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Curvatura Escalar, o Operador Linearizado e Aplica cões

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Curvatura Escalar, o Operador Linearizado e Aplica cões
Curvatura Escalar, o Operador
Linearizado e Aplicações
Ana Lucia Pinheiro Lima
À minha mãe Lúcia Maria
e ao Prof. Luis Roque
Agradecimentos
Ao meu querido orientador Prof. Hilário Alencar pelo muito que me ensinou e por
ser exemplo de profissional a ser seguido, à Profa . Walcy Santos pelas valiosas contribuições dadas a este trabalho, aos Professores Marco Antônio Fernandes e Enaldo
Vergasta pelo incentivo, paciência e apoio, aos meus professores da UNEB, a Vivaldo
e Marlene Pinheiro, a George Santos, ao Prof. Benedito Pontes, a Francisco Petrúcio,
Aryana Silva e Karoline Cavalcante, e aos colegas de Mestrado, em especial à Juceli
Cardoso, Eliana Silva e a Gilmar Veiga.
Índice
Introdução
4
1 Preliminares
6
2 L1 - O operador linearizado
13
3 Hipersuperfı́cie completa, não-compacta, com curvatura escalar constante
23
4 Estimativa de altura
27
Bibliografia
33
Introdução
Nesta dissertação consideraremos M uma hipersuperfı́cie de dimensão n com curvatura escalar constante e imersa isometricamente no espaço Euclidiano.
Inicialmente, seja f : M n → R uma função de classe C 2 . Assim, definimos o
operador linearizado Lr por
Lr (f ) = tr(Tr (Hess(f ))),
onde Tr é a transformação de Newton definida indutivamente por T0 = I,
Tr = Sr I − BTr−1 , B é a segunda forma fundamental da imersão e Hess é o hessiano
da função f .
Vale observar que os operadores Lr apareceram, não ainda na forma definida
acima, no artigo de K. Voss [V], em 1956.
R. Reilly em 1973, relacionou o operador Lr com a derivada da (r + 1)-ésima
função simétrica Sr+1 num trabalho sobre problemas variacionais (ver [R1]).
Em 1977, Cheng e Yau [CY1] se restringiram ao caso r = 1 e escreveram o operador
L1 como
n
X
L1 (f ) =
(nHδij − hij )fij ,
i,j=1
ou seja, em função da curvatura média H = Sn1 , dos coeficientes hij da segunda forma
fundamental e dos coeficientes fij da Hessiana de f . Nesse trabalho foram determinadas importantes propriedades do operador L1 e uma aplicação dessas propriedades.
Rosenberg em [R2], 1993, mostrou que o operador Lr pode ser escrito como
Lr (f ) = div(Tr ∇f ).
Com isso, o operador Lr passou a ser visto como uma generalização do Laplaciano,
pois para r = 0, L0 (f ) = ∆f .
É bem conhecido o importante papel do Laplaciano no estudo das variedades
mı́nimas ( Sn1 = H1 = 0), então espera-se (e estudos atuais vem confirmando este fato)
que os operadores Lr desempenhem função semelhante no estudo das variedades Hr+1 estáveis.
Diante disso, damos atenção especial ao operador L1 , pois assim, adquirimos
técnicas para estudarmos as hipersuperfı́cies com curvatura escalar constante, objeto
desse trabalho.
Portanto, o nosso objetivo é obter resultados sobre hipersuperfı́cies com curvatura
escalar S2 constante no espaço Euclidiano, usando, como principal ferramenta nas
demonstrações, as propriedades do operador L1 .
4
Mais precisamente, demonstraremos resultados obtidos, em 1977, por Cheng e
Yau [CY1] e Rosenberg [R2], em 1993.
Teorema (Cheng-Yau). Seja M uma hipersuperfı́cie no espaço Euclidiano,
completa, não-compacta, com curvatura seccional não-negativa. Se a curvatura escalar de M é constante, então M é um cilindro generalizado.
Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rn+1 uma hipersuperfı́cie mergulhada com
∂M ⊂ Rn = Rn × 0. SeqS2 é constante positiva em M, então a distância máxima de
M ao hiperplano Rn é
2n(n−1)
.
S2
A estrutura desta dissertação é a seguinte: no Capı́tulo 1, será desenvolvido o
conteúdo básico que possibilitará um bom entendimento dos capı́tulos posteriores.
O operador L1 e suas propriedades são os assuntos tratados no Capı́tulo 2 e os resultados deste capı́tulo serão fundamentais nas demonstrações dos teoremas acima.
No Capı́tulo 3, enunciamos e provamos o Teorema de Cheng e Yau e no Capı́tulo 4
fazemos a demonstração, com algumas modificações da prova original, do Teorema de
Rosenberg, uma vez que a nossa escolha da segunda forma fundamental da imersão
difere por um sinal da escolha feita por Rosenberg.
5
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste primeiro capı́tulo, apresentaremos resultados básicos e fundamentais para
um melhor entendimento deste trabalho.
Definiremos imersão isométrica, segunda forma fundamental, hipersuperfı́cie convexa e curvatura seccional.
k
Sejam M n e M variedades diferenciáveis de dimensão n e k = n + m, respectivamente. Denotaremos por Tp M, p ∈ M , o espaço dos vetores tangentes a M em
p.
Uma aplicação diferenciável ϕ : M → M é uma imersão se dϕp : Tp M → Tϕ(p) M
é injetiva para todo p ∈ M . Se M tem uma estrutura Riemanniana, ϕ induz uma
estrutura Riemanniana em M por hu, vip = hdϕp (u), dϕp (v)iϕ(p) , u, v ∈ Tp M . Tal
métrica será denominada métrica induzida por ϕ. Nesta situação, ϕ passa a ser uma
imersão isométrica de M em M .
Consideraremos sempre M uma variedade Riemanniana e usaremos ∇ para denotar sua conexão de Levi-Civita.
