geralmente em cm, que separa dois traços quaisquer
da escala. Chama-se DEGRAU de escala, a variação da grandeza fı́sica
apresentada na escala correspondente ao passo.
Definimos MÓDULO DA ESCALA, como o valor absoluto da relação
entre passo e o degrau.
P ASSO ME = DEGRAU Espaço disponı́vel no papel milimetrado
ME ≤ Máxima variação entre os valores obs. no laboratório
1.2
.
Gráficos cartesianos
Quando em um determinado fenômeno fı́sico temos a variação de duas
grandezas tal que, para os estados u1 , u2 , u3 , ..., un de uma delas correspondem respectivamente v1 , v2 , v3 , ..., vn da outra, fazemos a utilização de
1
gráficos cartesianos em que os eixos cartesianos são suportes de escalas, convenientemente escolhidas.
Para a confecção de um gráfico cartesiano, como mostraremos em um
exemplo adiante, deve-se proceder do seguinte modo:
1. No papel milimetrado que dispomos, devemos saber o comprimento c
disponı́vel no eixo dos x e qual o comprimento d disponı́vel no eixo dos y.
2. Conhecendo os valores das variáveis que se deseja lançar no gráfico,
determinemos as máximas variações das abcissas e ordenadas, chamando U
e V cada uma dessas variações, portanto:
U = un − u1
e
V = vn − v 1 .
e
3. Os módulos das escalas devem ser tais que:
c
Mu ≤ U
d
Mv ≤ .
V
Os módulos calculados pela relação acima geralmente dão números fracionários. Estes módulos não devem caracterizar a escala, e sim outros,
pouco menores aos obtidos, os quais permitem uma fácil localização das
grandezas a representar.
4. Procedemos a marcação das escalas, mediante sua graduação.
5. Sobre o papel marcamos os pontos: (u1 ; v1 ),..., (un ; vn ), envolvendo-os
por um pequeno cı́rculo.
6. Finalmente procuramos passar uma reta ou curva contı́nua a mais
próxima possı́vel por esses pontos.
1.3
Identificação da variável dependente e a independente.
Para identificar qual a variável que é a independente e que deverá ser
disposta no eixo X, observemos alguns casos:
1) A segunda lei de Newton a qual é representada pela equação F = ma,
está grafada numa forma de fácil memorização. Entretanto se dispomos de
um corpo de massa ( m ), para que ele se mova ou seja freiado, isto é, altere
seu estado de movimento, é condição fundamental que alguma força externa
( F ) atue sobre o corpo.
Então a variável força (F) é a que produz a alteração no movimento do
corpo e produzirá uma aceleração ou desaceleração.
2
Figura 1: Identificação da variável independente na segunda lei de Newton
• F é a variável independente ( eixo X );
• ( a ) aceleração, variável dependente ( eixo Y ), conforme a Fig.(1),
a=(
onde
1
m
1
)F,
m
(1)
é o coeficiente angular.
2) Um circuito composto de um resistor ( R ) e uma fonte de tensão
( V ), Fig.(2-a), no instante que a chave for fechada Fig.(2-b ), os terminais
do resistor estarão submetidos a uma diferença de potencial, resultando no
deslocamento de cargas elétricas no circuito que é denominado de corrente
elétrica. Este evento é representado pela lei de Ohm:
V = R i.
(2)
Figura 2: Circuito elétrico: ( a ) a chave está aberta; ( b ) a chave está
fechada e circula corrente
3
O agente que produzirá o deslocamento das cargas elétricas ( corrente )
será a voltagem ( V ).
• A voltagem ( V ) é a variável independente e deverá ser lançada no
eixo X.
• A corrente ( i ) é a variável dependente e, irá para o eixo Y.
A eq.(2) terá a seguinte forma:
i=
onde
1
R
1
V,
R
(3)
é o coeficiente angular.
Exemplo numérico
Consideremos a experiência de deslocamento de um lı́quido em provetas, quando nas mesmas são introduzidas esferas de diâmetros variáveis,
conforme a tabela(1), onde (V) é o volume do lı́quido deslocado para uma
esfera de diâmetro, (D), isto é : V = f (D).
