...

Características dos Processos ARMA

by user

on
Category: Documents
1

views

Report

Comments

Transcript

Características dos Processos ARMA
Características dos Processos ARMA
Aula 02
Bueno, 2011, Capítulos 2 e 3
Enders, 2009, Capítulo 2.2 a 2.6
Morettin e Toloi, 2006, Capítulo 5.2
Introdução
A expressão geral de uma série temporal, para o caso
univariado, é dada por
xt = f(xt-1, xt-2, ..., at).
Para
que
(1)
se
torne
operacional,
(1)
é
necessário
especificarmos três fatos: a forma funcional de f(), o número
de lags, e uma estrutura para o termo aleatório.
PROCESSOS ARMA
Processos AR
Se por exemplo, especificarmos uma função linear nos
parâmetros com apenas uma defasagem (lag) e uma
perturbação do tipo ruído branco estacionário (média zero,
variância constante e não-autocorrelacionada), o resultado
será o seguinte processo autorregressivo de primeira ordem,
AR(1):
xt = 0 + 1xt-1 + at.
(2)
O processo autorregressivo de ordem p, AR(p), pode ser
escrito da seguinte forma:
xt = 0 + 1xt-1 + 2xt-2 + ...+ pxt-p + at.
(3)
OPERADOR LAG
O operador lag (ou, operador defasagem), representado por
L, aplicado a uma variável indexada em t (tempo), dá o valor
anterior na série temporal.
Tem-se, assim,
Lxt = xt-1
L2xt = xt-2
(1 – L)xt = xt – Lxt = xt – xt-1 = xt
em que,
 é conhecido como operador diferença.
Processos AR
Usando os resultados do slide anterior, em (3), podemos
escrever um modelo AR(p), como,
(1 – 1L – 2L2 – ... – pLp)xt = 0 + at
em que
(L) = 1 – 1L – 2L2 – ... – pLp
(polinômio autorregressivo de grau p)
(4)
CONDIÇÃO DE ESTACIONARIEDADE
PROCESSO AR(p)
Considere que xt siga o seguinte processo
xt = 0 + 1xt-1 + 2xt-2 + ...+ pxt-p + t
em que
t ~ RB(0,2).
Condições de Estacionariedade:
As raízes da equação característica (L) = 0, devem ser, em
módulo, maiores do que 1 (raízes fora do círculo unitário).
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(1)
Considere que xt siga o seguinte processo
xt = 0 + 1xt-1 + t
em que
t ~ RB(0,2).
Prova-se que, se
|1| < 1,
então xt será considerado estacionário.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(1) – cont.
Caso |1| < 1, tem-se que
E(xt) = 0 / (1 – 1) = .
Ou seja, a esperança incondicional de xt é constante e
invariante no tempo.
Prova-se, também, que, se |1| < 1, a variância incondicional
de xt é constante e igual a
2