Se ϕ : M → M é uma imersão, podemos afirmar que, para cada p ∈ M , existe
uma vizinhança U ⊂ M de p, tal que ϕ(U ) ⊂ M é uma subvariedade de M , isto é,
temos uma vizinhança de ϕ(p), U ⊂ M , onde podemos definir um difeomorfismo que
leva ϕ(U ) ∩ U em um aberto do subespaço Rn ⊂ Rk . Portanto, simplificaremos a
notação identificando cada ponto p ∈ M com sua imagem ϕ(p) e cada vetor v ∈ Tp M
com o vetor dϕp (v) ∈ Tϕ(p) M .
Através do produto interno definido em Tp M , podemos decompor o espaço tangente de M em p como a soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M .
6
Tomando v ∈ Tp M , podemos escrevê-lo como
v = vT + vN ,
onde v T ∈ Tp M , v N ∈ (Tp M )⊥ .
Consideremos X, Y campos locais de vetores em M e X, Y as extensões locais
em M , respectivamente. Daı́, temos a seguinte igualdade
∇X Y = (∇X Y )T .
O nosso objetivo é definir a segunda forma fundamental da imersão ϕ : M → M .
Para isto, introduziremos a aplicação bilinear simétrica B : χ(U ) × χ(U ) → χ(U )⊥
dada por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y.
Aqui χ(U ) (respectivamente, χ(U )⊥ ) é o espaço dos campos de vetores (respectivamente, normais) de classe C ∞ em M , e U ⊂ M é uma vizinhança de p tal que
ϕ(U ) ⊂ M é uma subvariedade de M .
Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . A aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈ Tp M é também uma forma bilinear simétrica.
Assim, podemos definir a forma quadrátrica IIη em Tp M dada por
IIη (x) = Hη (x, x).
IIη é chamada a segunda f orma f undamental de f em p segundo o vetor normal η.
À aplicação bilinear Hη associa-se uma aplicação linear auto-adjunta
Qη : Tp M → Tp M definida por
hQη (x), yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi.
Qη é chamado endomorf ismo de W eingarten.
Uma observação importante é que também podemos designar a aplicação B como
a segunda forma fundamental, tomando valores em (Tp M )⊥ . Faremos uso desta
notação no decorrer do nosso trabalho.
A proposição seguinte nos dá uma relação entre o endomorfismo de Weingarten e
a derivada covariante.
7
n+m
Proposição 1.1. Sejam ϕ : M n → M
uma imersão isométrica, p ∈ M,
⊥
v ∈ Tp M, η ∈ (Tp M ) e N uma extensão local de η normal a M . Então,
Qη (v) = −(∇v N )T .
P rova. Sejam v, w ∈ Tp M e V, W extensões locais de v, w, respectivamente, e
tangentes a M . Então, hN, W i = 0 e, portanto,
hQη (v), wi =
=
=
=
=
=
hB(V, W )(p), N i
h∇V W − ∇V W, N i(p)
h∇V W, N ip − h∇V W, N ip
h∇V W, N ip
−hW, ∇V N ip
h(−∇V N )T , W ip ,
para todo w ∈ Tp M.
Os teoremas principais deste trabalho tratam do caso particular de imersões cuja
n+1
codimensão é igual a 1, isto é, ϕ : M n → M . Neste caso, ϕ(M ) ⊂ M é chamada
de hipersuperfı́cie.
Sejam p ∈ M e η ∈ Tp M ⊥ tal que | η |= 1. Assim, o fato do endomorfismo de
Weingarten Qη : Tp M → Tp M ser simétrico, garante a existência de uma base ortonormal de vetores próprios {e1 , ..., en } de Tp M com valores próprios reais λ1 , ..., λn ,
ou seja, Qη (ei ) = λi ei , 1 ≤ i ≤ n.
Para M = Rn+1 temos uma interessante interpretação geométrica para Qη .
Sejam N extensão local de η, unitária e normal a M e S n = {x ∈ Rn+1 ; k x k= 1}
a esfera unitária de Rn+1 . Definimos a aplicação normal de Gauss g : M n → S n
transladando a origem do campo N , para a origem do Rn+1 e fazendo
g(q) = ponto f inal do transladado de N (q).
Como Tq M e Tg(q) (S n ) são paralelos, podemos identificá-los. Logo, vemos que
dgq : Tq M → Tq M é dada por
dgq (v) =
d
(N ◦ c(t))t=0 = ∇v N = (∇v N )T = −Qη (v) ,
dt
8
onde c : (−, ) → M é uma curva com c(0) = q e c 0 (0) = v.
Portanto, −Qη é a derivada da aplicação normal de Gauss.
Quando M e M estão ambas orientadas, o vetor η é univocamente determinado
se exigirmos que {e1 , ..., en } e {e1 , ..., en , η} sejam bases na orientação de M e M ,
respectivamente. Quando isto ocorre, denominamos os ei direções principais e os
λi = ki curvaturas principais de ϕ.
Um fato relevante com relação as curvaturas principais é que suas funções simétricas
são invariantes da imersão.
Definimos a r-ésima curvatura média Hr , r = 0, 1, ...n, de M como sendo
Hr =
1
Sr ,
cr
onde cr = nr e Sr é a r-ésima função simétrica das curvaturas principais (ki ) da
imersão ϕ, ou seja,
X
ki1 · ... · kir .
Sr =
i1 <...<ir
Observe que, S0 = 1 e S1 , S2 , e Sn são, a menos de fator constante, as curvaturas
média, escalar e Gauss − Kronecker, respectivamente.
Consideremos uma função f ∈ C ∞ (M ) e um campo qualquer X ∈ χ(M ). Definimos o gradiente de f como o campo ∇f em M dado por
h∇f, Xi = Xf = df · X,
o divergente de X como a função div : M → R definida por
divX = tr(Y → ∇Y X)
e o Laplaciano de M como o operador ∆ : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) dado por
∆f = div(∇f ).
Agora, consideremos um referencial geodésicoP{e1 , ..., en } em um aberto de M e
um campo X escrito neste referencial como X = ni=1 ai Ei . Então, podemos escrever
o gradiente, divergente e o Laplaciano nesse referencial como
∇f =
n
X
(ei (f ))ei ,
i=1
divX =
n
X
i=1
9
ei (ai ),
∆f =
n
X
ei (ei (f )),
i=1
respectivamente.