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V (cm3 )
0,1 ± 0,1
0,2 ± 0,1
0,3 ± 0,1
0,4 ± 0,1
0,4 ± 0,1
0,6 ± 0,1
0,7 ± 0,1
0,9 ± 0,2
1,0 ± 0,2
1,2 ± 0,2
D (cm)
0,595 ± 0,005
0,712 ± 0,005
0,800 ± 0,005
0,871 ± 0,005
0,952 ± 0,005
1,029 ± 0,005
1,110 ± 0,005
1,198 ± 0,005
1,201 ± 0,005
1,347 ± 0,005
Tabela 1: Volume em função do diâmetro das esferas
A folha de papel milimetrado deve ser disposta de forma que o lado maior
corresponda ao eixo das abcissas (D), isto é, a variável independente e, o
menor ao das ordenadas (V), variável dependente. Deixa-se uma margem à
esquerda e abaixo dos respectivos eixos. Dispondo no eixo das abcissas 20
cm e, no eixo das ordenadas 15 cm, as máximas variações observadas, no
laboratório devem estar dentro das limitações impostas ( 20 x 15 cm ) . Os
respectivos módulos de escala serão:
20cm
MD ≤ ≤ 26, 59cm/cm.
(4)
(1, 347 − 0, 595)cm 4
13cm MV ≤ 1, 4cm3 ≤ 9, 20cm/cm3 .
(5)
onde 1,4=( 1,2 + 0,2 ).
Adotemos como módulo de escala no eixo das abcissas MD = 26cm/cm
e no das ordenadas MV = 9cm/cm3 . A posição de cada ponto no papel
milimetrado será dado por:
xi = MD (Di − D1 ),
(6)
yi = MV (Vi − V1 ).
(7)
e
As unidades de xi e yi deste exemplo são em cm. Assim a posição do 1o
ponto a partir da origem será:
x1 = (26
cm
) . (0, 595 − 0, 595)(cm) = 0 cm,
cm
y1 = (9
cm
) . (0, 1 cm3 ) = 0, 9 cm.
cm3
Os erros correspondentes a este 1o ponto serão dados por:
εD = MD . (Erro do instrumento)D ,
εD = (26
cm
). (± 0, 005cm) = ±0, 13 cm
cm
e
εV = MV . (Erro do instrumento)V ,
cm
εV = (9 3 ) . (±0, 1 cm3 ) = ± 0, 9 cm.
cm
De forma análoga, serão calculados os outros pontos e lançados no papel
milimetrado. Observe-se que não é necessário que todas as graduações nos
eixos sejam numeradas; no presente trabalho faremos de 5 em 5 cm. Feita
esta graduação, escreve-se o significado de cada escala, diâmetro em cm e
volume em cm3 . Marcar no fim das escalas os seus módulos. Esta marcação
é dispensável quando se trata de um gráfico de simples verificação de lei ou
quando as graduações das duas escalas são iguais.
Por fim, lança-se no gráfico os pontos, envolvendo-os de um pequeno
circulo. Podemos em seguida traçar uma curva (ou reta) que melhor se
adapte a estes pontos, ver Gráfico(1).
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-5
-4
-3
-2
-1
0
5
MV=9 cm/cm
0
0
3
10
3
V (cm )
15
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
15
D (cm)
20
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
MD=26 cm/cm
10
10
GRÁFICO (01): Volume x Diâmetro
1.4
Linearização de gráficos
Frequentemente nos gráficos de um trabalho experimental é possı́vel prever a natureza da função matemática que une as duas variáveis, ao invés
de traçar uma curva no gráfico, efetua-se uma transformação em uma das
variáveis ou em ambas de tal forma a obter uma reta[1]1 . Este procedimento
é também utilizado quando se deseja verificar experimentalmente uma lei já
conhecida.
Essas transformações podem ser realizadas nas escalas, usando-se escalas
funcionais, as quais são chamadas anamorfoses ou, o que é mais comum
fazer-se alguma operação sobre as variáveis conforme pode-se verificar nos
Gráficos(01),(02) e (03) deste texto.
Os gráficos anamorfoseados possuem uma importância fundamental, pois
dessa forma consegue-se ajustar, mais facilmente, uma reta à pontos alinhados, do que em uma curva nos pontos, ainda mais levando em conta que
os pontos originários de uma determinação experimental não estão rigorosamente sobre uma curva.