 x2  E ( xt   ) 2    2
1  1
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(1) – cont.
Exercício*
a) Encontre a FACV do processo AR(1), que foi apresentado
nos slides anteriores.
b) Verifique que a FAC do processo é dada por
h
 h  1 h 1  1 ,
h  1, 2 , 3...
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(2)
Considere que xt siga o seguinte processo
xt = 0 + 1xt-1 + 2xt-2 + t
em que
t ~ RB(0,2).
Condições de Estacionariedade
2 + 1 < 1
2 - 1 < 1
-1 < 2 < 1
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(2) – cont.
Baseando-se no resultado anterior, tem-se que
E(xt) = 0 / (1 – 1 – 2).
Ou seja, a esperança incondicional de xt é constante e
invariante no tempo.
Prova-se, também, que, sob as mesmas condições do slide
anterior, a variância incondicional de xt é constante e igual a
( 1   2 ) 2
0 
( 1   2 )( 1  1   2 )( 1  1   2 )
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(2) – cont.
Exercício
Prove que a FACV do processo AR(2) é dada por:
 j  1 j 1  2 j  2 , j  0
com
 2
0 
1  1 1  2  2
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(2) – cont.
Exercício
Prove que a FAC do processo AR(2) é dada por:
 h  1 h 1   2  h  2 , h  3, 4 , 5 , ...
com
1
1 
1  2
e
2 
12
1  2
 2
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(p)
Exercício
Prove que a FACV do processo AR(p) é dada por:
 j  1 j 1  2 j 2  ...   p j  p , j  0
com
 2
0 
1  11  2  2  ...   p  p
Do resultado anterior, prove que a FAC é dada por:
 j  1 j 1  2  j 2  ...   p  j  p , j  0
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
FATO
Muitas vezes é difícil fazer a distinção entre processos AR de
diferentes ordens com base apenas nos correlogramas. (Pq?)
Função de Auto-correlação Parcial (FACP)
Essa distinção é possível com base no cálculo dos
coeficientes de correlação parcial.
Por exemplo, num processo AR(2), o parâmetro 2 é o
coeficiente de correlação parcial entre xt e xt-2, mantendo xt-1
constante.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
PROCESSO AR(p) – cont.
Observação
De maneira geral, esperamos que:
 a FAC empírica de uma série temporal estacionária que
seja modelada por um processo AR(p) amorteça para zero;
 já a FACP, esperamos que seja aproximadamente zero para
todas as ordens superiores à ordem p do processo.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS AR
Exemplos
Observando os correlogramas, a seguir, indique um modelo
inicial para cada série temporal.
PROCESSOS ARMA
Processos MA
Voltando à expressão geral de uma série temporal,
xt = f(xt-1, xt-2, ..., at).
(1)
É possível assumir que o termo de perturbação at tenha uma
estrutura expressa por
at = t – 1t-1 – ... – qt-q
(5)
em que
t é um processo ruído branco estacionário.
Ou seja, aqui estamos assumindo que at não é um processo
ruído branco.
Processos MA
Dessa forma, uma possível especificação para o processo xt
é dada por um processo de médias móveis de ordem q,
MA(q):
xt = 0 + t – 1t-1 – ... – qt-q.
(6)
Usando os resultados do slide 5, em (6), podemos escrever
xt = 0 + (1 – 1L – 2L2 – ... – qLq)t
(7)
em que
(L) = 1 – 1L – 2L2 – ... – qLq
(polinômio de médias móveis de grau q)
As equações (6) e (7) especificam um processo MA(q) puro.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1)
O processo MA(1) é dado por
xt = 0 + t – 1t-1
em que
t ~ RB(0,2).
Não é difícil mostrar que
E(xt) = E(0 + t – 1t-1) = 0.
Ou seja, a esperança incondicional de xt é constante e
invariante no tempo.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Ainda, a variância incondicional de
xt = 0 + t – 1t-1
é dada por:
 0  Var xt   Var ( 0   t  1 t 1 )  Var ( t  1 t 1 ) 
 Var ( t )  12Var ( t 1 )  21Cov t ,  t 1  

  2  12 2   2 1  12

PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Ainda, a FACV é dada por
(1   )  ,   0