Usando as definições de gradiente, divergente e Laplaciano, obtemos, para toda
g ∈ C ∞ (M ), a equação
div(gX) = gdivX + h∇g, Xi.
(1.1)
Consideremos uma variedade compacta M com bordo ∂M e um campo X em M .
O Teorema da Divergência (ver [S], p.192) afirma que
Z
Z
divX dM =
hX, νidr,
(1.2)
M
∂M
onde dM e dr são os elementos de volume de M e de ∂M , respectivamente, e ν é
o campo de vetor unitário normal exterior ao ∂M , cuja direção é oposta à do vetor
curvatura média. Assim, se tomamos X = f ∇h em (1.1) e usamos (1.2), temos a
Fórmula de Green
Z
Z
f h∇h, νidr
(1.3)
{f ∆h + h∇f, ∇hi}dM =
∂M
M
para f, h ∈ C ∞ (M ).
Dizemos que M é uma variedade Riemanniana (geodesicamente) completa se para
todo p ∈ M , a aplicação exponencial, expp , está definida para todo v ∈ Tp M , isto
é, se as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas para todos os valores do
parâmetro t ∈ R.
Quando a variedade M é fechada e limitada diz-se que M é compacta.
Nos resultados deste trabalho encontramos a expressão clássica: “variedades de
curvatura constante”. Esta expressão designa as variedades Riemannianas simplesmente conexas, completas, de curvatura seccional constante.
Definamos então curvatura seccional. Dados um ponto p ∈ M e um subespaço bi, onde R representa
dimensional σ ⊂ Tp M , o número real K(x, y) = K(σ) = hR(x,y)x,yi
|x∧y|2
o tensor curvatura e {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional
de σ em p.
Uma interpretação geométrica da curvatura seccional nos diz que K(p, σ) é a
curvatura Gaussiana em p de uma pequena superfı́cie formada por geodésicas de M
que partem de p e são tangentes a σ.
10
Para uma hipersuperfı́cie M n ⊂ Rn+1 , a condição análoga a ter curvatura Gaussiana
positiva em p é a condição que toda curvatura seccional em p é positiva; equivalentemente, toda curvatura principal terá o mesmo sinal, ou ainda, a segunda forma
fundamental B é positiva ou negativa definida e isto nos garante o fato, puramente
geométrico, que M está situada em um lado do hiperplano tangente de M em p.
Dizemos então que o fato de B ser positiva ou negativa definida, implica que M é localmente convexa e argumentos gerais mostram que um conjunto localmente convexo
é, na verdade, convexo.
Dizemos que uma hipersurperfı́cie mergulhada f : M n → Rn+1 é uma hipersuperfı́cie convexa quando ela está contida no bordo de um corpo convexo C ⊂ Rn+1 .
Por um corpo convexo entendemos um subconjunto C de Rn+1 tal que, dados dois
pontos p, q ∈ C, o segmento que liga p e q está contido em C .
Um dos fatos mais importantes para desenvolvimento deste trabalho é o operador
L1 , definido no próximo capı́tulo, ser elı́ptico. Antes vamos estabelecer algumas
definições.
Um operador L do tipo
n
n
X
X ∂u
∂ 2u
+
bi
+ cu ,
Lu =
aij
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
i,j=1
é chamado operador diferencial de ordem dois, onde aij , bi , c : U → R, i, j = 1, ...n,
são funções definidas em aberto U de Rn .
Quando A(x) = (aij (x)) é simétrica e positiva definida, para todo x ∈ U , isto é,
n
X
aij (x)λi λj > 0, ∀x ∈ U e ∀λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn − {0},
i,j=1
a expressão Lu = 0 é chamada equação elı́ptica de segunda ordem.
O princı́pio do módulo máximo para funções hamônicas foi generalizado por E.
Hopf em 1927 para equações diferenciais parciais elı́pticas (ver[GT], p. 31).
11
Teorema 1.1 (E. Hopf). Seja
n
X
n
X ∂u
∂ 2u
Lu =
aij
+
bi
+ cu,
∂xi ∂xj
∂xi
i,j=1
i=1
onde u:U ⊂ Rn → R é uma função duas vezes diferenciável e bi , c:U → R são funções
localmente limitadas com c ≤ 0. Suponhamos que, para todo ponto p ∈ U, existem
uma vizinhança V de p e constantes δ e positivas tais que
δ
n
X
i=1
λ2i
≤
n
X
aij (x)λi λj ≤ i,j=1
n
X
λ2i ,
i=1
∀x ∈ V e todo λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn .
Se Lu ≥0 em U e p é um ponto de máximo local não-negativo, então u é constante
em uma vizinhança de p.
O princı́pio da tangência é uma aplicação desse resultado, e pode ser enunciado
do seguinte modo:
Sejam M1n , M2n hipersuperfı́cies orientadas em M n+1 , p ∈ M1n ∩ M2n um ponto
de tangência e u1 , u2 : U ⊂ Tp M1 → R funções definidas em uma vizinhança U da
origem do plano tangente Tp M1 , cujos gráficos são vizinhanças V1 ⊂ M1 e V2 ⊂ M2
de p, respectivamente. Se u1 e u2 satisfazem uma mesma equação diferencial parcial
elı́ptica e u1 ≤ u2 em U, então M1 e M2 coincidem em U .
Para finalizar este capı́tulo, enunciaremos um resultado obtido por Hartman e
Nirenberg [HN] que será usado na demonstração do Teorema de Cheng e Yau, no
Capı́tulo 3.
Teorema 1.2 (Hartman-Nirenberg). Sejam M n uma variedade Riemanniana completa flat e f : M n → Rn+1 uma imersão isométrica. Então, f(M) é um cilindro sobre
uma curva plana.
12
Capı́tulo 2
L1 - O operador linearizado
Neste capı́tulo faremos um estudo sobre o operador L1 . Inicialmente, usaremos a
definição dada por Cheng e Yau [CY1] , veremos que L1 é o caso particular, para r = 1,
do operador Lr definido por Rosenberg [R2] e demonstraremos algumas propriedades
desse operador.