As operações devem ser realizadas de tal modo que as duas grandezas,
após as operações, sejam diretamente proporcionais, o que consiste numa
operação contrária à lei.
Vejamos alguns exemplos:
1o Na verificação da lei do pêndulo:– O perı́odo de oscilação de um
pênduloq
simples é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento
(T = k Lg ); neste caso devemos elevar ambos os membros da equação ao
quadrado e teremos no gráfico uma reta. Lançando no eixo dos X, as variações de (L/g) e, para o eixo do Y, o quadrado dos perı́odos.
2o Na verificação da lei de Boyle-Mariotte:– Sob temperatura constante,
os volumes ocupados por uma mesma massa gasosa são inversamente proporcionais às pressões que suportam [V = k( P1 )]; neste caso, devemos fazer
um gráfico tomando para X o inverso das pressões determinadas e, para Y,
os volumes.
1.5
Tipos de ajuste
Como já se disse, os pontos representativos dos estados das grandezas
não estão exatamente sobre uma curva. Impõe-se pois o problema da determinação da curva que melhor se adapte aos pontos do gráfico. Estudaremos
apenas o caso do ajuste de uma reta. O ajustamento de uma reta pode
ser gráfico ou analı́tico. O método gráfico é mais rápido, tendo no entanto
duas desvantagens: primeiro requer habilidade para melhor ajustar a reta
1
O número entre colchetes representa a referência bibliográfica.
6
Figura 3: Determinação gráfica da equação da reta
fazendo uma compensação dos erros e segundo, as determinações que se fazem a partir dessa reta são sempre grosseiras. O ajustamento analı́tico se
faz empregando o processo dos mı́nimos quadrados o qual realiza simultaneamente a compensação dos erros. Vejamos no item seguinte o estudo da
reta, que será posteriormente aplicado a estes dois tipos de ajustes.
1.6
Gráficos da forma ⇒ Y = b + a X.
Na Geometria Analı́tica a expressão acima representa a equação de uma
reta em que a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Na Fı́sica
a e b geralmente têm um significado perfeitamente definido, razão pela
qual mesmo modificando o passo da escala do gráfico, os valores para essas
variáveis devem continuar constantes. Uma vez feito o gráfico, a e b podem
ser determinados, tanto pelo método gráfico como pelo analı́tico.
Através da Fig.(3), obteremos os parâmetros a e b da função y = (b+ax).
Sejam Mx e My , respectivamente, os módulos das abcissas e ordenadas.
Como já foi dito anteriormente, o módulo representa a razão entre a
distância de dois pontos da escala e a variação correspondente da variável.
7
Logo:
CP1
xn − x1
e
CP1 = Mx (xn − x1 )
e
Mx =
My =
Pn C
yn − y 1
Pn C = My (yn − y1 ).
Da Fig.(3) obtemos:
tan θ =
M y yn − y1
My (yn − y1 )
Pn C
=
.
=
Mx (xn − x1 )
Mx xn − x1
CP1
(8)
Recordando a Geometria Analı́tica, na qual o coeficiente angular de uma
reta é dado pela relação
yn − y 1
a =
.
(9)
xn − x1
Considerando esta expressão e a Eq.(8) podemos escrever:
tan θ =
My
a,
Mx
(10)
Mx
.
My
(11)
a = tan θ
De modo semelhante, determina-se o valor de b
BO
.
yB
My =
(12)
A Geometria Analı́tica nos assegura que yB = b, logo:
BO
,
b
My =
b =
BO
.
My
(13)
(14)
Desta forma a equação da reta obtida pelo método gráfico será:
Y =
BO
Mx
+ (
tan θ) X.
My
My
8
(15)
1.7
Ajustamento analı́tico
O ajustamento analı́tico se faz, de posse dos valores x1 , x2 , ..., xn para
os quais correspondem respectivamente y1 , y2 , ..., yn , aplicando o sistema de
equações:
(
P
PN
bN
+ a N
i=1 xi = Pi=1 yi
PN
PN
(16)
N
b i=1 xi + a i=1 x2i =
i=1 xi yi
que permite calcular a e b. Neste sistema N representa o número de medidas.