2
    1  ,
 1



2
0,

2
1
2
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Baseado no resultado anterior, não é difícil ver que a FAC fica
dada por
 1
1 
2
(1  1 )
 2   3  ...  0
Ou seja, no caso do MA(1) a FAC trunca no lag 1.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Observação
O processo MA(1) pode ser invertido para dar t como uma
série infinita em função de xt, xt-1, ...
t = xt + 1xt-1 + 12xt-2 + ...
ou, ainda,
xt = t – 1xt-1 – 12xt-2 – ...
que é um processo AR().
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Observação (cont.)
Todavia, a equação
xt = t – 1xt-1 – 12xt-2 – ...
só fará sentido se
| 1 | < 1.
Se tal restrição não for observada, então os valores mais
distantes de xt terão um maior efeito no valor presente.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Observação (cont.)
A condição |1| < 1, é conhecida por condição de
invertibilidade. É semelhante à condição de estacionariedade
para um processo AR(1), mas a estacionariedade de um
processo MA(1) não impõe nenhuma condição para 1.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Observação (cont.)
Ainda, como a equação xt = t – 1xt-1 – 12xt-2 – ... denota um
AR(), as auto-correlações parciais não caem bruscamente,
mas, decrescem, amortecendo gradualmente para zero; mas,
como vimos anteriormente, as auto-correlações são iguais a
zero a partir da segunda, inclusive.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(1) – cont.
Observação (cont.)
As propriedades de um processo MA(1) puro são exatamente
ao contrário das de um processo AR(1) puro. Ou seja, a FAC
de um processo MA(1) é nula após o lag 1 e a FACP decai
exponencialmente para zero.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(q)
O processo MA(q) é dado por
xt = 0 + t – 1t-1 – 2t-2 – ... – qt-q
em que
t ~ RB(0,2)
Condições de Invertibilidade:
As raízes da equação característica (L) = 0 devem estar fora
do círculo unitário, em que
(L) = 1 – 1L – 2L2 – ... – qLq.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(q) – cont.
Observação
Em geral, num processo estacionário MA(q), os q primeiros
coeficientes da FAC são diferentes de zero, e os restantes
iguais a zero. Já os coeficientes da FACP, apresentam um
decaimento amortecido para zero.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
PROCESSO MA(2)
Exercício
Considere o processo MA(2) dado por
xt = 0 + t – 1t-1 – 2t-2
em que
t ~ RB(0,2).
(i) Encontre a média, a variância, a facv e a fac de xt.
(ii) Quais devem ser as condições de invertibilidade de um
processo MA(2)? Justifique a sua resposta.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS MA
Exemplos
Observando os correlogramas, a seguir, indique um modelo
inicial para cada série temporal.
PROCESSOS ARMA
Processos ARMA
Voltando à expressão geral de uma série temporal,
xt = f(xt-1, xt-2, ..., at).
(1)
e combinando as equações
xt = 0 + 1xt-1 + 2xt-2 + ...+ pxt-p + at.
(3)
xt = 0 + t – 1t-1 – ... – qt-q.
(6)
e
teremos um processo misto, autorregressivo e de médias
móveis, ARMA(p, q):
xt =  + 1xt-1 + 2xt-2 + ...+ pxt-p + t – 1t-1 – ... – qt-q
(8)
Processos ARMA
Ainda, utilizando os resultados do slide 5, em (8), podemos
escrever um modelo ARMA(p, q), como,
(1 – 1L – 2L2 – ... – pLp)xt =  + (1 – 1L – 2L2 – ... – qLq)t
em que
(L) = 1 – 1L – 2L2 – ... – pLp
(L) = 1 – 1L – 2L2 – ... – qLq
(9)
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA
PROCESSO ARMA(p,q)
Observação
• A estacionariedade do processo exige que as raízes de (L)
se situem fora do círculo unitário;
• A invertibilidade requer a mesma condição para as raízes
de (L);
• Verificadas estas condições, o processo ARMA(p, q) pode
ser expresso quer como um processo AR puro de ordem
infinita quer como um processo MA puro de ordem infinita.
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA
PROCESSO ARMA(1,1)
O processo misto, sem constante, de ordem mais baixa é o
processo ARMA(1, 1):
xt = xt-1 + t – t-1.
Para esse caso, admitindo || < 1, é possível provar que:
1  2   2 2
0 