Quando M n é uma hipersuperfı́cie completa com curvatura seccional não-negativa
no espaço Euclidiano, podemos escolher o campo de vetores normais N : M → S n+1
de maneira que a segunda forma fundamental B seja positiva semi-definida.
Seja f : M n → R uma função de classe C 2 . Definimos o operador L1 por (ver
[CY1], p. 201)
L1 (f ) =
n
X
(nHδij − hij )fij ,
(2.1)
i,j=1
onde H = Sn1 é a curvatura média de M , hij os coeficientes da segunda forma fundamental, δij delta de Kronecker e fij os coeficientes da matriz Hessiana de f .
Ao estudo das r-ésimas curvaturas médias está relacionada a Transformação de
Newton Tr = Sr I−Sr−1 B+...+(−1)r B r , que também pode ser definida indutivamente
por Tr = Sr I − BTr−1 , T0 = I.
Proposição 2.1. Seja Tr a Transformação de Newton. Então, são válidas as seguintes propriedades:
a) Tr (ei ) = Sr (Bi )ei ;
b) (r + 1)Sr+1 = tr(BTr ) (Fórmula de Newton);
c) tr(Tr ) = (n − r)Sr ;
13
d) tr(Tr B 2 ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ;
e) Tr é auto-adjunto.
Prova. Ver Lemma 2.1 [BC], p.279 para as quatro primeiras propriedades.
O fato do operador Tr ser auto-adjunto é conseqüência dele ser polinômio em B.
Agora, definida a transformação Tr , a maneira natural de escrever a definição dada
por Cheng e Yau para o operador L1 é
L1 (f ) = tr(T1 Hess(f ))
= tr((S1 I − B)(Hess(f ))).
Em 1993, Rosenberg (ver [R2], Theorem 4.1, p.225) estabeleceu a seguinte expressão para o operador diferenciável linear de segunda ordem Lr ,
Lr (f ) = div(Tr ∇f ), r = 0, 1, ..., n.
O operador Lr já havia aparecido em artigos de Voss [V] e Reilly [R1], associado
a problemas variacionais e escrito como combinação das funções simétricas Sr+1 . O
trabalho de Rosenberg [R2] teve grande importância, pois o fato do operador Lr poder
ser escrito como um divergente possiblitou o uso de muitos resultados já conhecidos.
Quando r = 1,
L1 (f ) = div(T1 ∇f )
coincide com o operador de Cheng e Yau
L1 (f ) =
n
X
(nHδij − hij )fij .
i,j=1
De fato, sabemos que
∇f =
n
X
fi ei
e
T1 = S1 I − B = nHI − B,
i=1
onde {e1 , ..., en } é o referencial geodésico.
14
(2.2)
Daı́,
n
X
T1 ∇f =
(nHI − B)fi ei
i=1
n
X
=
(nHfi ei − fi Bei ) .
i=1
Como Bei =
Pn
j=1
hji ej , temos
T1 ∇f =
=
=
n
X
i=1
n
X
nHfi ei − fi
n
X
!
hji ej
j=1
(nHδij − hji )fi ej
i,j=1
n
X
(nHδij − hij )fi ej
i,j=1
=
n
n
X
X
j=1
!
(nHδij − hij )fi
ej .
i=1
Assim,
div(T1 ∇f ) =
n
n
X
X
j=1
=
=
=
=
!
nHj δij − hijj
n
n
X
X
j=1
n
X
(nHδij − hij )fij
i,j=1
!
nHj δij
fi −
i=1
nHj δij fi −
n
X
n
X
i=1
i=1
nHi fi −
n
X
hijj fi +
i,j=1
i,j=1
n
X
n
X
fi +
i=1
n
X
nHi fi +
i=1
nHi fi +
i,j=1
15
(nHδij − hij )fij
i,j=1
n
X
(nHδij − hij )fij
i,j=1
n
X
(nHδij − hij )fij
i,j=1
(nHδij − hij )fij .
n
X
Portanto, concluı́mos que
div(T1 ∇f ) =
n
X
(nHδij − hij )fij .
i,j=1
Em um certo sentido, os operadores Lr generalizam o operador Laplaciano ∆,
pois, para r = 0,
L0 (f ) = div(T0 ∇f )
= div(∇f )
= ∆f.
Vale observar que esses operadores são muito usados em estudos de hipersuperfı́cies
com r-ésima curvatura Hr constante.
Os resultados apresentados neste trabalho, a partir de agora, estarão relacionados
ao operador L1 .
Definindo L1 de um campo como sendo o campo cujas coordenadas são L1 aplicado
a cada uma das coordenadas do campo original, vamos agora calcular L1 (X) e L1 (N ),
onde X e N são o vetor posição e o vetor normal de M , respectivamente.
Proposição 2.2. Sejam X e N o vetor posição e o vetor normal de M , respectivamente. Então,
a) L1 (X) = n(n − 1)RN ;
b) L1 (N ) = (−S1 S2 + 3S3 )N − 21 n(n − 1)
Pn
k=1
Rk ek .
Prova. Seja {e1 , ...en } um referencial ortonormal em M . Então,
∇ei X = ei .
Daı́,
Xij = ∇ej ∇ei X = ∇ej ei = hij N,
ou seja,
Xij = hij N .
Além disso,
Ni
n
X
=
hNi , ek iek + hNi , N iN .
k=1
16
(2.3)
Sabemos que hN, ek i = 0 e hN, N i = 1. Dessas igualdades, concluı́mos que
hNi , ek i = −hki e hNi , N i = 0.
Assim,
n
X
Ni = −
hki ek .
k=1
Logo,
Nij = −
= −
n
X
n
X
hkij ek −
k=1
k=1
n
X
n
X
hkij ek −
k=1
hki ∇ej ek
hki hkj N.
(2.4)
k=1
Calculemos o valor de L1 (X). Por (2.1),
L1 (X) =
n
X
(nHδij − hij )Xij .
i,j=1
Substituindo o valor encontrado em (2.3), temos
L1 (X) =
n
X
(nHδij − hij )hij N
i,j=1
=
n
X
(nH)2 −
!
h2ij
N
i,j=1
=
n
X
(
ki )2 −
i=1
=
2
X
n
X
!
ki2 N
! i=1
ki kj
N
i<j
= (2S2 )N .