Exemplo 01
Determinar a equação do volume, relativo aos dados da Tabela(1), a qual
será representada por:
V = b + a (D3 ),
e os coeficientes a serem determinados a e b serão obtidos do sistema:
(
P
PN
bN
+ a N
(Di3 )
=
i=1
i=1 Vi
PN
PN
PN
(17)
3
2
3
3
b i=1 (Di ) + a i=1 (Di ) =
i=1 Di Vi .
Obs.: A demonstração da obtenção do sistema acima será visto em
Cálculo Numérico.
Di3 (cm3 )
0,210
0,360
0,512
0,660
0,862
1,089
1,367
1,719
1,732
2,444
Vi (cm3 )
0,1
0,2
0,3
0,4
0,4
0,6
0,7
0,9
1,0
1,2
(Di3 )2 (cm6 )
0,044
0,129
0,262
0,435
0,743
1,185
1,868
2,954
2,999
5,973
Di3 Vi (cm6 )
0,02
0,07
0,15
0,26
0,34
0,65
0,95
1,54
1,73
2,93
Tabela 2: Volume x Diâmetro3
Sendo
N
X
Di3 = 10, 955;
Vi = 5, 8;
i=1
i=1
N
X
N
X
N
X
(Di3 )2 = 16, 597 e
i=1
i=1
9
DGi3 Vi = 8, 677.
Substituindo os resultados da tabela no sistema, obtemos:
10 b
+ 10, 955 a = 5, 8
10, 955 b + 16, 597 a = 8, 677.
(18)
Resolvendo o sistema pelo método de Cramer:
10
10, 955 = 45, 958;
det A = 10, 955 16, 597 5, 8 10, 955 = 1, 199;
det ∆1 = 8, 677 16, 597 10
5, 8 = 23, 237;
det ∆2 = 10, 955 8, 677 b=
det ∆1
= 0, 0261;
detA
det ∆2
= 0, 5056.
detA
Assim a equação da reta que reprentará o V = f(D), será:
a=
VC = 0, 0261 + 0, 5056Di3 .
(19)
(20)
(21)
O cálculo dos desvios será obtido
δV = VE. − VC. .
A soma dos desvios:
N
X
δVi = 0, 101 cm3 .
i=1
N
X
δV2i = 0, 027 cm6 .
i=1
Cálculo do desvio padrão:
σV =
sP
N
2
i=1 δVi
(N − 1)
= ± 0, 0544 cm3 .
10
(22)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-5
3
103
-4
-3
-2
-1
0
5
0
0
15
MV=10 cm/cm
V (cm )
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
3
15
3
3
D (cm )
3
20
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3
MD = 8 cm/cm
10
GRÁFICO (02): Volume x Diâmetro
Di3 (cm3 )
0,210
0,360
0,512
0,660
0,862
1,089
1,367
1,719
1,732
2,444
VE. (cm3 )
0,1
0,2
0,3
0,4
0,4
0,6
0,7
0,9
1,0
1,2
VC. (cm3 )
0,031
0,208
0,285
0,360
0,462
0,577
0,717
0,895
0,902
1,262
δV (cm3 )
+ 0,069
- 0,008
+ 0,015
+ 0,040
- 0,062
+ 0,023
- 0,017
+ 0,005
+ 0,098
- 0,062
δV2 (cm6 )
0,005
6,586−5
2,259−4
0,002
0,004
0,001
2,977−4
2,279−5
0,010
0,004
Tabela 3: Cálculo dos desvios do V = f(D3 ).
Cálculo do desvio padrão do valor médio:
σV =
sP
N
2
i=1 δVi
N (N − 1)
= ± 0, 0172 cm3 .
Exemplo 02
Construir em papel milimetrado, um gráfico, referente aos dados experimentais da Tabela(2) (V x D3 ), observe que os pontos estão relativamente
alinhados. Isto nos leva a traçar uma reta por estes pontos, conforme pode
se ver pelo Gráfico(2). Supondo que a função que se deseja descobrir[2]
tenha a seguinte forma:
V = k Dα .
(23)
Aplicando o desenvolvimento logarı́tmico a ambos os membros da equação
acima, teremos:
log V = log k + α log D.
(24)
Comparando esta última equação com a da reta y = b + a x, obteremos:
y = log V,
b = log k,
a = α,
x = log D.
11
Ajustando pelo método dos mı́nimos quadrados:
(
P
PN
Nb
+ a( N
log Di ) =
log Vi
i=1
PN
PN
PNi=1
2
b ( i=1 log Di ) + a i=1 (log Di ) =
i=1 log Di · log Vi .