1 2
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA
PROCESSO ARMA(1,1) – cont.
Já a FACV do processo ARMA(1, 1) é dada por
(  θ)( 1  θ) 2
γ1 
σε
2
1
e
γh  γh 1, h  2 , 3, ...
E a FAC do processo fica dada por,
(  θ)( 1  θ)
ρ1 
1  2θ  θ 2
ρh  ρh 1
h  2 , 3, ...
PROPRIEDADES DOS PROCESSOS ARMA
PROCESSO ARMA(1,1) – cont.
Observação
•
1 depende tanto do parâmetro da parte AR como do
parâmetro da parte MA.
•
Os coeficientes seguintes decrescem exponencialmente,
com uma taxa de decréscimo dada pelo parâmetro AR.
•
Contudo, e por comparação com o processo AR puro, os
coeficientes da FACP não decaem rapidamente, mas têm
um decrescimento amortecido para zero.
RESUMÃO
Padrões de Correlação
Processo
FAC
FACP
AR(p)
Infinita:
decai
para
zero Finita: decai
(exponencialmente ou segundo bruscamente para zero a
uma senóide amortecida).
partir do lag p.
MA(q)
Finita: decai bruscamente para Infinita: decai para zero
zero a partir do lag q.
(exponencialmente
ou
segundo uma senóide
amortecida).
ARMA(p, q) Infinita:
decai
para
zero Infinita: decai para zero
(exponencialmente ou segundo (exponencialmente
ou
uma senóide amortecida).
segundo uma senóide
amortecida).
EXERCÍCIOS
Exercício 1
Considere o modelo
yt = -0,2yt-1 + 0,48yt-2 + t + 0,6t-1 –0,16t-2, t = 1, 2, ...
a) Escreva o modelo de interesse, utilizando os polinômios
característicos.
b) Encontre as raízes dos polinômios característicos.
c) Escreva o modelo de interesse na forma fatorada.
Comente o resultado encontrado.
Exercício 2
Considere o processo
yt = 0,5yt-1 + t – 0,5t-1, t = 1, 2, ...
(a) O processo é estacionário?
(b) O processo é invertível?
(c) A memória deste processo é semelhante à memória
de um processo ruído branco?
Exercício 3
Considere o processo
yt = t –0,6t-1 –0,1t-2, t = 1, 2, ...
Verifique
se as condições de estacionariedade e
invertibilidade deste processo estão satisfeitas.
Leitura Complementar I
Modelos Lineares Estacionários
Morettin e Toloi, 2006, Capítulo 5.2
Modelos Lineares Estacionários
Os
modelos
que
aqui
serão
estudados
são
casos
particulares de um modelo de filtro linear.
Tal modelo supõe que a série temporal seja gerada através
de um filtro linear (ou sistema linear), cuja entrada é um
ruído branco (RB).
Na figura, a seguir, temos o exemplo de um esquema que
representa um filtro linear com série de entrada at, função
de transferência (L) e série de saída Zt.
Modelos Lineares Estacionários
(L)
Zt
at
Filtro Linear
Figura 1 - Filtro linear com série de entrada at, função de
transferência (L) e série de saída Zt.
Modelos Lineares Estacionários
Apenas para lembrar
E (at )  0, t ,
Var (at )   , t ,
2
a
Cov(at , as )  E (at as )  0, s  t
Ou seja, at é um RB estacionário.
Modelos Lineares Estacionários
Formalmente, temos que
Zt = µ + at + 1at-1 + 2at-2 + ... =
= µ + at + 1Lat + 2L2at + ... = µ + (L)at (1)
em que
µ – parâmetro determinando o nível da série
L – operador defasagem
(L) = 1 + 1L + 2L2 + ... é denominada
função de transferência do filtro.
Modelos Lineares Estacionários
 Zt, dado em (1), é um processo linear (discreto).
 Se a seqüência de pesos {j, j ≥ 1} for finita ou
infinita e convergente, o filtro é estável (somável) e
Zt é estacionária. Neste caso, µ é a média do
processo.
 Caso contrário Zt é não estacionária e µ não tem
significado específico, a não ser como um ponto de
referência para o nível da série.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
A condição anterior também pode ser expressa na
condição de que (L), que é a função geradora dos pesos
, deve convergir para |L| ≤ 1, isto é, dentro de e sobre o
círculo unitário. Esse resultado é discutido em detalhes no
Apêndice A3.1 do livro de Box, Jenkins e Reinsel (1994,
pag. 85-86).
Modelos Lineares Estacionários
Não é difícil, de (1), ver que,



E ( Z t )    E  at   j at  j 
j 1


e como
E(at) = 0, para todo t,
temos que
E(Zt) = µ
se a série
j
convergir.
Modelos Lineares Estacionários
Também não é difícil ver que a facv, j, de Zt é
dada por
 j 
com 0 = 1.

2
a


,
 i i j
i 0
Modelos Lineares Estacionários
Em particular, para j = 0, obtemos a variância de Zt,
 0  Var ( Z t )  

2
a

j 0
2
j
.
A condição para que as duas expressões anteriores
existam é que


j 0
2
j
 .
Modelos Lineares Estacionários
Assim verificamos que a média e a variância
de Zt são constantes e a covariância só
depende de j, logo, Zt é estacionária.
Modelos Lineares Estacionários
Podemos escrever
~
Zt  Zt  
em uma forma alternativa, como uma soma ponderada
de seus valores passados mais um ruído at:

~
~
~
~
Z t   1Z t 1   2 Z t  2  ...  at    j Z t  j  at
j 1
Segue-se que



j ~
1    j L  Z t  at


j 1


Modelos Lineares Estacionários
ou
~
 ( L) Z t  at
em que (L) é o operador
 ( L)  1   1 L   2 L  ...
2
Modelos Lineares Estacionários
Mas,
~
Z t   ( L)at ,
de modo que
~
 ( L) Z t  at   ( L) ( L)at  at ,
ou seja,
 ( L) ( L)  1   ( L)   ( L)
1
Esta relação pode ser usada para obter os pesos j em
função dos pesos j e vice-versa.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 1
Considere o processo
Zt = µ + (L)at
em que
j = ()j, j = 1, 2, 3, ...,
0 = 1;
|| < 1; e
at como definido anteriormente.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 1 (cont.)
Temos que


1
 j   
,

1
j 0
j 0
j
logo, E(Zt) = µ.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 1 (cont.)
Ainda, dado que j2 converge, obtemos
0 