Visto que R =
2
S,
n(n−1) 2
(2.5)
também podemos escrever L1 (X) como
L1 (X) = n(n − 1)RN .
17
(2.6)
Analogamente, calculamos o valor de L1 (N ), substituindo a expressão (2.4) em
(2.1), ou seja,
L1 (N ) =
=
n
X
(nHδij − hij )Nij
i,j=1
n
X
n
X
i,j=1
n
X
k=1
n
X
(nHδij − hij )(−
= −
(nHδij − hij )(
i,j=1
hkij ek −
n
X
hki hkj N )
k=1
hki hkj )N −
k=1
n
X
(nHδij − hij )hkij ek .
i,j,k=1
Usando Codazzi e a bilinearidade de B,
L1 (N ) = −
= −
=
n
X
"
#
n
n
n
X
X
X
hik hkj )N −
nH(nH)k −
(nHδij − hij )(
hkij hij ek
i,j=1
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
i,j=1
1
n(n − 1)Rk ek
2
i,j=1
k=1
k=1
!
n
n
n
X
X
X
1
hij hik hkj N − n(n − 1)
nHδij hik hkj +
Rk ek
−
2
i,j,k=1
i,j,k=1
k=1
(nHδij − hij )(
hik hkj )N −
n
X
1
= (−nH k B k +trB )N − n(n − 1)
Rk ek .
2
k=1
2
3
Como trB 3 = nH k B k2 − 21 n2 (n − 1)HR + 3S3 , ver equação (1) em [R1], temos
n
X
1 2
1
L1 (N ) =
− n (n − 1)HR + 3S3 N − n(n − 1)
Rk ek
2
2
k=1
n
X
1
= (−S1 S2 + 3S3 )N − n(n − 1)
Rk ek .
2
k=1
Assim,
n
X
1
L1 (N ) = (−S1 S2 + 3S3 )N − n(n − 1)
Rk ek .
2
k=1
(2.7)
18
Proposição 2.3. Sejam X e N o vetor posição e o vetor normal de M, respectivamente
e seja v vetor fixo em Rn+1 . Então,
a) L1 (hX, vi) = n(n − 1)RhN, vi;
b) L1 (hN, vi) = (−S1 S2 + 3S3 )hN, vi − 21 n(n − 1)
Pn
k=1
Rk hek , vi .
Prova. Afirmamos que L1 (hX, vi) = hL1 (X), vi. Com efeito,
L1 (hX, vi) =
=
n
X
(nHδij − hij )hX, viij
ij=1
n
X
(nHδij − hij )hXij , vi
ij=1
*
=
n
X
+
(nHδij − hij )Xij , v
ij=1
= hL1 (X), vi.
Então, usando (2.5) e (2.6),
L1 (hX, vi) = h(2S2 )N, vi
= hn(n − 1)RN, vi
= n(n − 1)RhN, vi.
(2.8)
(2.9)
Usando (2.7), temos
n
X
1
Rk hek , vi.
L1 (hN, vi) = (−S1 S2 + 3S3 )hN, vi − n(n − 1)
2
k=1
(2.10)
Uma propriedade importante do operador L1 é o fato dele ser auto-adjunto.
Proposição 2.4 ([CY1], Proposição 1). Seja M uma variedade Riemanniana compacta e orientável. Então, o operador L1 é auto-adjunto.
R
P rova. Por (2.2) e usando o produto interno definido por hf, gi = M f g dM para
f, g : M → R, podemos afirmar que
hL1 (f ), gi = hdiv(T1 ∇f ), gi
= hg, div(T1 ∇f )i
Z
=
gdiv(T1 ∇f )dM .
M
19
Fazendo X = T1 ∇f em (1.1) e usando o Teorema da Divergência (ver p.10), pois
M é compacta sem bordo, concluı́mos que
Z
hL1 (f ), gi =
gdiv(T1 ∇f )dM
Z
ZM
div(gT1 ∇f )dM −
h∇g, T1 ∇f idM
=
MZ
M
= −
h∇g, T1 ∇f idM .
M
Agora, usando o mesmo argumento temos que
hf, L1 (g)i = hf, div(T1 ∇g)i
Z
=
f div(T1 ∇g)dM
M
Z
Z
=
div(f T1 ∇g)dM −
h∇f, T1 ∇gidM
MZ
M
h∇f, T1 ∇gidM .
= −
M
Como T1 é auto-adjunto, isto é,
h∇f, T1 ∇gi = hT1 ∇f, ∇gi ,
temos a igualdade desejada, ou seja,
hL1 (f ), gi = hf, L1 (g)i .
O resultado a seguir é uma desigualdade, Princı́pio do Mini-Max, para o operador
L1 . A demonstração desse fato usa uma estimativa para seu primeiro auto-valor (ver
[C], p.16).
Proposição 2.5 ([CY1], Proposição 2). Seja L1 um operador elı́ptico auto-adjunto de
segunda ordem , possivelmente degenerado, definido em uma variedade M compacta
2
com bordo. Seja f uma função
positiva de classe C . Então, para qualquer função
2
g ∈ C não-negativa tal que g ∂M = 0, temos
Z
Z
−1
L1 f
2
−
gL1 g
≥ inf −
g
.
(2.11)
M
f
M
M
20
P rova. Se g é identicamente nula nada temos a demonstrar. Então, suponhamos
g 6≡ 0 e notemos que precisamos apenas provar (2.11) assumindo que L1 é elı́ptico
não-degenerado. Caso contrário, podemos substituir L1 por L1 + ∆ e fazer → 0.
Sejam λ o primeiro auto-valor e gλ a primeira auto-função de L1 sobre D com a
condição gλ ∂D = 0.
É bem conhecido que
Z
Z
−1
2
λ≤ −
gL1 g
g
M
M
e gλ é positiva no interior de D.
Considere a função gfλ definida em D (temos gfλ ∂D = 0).