(25)
Utilizando-se os valores da Tabela(1) e, aplicando o logarı́tmo conforme
os elementos da Eq.(25), obtém-se a Tabela(4).
(log Di )2
0,050843
0,021762
0,009392
0,003598
0,000456
0,000154
0,002054
0,006155
0,006327
0,016736
log Di
- 0,225483
- 0,147520
- 0,096910
- 0,059982
- 0,021363
+ 0,012415
+ 0,045323
+ 0,078457
+ 0,079543
+ 0,129368
log Vi
- 1,0
- 0,69897
- 0,522879
- 0,397940
- 0,397940
- 0,221849
- 0,154902
- 0,045757
0,0
+ 0,079181
log Vi · log Di
+ 0,225483
+ 0,103112
+ 0,050672
+ 0,023869
+ 0,008501
- 0,002754
- 0,007021
- 0,003590
0,0
+ 0,010243
Tabela 4: Cálculo de parâmetros do sistema.
N
X
log Di = − 0, 206152;
i=1
N
X
(log Di )2 = 0, 117477;
i=1
N
X
log Vi = − 3, 361056;
i=1
N
X
log Vi · log Di = 0, 408516.
i=1
10 b
− 0, 206152 a = − 3, 361056
− 0, 206152 b + 0, 117477 a = 0, 408516.
(26)
O sistema tem por solução:
a = 2, 99599
mas como a = α então α = 2, 99599, e b = −0, 27434 mas como b =
log k, então k = 10b , isto é, k = 0, 53169.
12
1
10
3
V (cm )
GRÁFICO (03): Volume x Diâmetro
0
10
-1
10
-2
10
-1
10
0
1
10
10
D (cm)
A função que representa os dados experimentais será:
V = 0, 53169 D2,99599 .
(27)
Veja o Gráfico(3).
1.8
Determinação gráfica dos coeficientes.
Utilizando o transferidor, meça o ângulo no gráfico do Exemplo 2, que tu
o fizeste. O ângulo θ será de aproximadamente 33o . Aplicando na Eq.(11),
os módulos de escala e o ângulo, obtém-se o valor do coeficiente angular.
a =
a =
b =
MD
tan θ,
MV
cm
8 cm
3
o
cm tan 33 ;
10 cm3
a = 0, 5195;
BO
0, 24cm cm
= 0, 024 cm3 .
=
MV
10
cm3
V
= 0, 024 + 0, 5195 D3 .
Observe-se a precisão entre os valores de “a”determinados pelos dois
processos com o teórico (a = π6 ).
EXERCÍCIOS:
1) Usando o Gráfico(3) , determine os parâmetros “k”e “α”da eq(23).
Sugestão: Marque dois pontos P1 e P2 , conforme a figura(4), sobre a
reta que passa pelos pontos experimentais. Determine o coeficiente angular
a=
log A − log B
,
logC − log D
(28)
a = α.
Usando a eq.(24), isole o coeficiente linear log k = b,
b = log V − α log D.
(29)
Novamente sobre a reta do gráfico, marque um ponto P e substitua os valores
correspondentes,
b = log E − α log F.
(30)
13
Figura 4: Pontos auxiliares sobre o Gráfico(3).
Q(c)
t(s)
10,0
0,0
6,0
16,0
3,5
32,0
2,0
48,0
1,1
64,0
Tabela 5: Observações relativo a calorimetria.
como log k = b,
então k = 10b .
Dado a tabela
Supondo que a lei que rege o fenômeno seja do tipo:
Q = A expαt .
(31)
2) Determine os parâmetros “A”e “α”da equação(31), utilizando papel
mono-log.
3) Faça a mesma coisa do item 2, utilizando papel milimetrado. Lembrete: Para determinar o “α’ e o “A”, use as equações(11 e 14).
Referências
[1] FONSECA, J.S., MARTINS, G. A. e TOLEDO, G. L.,Estatı́stica Aplicada, Editora Atlas S.A., São Paulo, 1978. p.(138 a 140).
[2] SPIGEL, M. R. Estatı́stica. Mc Graw-Hill do Brasil, Ltda. R.J, 1971.
p.(378 a 396)
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