2
a
1
2
e
j 

j
1
2
 , j0
2
a
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 2
Para o modelo dado no Exemplo 1, considere, agora,
que  = 1 e µ = 0; então
Z t  at  at 1  ...
Não é difícil ver que j não converge. Dessa forma, o
processo será não-estacionário.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 3
O modelo dado no Exemplo 2 deriva da equação
Z t  Z t 1  at .
Assim, da equação anterior, não é difícil observar que
Z t  Z t 1  at .
Ou seja, a primeira diferença de Zt é um RB estacionário.
Dizemos que Zt é um passeio aleatório; seu valor no
instante t é uma soma de choques aleatórios que entraram
no sistema desde o passado remoto até o instante t.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exercício
Considere o processo
Zt = (L)at
em que
j = ()j, j = 1, 2, 3, ...,
0 = 1; e
|| < 1.
Encontre (L) e escreva (L)Zt = at. Interprete.
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 4
Considere o processo
Zt = at + at-1,
ou seja,
1 = , j = 0, j > 1.
Assim, é possível afirmar que o processo é estacionário
para qualquer valor de  ?
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 5
Utilizando o modelo proposto no Exemplo 4, vejamos como
deve ser  para que possamos escrever Zt em termos de
seus valores passados.
1
Z t  (1  L)at 
Z t  at  (1  L   2 L2  ...) Z t  at .
(1  L)
Assim, vem que

 ( L)  1  L   2 L2  ...   (L) j e  j  ( ) j , j  1
j 0
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Exemplo 5 (cont.)
A
seqüência
formada
pelos
pesos
j
será
convergente se | | < 1 e neste caso dizemos que o
processo é invertível.
Segue-se que para o
processo ser invertível o operador (L) deve
convergir para |L| ≤ 1, e
Z t  Z t 1   Z t  2  ...  at .
2
Condições de Estacionariedade e Invertibilidade
Proposição
Um processo linear geral será estacionário
se (L) convergir para |L| ≤ 1; será
invertível se (L) convergir para |L| ≤ 1. A
demonstração
deste
fato
pode
ser
encontrada, por exemplo, em Box, Jenkins
& Reinsel (1994).
Leitura Complementar II
O Teorema de Wold
Teorema de Wold
Todo processo estacionário de segunda ordem,
puramente não-determinístico, pode ser escrito como
um Polinômio Linear Geral (PLG), dado a seguir:

X t     j  t  j ,  0  1,
(a)
j 0
com {t} uma sequência de v.a. não correlacionadas,
de média zero e variância 2 constante (ruído branco
estacionário - RB) e j são constantes satisfazendo
j2 < .
Teorema de Wold
Ainda,

Var ( X t )   2  2j
E( X t )  
h 
j 0

2
 
j 0
j
jh
ψ
,

h 
 
j
j 0

jh
2

 j
j 0
2
j

Teorema de Wold
Processos ARMA são casos particulares de (a).
Exemplos:
ψ1  θ, ψ j  0 , j  1  X t  εt  θεt 1 ~ MA( 1 ),
ρ1  (  θ)
( 1  θ)
2
, ρh  0 , j  1;
ψ j    X t  X t 1  εt ~ AR( 1 ),
j
  1, ρh   h ;
ψ j  (  θ ) j 1  X t  X t 1  εt  θεt 1 ~ ARMA( 1,1 ),
ρ1  (1   )
( 1  θ  2)
2
, ρh  ρh 1, h  1;
Exercícios
Exercício 1
O processo
Zt = (L)at
em que
j = ()j, j = 1, 2, 3, ...,
0 = 1; e
|| < 1.
é invertível?
Exercício 2
Considere o seguinte processo

X t   j  t  j ,
j 0
com
ψ0  1
ψ j  (  θ ) j 1 , j  1
t ~ RB(0 ; 2)
Exercício 2 (cont.)
a) O processo é estacionário? Justifique.
b) O processo é invertível? Justifique.
Exercício 3
De acordo com as suposições feitas no exercício
anterior para obter a estacionariedade do processo,
encontre a FACV e a FAC do mesmo.
Exercício 4
O processo
X t  0,80 X t 1   t  0,80 t 1
em que
t ~ NID(0;1)
é estacionário e/ou invertível? Justifique a sua
resposta. Construa a FAC teórica desse processo.
Ainda, simule esse processo e construa a FAC do
processo simulado. Compare e comente os resultados.
Fly UP