Nos pontos onde gfλ atinge seu máximo, podemos verificar que
λ=−
L 1 gλ
L1 f
.
≥−
gλ
f
Logo, provamos a seguinte estimativa:
Z
−1
Z
L1 f
2
g
gL1 g
≥ inf −
−
.
M
f
M
M
A condição suficiente para o operador L1 ser elı́ptico é dada pela proposição seguinte (ver[CY1], p.201).
Proposição 2.6. Se S2 é constante positiva, então L1 é elı́ptico.
P
P rova. Como L1 (f ) = ni,j=1 (nHδij − hij )fij , temos
aij = nHδij − hij .
Visto que a segunda forma fundamental é diagonalizável, basta analisarmos aij
para i = j. Assim,
aj = nH − kj
= S1 − kj .
Pela definição de operador elı́ptico (ver p.11) devemos ter aj > 0.
21
Para cada j, sabemos que
S12
=
n
X
kj2 + 2S2 > kj2 ,
j=1
ou seja,
S12 − kj2 > 0.
Daı́,
(S1 + kj )(S1 − kj ) > 0.
Supondo S1 + kj < 0 e S1 − kj < 0 e somando essas duas desigualdades, encontramos
2S1 < 0.
Logo, temos um absurdo, pois S1 > 0. Portanto, S1 − kj > 0 e, consequentemente,
aj > 0, j = 1, ..., n.
Assim, quando S2 é constante positiva, L1 é um operador elı́ptico .
Esse resultado é fundamental na demonstração dos teoremas principais deste trabalho, pois o fato de L1 ser um operador elı́ptico nos permite utilizar o princı́pio do
módulo máximo (ver Teorema 1.1, p.12).
22
Capı́tulo 3
Hipersuperfı́cie completa,
não-compacta, com curvatura
escalar constante
O objetivo deste capı́tulo é provar que, se M é uma hipersuperfı́cie completa nãocompacta no espaço Euclidiano, com curvatura seccional não negativa e curvatura
escalar S2 constante, M é um cilindro generalizado. Este resultado foi obtido por
Cheng e Yau em [CY1].
A idéia central da demonstração deste resultado é provar que M é flat, isto é,
provar que M possui curvatura escalar identicamente nula. Assim, poderemos aplicar
o Teorema de Hartman e Nirenberg (Teorema 1.2, p.12) e concluir a demonstração.
Enunciemos então, o resultado de Cheng e Yau.
Teorema 3.1 ([CY1], Teorema 4). Seja M n uma hipersuperfı́cie completa não-compacta
no espaço Euclidiano Rn+1 com curvatura seccional não-negativa. Se a curvatura escalar de M é constante, então M é um cilindro generalizado.
P rova. Como M é completa, com curvatura seccional não-negativa, concluı́mos
que M é convexa (ver p.11).
No capı́tulo anterior (ver Proposição 2.6, p.21) provamos o seguinte fato: se S2
é constante positiva, então L1 é elı́ptico.
P Então, se tivermos L1 elı́ptico degenerado,
significa que em algum ponto de M , i6=j ki = 0 para alguma curvatura principal ki ,
ou seja, ki = 0 para todo i 6= j Assim, a curvatura escalar de M neste ponto é zero.
Quando a curvatura escalar de M é zero, M é flat e o resultado segue-se do
Teorema de Hartman-Nirenberg (ver Teorema 1.2, p.12).
23
O fato da imagem da aplicação normal de Gauss de uma hipersuperfı́cie convexa
completa situar-se num hemisfério aberto, nos permite garantir a existência do vetor
unitário a no espaço Euclidiano tal que hN, ai ≥ 0, onde N é vetor normal em M
(ver [W], p. 279).
Agora, afirmamos que se hN, ai = 0 em algum ponto de M , temos que hN, ai é
identicamente nula.
Com efeito, calculemos o sinal de L1 (hN, ai).
L1 (hN, ai) = hL1 (N ), ai
!
n
n
X
X
= −
(nHδjl − hjl )
hji hil hN, ai
i=1
j,l=1
= −n(n − 1)R
n
X
h2ij hN, ai .
i=1
Logo, L1 hN, ai ≤ 0.
Assim, nossa afirmação segue-se do princı́pio do mı́nimo aplicado à equação elı́ptica
acima, ou seja, como L1 hN, ai ≤ 0 e hN, ai ≥ 0, se hN, ai assume seu mı́nimo (que é
zero), então hN, ai será constante e igual a zero.
Concluı́mos que, ou hN, ai é sempre positiva ou hN, ai ≡ 0.
No segundo caso, diferenciando a equação hN, ai ≡ 0, obtemos ki hei , ai ≡ 0 para
todas as curvaturas principais kP
i e direções principais ei . Projetando a em M , obtemos
o campo de vetores unitários i ha, ei iei que é paralelo em M . Portanto, podemos
retirar uma linha e continuar por indução a prova do teorema.
Quando f = hN, ai é estritamente positiva, aplicamos a Proposição 2.5 (ver p.20),
e garantimos que
Z
−1
Z
2
g
−
gL1 g
≥ inf
M
Pn
j,l=1 (nHδjl
M
M
!
P
− hjl )( ni=1 hji hil )hN, ai
,
hN, ai
ou ainda,
Z
Z
−1
2
−
gL1 g
g
≥ min
D
D
D
n
X
!
n
X
(nHδjl − hjl )(
hji hil )
j,l=1
para toda função suave g com suporte compacto D.
24
i=1
(3.1)
Com as propriedades que M possui, é possı́vel afirmar (ver [W], Teorema 2, p.
280) que M é essencialmente um gráfico sobre a e com isso, o conjunto
Dr = {X; hX, ai ≤ r} é compacto para todo r > 0.
Podemos aplicar a função g(p) = r − hX(p), ai em (3.1) substituindo D por Dr .
Assim,
!
R
n
n
X
X
− Dr (r − hX, ai)L1 (r − hX, ai)
R
≥ min
(nHδjl − hjl )(
hji hil ) .
Dr
(r − hX, ai)2
Dr
i=1
j,l=1
Por outro lado, por (2.9), temos
R
R
− Dr (r − hX, ai)L1 (r − hX, ai)
− Dr (r − hX, ai)(−hn(n − 1)RN, ai)
R
R
=
(r − hX, ai)2
(r − hX, ai)2
Dr
Dr
R
rn(n − 1)RhN, ai
≤ DrR
(r − hX, ai)2
Dr
R
rn(n − 1)R Dr hN, ai
R
.
=
(r − hX, ai)2
Dr
Seja D r2 = {X; hX, ai ≤ 2r }. Então, em D r2 vale a seguinte desigualdade,
r − hX, ai ≥ r −
ou seja,
r − hX, ai ≥
r
,
2
r
.
2
Daı́,
R
R
rn(n − 1)R Dr hN, ai
rn(n − 1)R Dr hN, ai
R
R
≤
(r − hX, ai)2
( r )2
Dr
Dr 2
2
R
rn(n − 1)R Dr
R
≤
r2
4
Dr
2
4n(n − 1)Rvol(Dr )
=
.
rvol(D r2 )
Portanto,
R
− Dr (r − hX, ai)L1 (r − hX, ai)
R
≤ 4n(n − 1)r−1 Rvol(Dr )[volD r2 ]−1 .
2
(r − hX, ai)
Dr
25
(3.2)
O fato de M ser convexa também nos garante a existência de constantes c1 e c2
tais que vol(Dr ) ≤ c1 rn + c2 (ver [SY], p. 23-25). Isto implica que
lim inf r− vol(Dr )[volD r2 ]−1 = 0, ∀ > 0.
r→∞
(3.3)
Combinando (3.1), (3.2) e (3.3), temos
inf
M
n
X
(nHδjl − hjl )
n
X
!
hji hil
= 0.
(3.4)
i=1
j,l=1
Sejam k1 e k2 curvaturas principais tais que k1 k2 ≥ R. Então,
!
n
n
X
X
(nHδkl − hkl )
hki hil
≥ k1 k22 + k2 k12
k,l=1
i=1
≥ (k1 k2 )(k1 + k2 )
p
≥ k1 k2 2k1 k2
√ 3/2
≥
2R .
(3.5)
Como R é constante, concluı́mos de (3.4) e (3.5) que R = 0 e o resultado é
conseqüência imediata do Teorema de Hartmam-Nirenberg (Teorema 1.2, p.12).
Comentário. Em 1978, P. Hartman (ver [H1]) generalizou o resultado de Cheng e
Yau para curvatura média Hr constante positiva.
Teorema (Hartman). Seja M = M n uma variedade Riemanniana completa
conexa com curvatura seccional não-negativa. Seja X : M → Rn+1 uma imersão
isométrica de classe C ∞ tal que X(M) possui a r-ésima curvatura média satisfazendo
Hr = c > 0 para algum r, 1 ≤ r ≤ n. Então, M é um cilindro generalizado.
26
Capı́tulo 4
Estimativa de altura
O resultado apresentado neste capı́tulo é uma estimativa obtida por Rosenberg
[R2], para a distância máxima dos pontos de M ao seu bordo, quando M é uma
hipersuperfı́cie mergulhada em Rn+1 com curvatura escalar S2 constante positiva e
bordo em Rn .
A demonstração deste teorema é um bom exemplo de aplicação das propriedades
do operador L1 .
Inicialmente, vamos demonstrar o resultado seguinte.
Proposição 4.1. Se H1 , H2 ,..., Hi são não-negativas, então
H1 Hi+1 ≥ Hi+2 ,
(4.1)
Hi−1 Hi+1 ≤ Hi2 , i = 1, 2, ..., n − 1 e
2
Hi Hi+2 ≤ Hi+1
, i = 0, 1, ..., n − 2
(4.2)
para 0 ≤ i ≤ n − 2.
Prova. Sabemos que
são equivalentes (ver [HLP], p.104).
Para i = 0, temos, por (4.2) e a equação de Gauss,
H12 − H2 ≥ 0.
(4.3)
Para i = 1, H2 > 0 (isto implica H1 > 0), temos, usando (4.2), que
H1 H3 ≤ H22 , isto é, H2 ≥
27
H1 H3
.
H2
(4.4)
Agora, por (4.3) e (4.4),
H1 ≥
H1 H3
H3
H2
≥
=
,
H1
H1 H2
H2
isto é,
H1 H2 − H3 ≥ 0.
(4.5)
Para i = 2 e H3 > 0 (isto implica H1 > 0, H2 > 0), temos por (4.2),
H2 H4 ≤ H32 , isto é, H3 ≥
H2 H4
.
H3
(4.6)
Agora, por (4.5) e (4.6), obtemos
H1 ≥
H3
H2 H4
H4
≥
=
,
H2
H3 H2
H3
isto é,
H1 H3 − H4 ≥ 0.
Suponhamos que a proposição vale para i = n − 3, isto é,
H1 Hn−2 − Hn−1 ≥ 0.
(4.7)
Então, para i = n − 2 e Hn−1 ≥ 0 temos, por (4.2),
2
Hn−2 Hn ≤ Hn−1
, ou seja, Hn−1 ≥
Hn−2 Hn
.
Hn−1
(4.8)
Por (4.7) e (4.8), temos
H1 ≥
Hn−1
Hn−2 Hn
Hn
≥
=
.
Hn−2
Hn−1 Hn−2
Hn−1
Portanto,
H1 Hn−1 − Hn ≥ 0.
28
Teorema 4.1 ([R2], Teorema 6.1). Seja M ⊂ Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta
mergulhada com ∂M ⊂ Rn = Rn ×
q0. Se S2 é constante positiva, então a distância
2n(n−1)
.
S2
máxima de M ao hiperplano Rn é
Prova. Inicialmente, consideremos uma hipersuperfı́cie M em Rn+1 , compacta,
com S2 constante positiva, como sendo o gráfico de uma função Xn+1 definida num
compacto de Rn tal que ∂M ⊂ Rn .
Escolheremos o vetor N normal a M , tal que Nn+1 ≤ 0. Observe que com esta
escolha, o operador L1 é elı́ptico positivo definido.
Sejam Hi as i-ésimas funções curvaturas médias de M , definidas por Si = ni Hi .
É conhecido que (ver [HLP]),
Hi−1 Hi+1 ≤ Hi2 (1 ≤ i < n),
1/2
H1 ≥ H2
1/3
≥ H3
(4.9)
1/i
≥ ... ≥ Hi ,
(4.10)
quando H1 , H2 ,..., Hi são não-negativas.
Agora, observe que podemos reescrever a desigualdade (4.1) em função das Si ,
isto é,
(n − i − 1)S1 Si+1 − n(i + 2)Si+2 ≥ 0,
(4.11)
i ≤ n − 2.
Assim, como S2 é constante positiva em M , temos Hi > 0 para i ≤ 2 e, portanto,
podemos usar a desigualdade (4.11) com i = 1, ou seja,
(n − 2)S1 S2 − 3nS3 ≥ 0
(4.12)
21
Definamos a função f = Sc22 Xn+1 + Nn+1 , onde c2 = n2 .
Baseado nos resultados do Capı́tulo 2, iremos calcular o valor de L1 aplicado à
função f definida acima.
1
S2 2
X + N, (0, ..., 0, 1) .
Podemos escrever f como o produto
c2
Assim,
*
L1 (f ) = L1
*
= L1
S2
c2
12
S2
c2
12
+!
X + N, (0, 0, ..., 0, 1)
+
X, (0, 0, ..., 0, 1)
29
!
+ hN, (0, 0, ..., 0, 1)i .
Como L1 (hX, vi) = hL1 (X), vi e L1 (hN, vi) = hL1 (N ), vi , obtemos
* 1
+
!
S2 2
L1 (f ) = L1
X, (0, 0, ..., 0, 1) + hN, (0, 0, ..., 0, 1)i
c2
21
S2
hL1 (X), (0, 0, ..., 0, 1)i + hL1 (N ), (0, 0, ..., 0, 1)i.
=
c2
Substituindo os valores encontrados em (2.8) e (2.10) e observando que Rk = 0
quando S2 é constante, obtemos
L1 (f ) =
=
=
S2
c2
12
S2
c2
12
S2
c2
12
"
=
S2
"
=
S2
"
=
S2
hL1 (X), (0, 0, ..., 0, 1)i + hL1 (N ), (0, 0, ..., 0, 1)i
h2S2 N, (0, 0, ..., 0, 1)i + h(−S1 S2 + 3S3 )N, (0, 0, ..., 0, 1)i
(2S2 Nn+1 + (−S1 S2 + 3S3 )Nn+1 )
!
#
21
S2
2
− S1 + 3S3 Nn+1
c2
! #
21
S2
n−2
n−2
2
− S1 +
S1 S2 −
S1 S2 + 3S3 Nn+1
c2
n
n
! #
21
(n − 2)S1 S2 − 3nS3
2
S2
− S1 + S1 − S1 −
Nn+1 .
2
c2
n
n
Portanto, usando (4.12) e o fato que Nn+1 ≤ 0,
L1 (f ) ≥ S2 2
S2
c2
12
!
2
− S1 Nn+1 .
n
12
Como S1 e S2 são não-negativas, temos, por (4.2), que Sc22
≤ Sn1 . Concluı́mos
então que L1 (f ) ≥ 0.
n
n
= 0 e, portanto,
Por
outro
lado,
por
hipótese,
∂M
⊂
R
=
R
×
0.
Logo,
X
n+1
∂M
f ∂M ≤ 0.
30
Como o operador L1 é elı́ptico, o Princı́pio do Máximo nos garante que f atinge
seu máximo no interior de M somente se f for constante, o que não é o caso. Então,
o máximo de f é não positivo, daı́ f ≤ 0 em toda M , ou seja,
S2
c2
12
Xn+1 + Nn+1 ≤ 0 em M.
Portanto,
S2
c2
21
Xn+1 ≤ −Nn+1 ≤ 1,
isto é,
Xn+1 ≤
c2
S2
21
.
Consideremos agora, M hipersuperfı́cie compacta, mergulhada, com ∂M ⊂ Rn . A
conclusão do teorema será uma aplicação da idéia da prova do princı́pio de reflexão
de Alexandrov a M (ver [A]). Com efeito, consideremos um hiperplano Q paralelo
a Rn cuja interseção com M é vazia. Fazendo Q se aproximar paralelamente da
hipersuperfı́cie Rn temos um novo plano Q1 (transladado de Q) tocando M num
primeiro ponto. Quando fazemos Q1 deslizar (sempre na mesma direção) para um
posição Q2 , temos que a reflexão em relação a Q2 da parte de M que se encontra
acima deste hiperplano, localiza-se no interior da região limitada por M e pela região
na hipersuperfćie Rn que é limitada pela fronteira de M (isso é conseqüência imediata
do princı́pio da tangência), ou seja, a parte de M acima de Q2 é um gráfico. Podemos
usar este argumento até que a reflexão da parte acima do hiperplano transladado
toque a hipersuperfı́cie Rn , onde está o bordo de M . Isso ocorre, exatamente, quando
o hiperplano transladado divide a altura de M em duas partes iguais. Com isso,
garantimos que a parte de M acima de tal hiperplano é gráfico, e pelo resultado
12
12
acima, com altura máxima Sc22 . Então, a altura máxima de M será 2 Sc22 .
31
Comentários. Heinz em [H2], 1955, obteve estimativa de altura para gráfico de
curvatura média constante em Rn+1 , além disso, como o objetivo desse trabalho é tratar das hipersuperfı́cies com curvatura escalar constante, particularizamos o Teorema
de Rosenberg para r = 1, mas o resultado vale para r = 0, 1, ..., n − 1. Assim,
Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rn+1 hipersuperfı́cie compacta, mergulhada,
com ∂M ⊂ Rn . Se Sr+1 é constante positiva em M , então a distância máxima de M
1
cr+1 r+1
n
n
, onde cr+1 = r+1
.
para o hiperplano R é 2 Sr+1
32
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