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matemática financeira
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Testes para Concursos
Prof. Pacífico
— EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SIMPLES —
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS PELO CRITÉRIO SIMPLES DE CAPITALIZAÇÃO: 01) Exemplo Uma pessoa deve pagar uma dívida em duas prestações, sendo a primeira no valor de $50.000, vencível daqui a 3 anos, e a segunda, no valor de $60.000, a pagar daqui a 5 anos. Ela deseja trocar esse débito por dois outros iguais, pagáveis daqui a 1 ano e 2 anos, respectivamente. Qual é o valor de cada pagamento, considerando‐se a taxa de desconto comercial simples de 10% a.a. e a data focal “zero”? Solução: 1a. forma de pagamento $50.000
0
1
2
3
$60.000
4
5
data focal
2a. forma de pagamento 0
X
X
1
2
data focal
A equação de equivalência, considerando‐se desconto comercial simples, e data focal “zero” será: X . (1 – 0,1 . 1) + X . (1 – 0,1 . 2) = 50.000 . (1 – 0,1 . 3) + 60.000 . (1 – 0,1.5) 0,9 . X + 0,8 . X = 50.000 . 0,7 + 60.000 . 0,5 1,7 . X = 65.000 X = 38.235,29 Portanto, a dívida pode ser paga em duas prestações anuais e consecutivas iguais a $38.235,29. 02) Exemplo Refaça o exemplo anterior, considerando agora o desconto racional. Solução: Tratando‐se de desconto racional (por dentro), e data focal “zero”, a equação de equivalência será: X
X
50.000 60.000
+
=
+
1 + 0,1.1 1 + 0,1.2 1 + 0,1.3 1 + 0,1.5
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X X 50.000 60.000
+
=
+
1,1 1,2
1,3
1,5
0,90909 . X + 0,83333 . X = 38.461,54 + 40.000 1,74242 . X = 78.461,54 X = 45.030,21 Neste caso, a dívida pode ser paga em duas prestações anuais e consecutivas iguais a $45.030,21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01‐ (AFRF) Para refinanciar uma dívida de $1.500.000 em 36 dias, o devedor paga $ 148.000 e é emitido um novo título no valor de $1.400.000 para o prazo de 90 dias. A taxa de desconto comercial adotada na operação foi de: Obs.: 1) Considere a data de referência o instante 0. 2) Taxa de juros simples. a) 25% a.a. b) 26% a.a. c) 20% a.a. d) 30% a.a. e) 24% a.a. Solução: 1º Conjunto de Capitais $1.500.000
0
36 d
º
2 Conjunto de Capitais $148.000
0
$1.400.000
90 d
Como os dois conjuntos de capitais são equivalentes na “data focal 0”, os valores atuais dos dois conjuntos de capi‐
tais deverão ser iguais nesta data. Assim, considerando‐se o desconto comercial simples, e expressando‐se os prazos em anos (pois nas alternativas as taxas são expressas ao ano), tem‐se: 36 ⎞
90 ⎞
⎛
⎛
1.500.000.⎜1 − i.
⎟ = 148.000 + 1.4000.000⎜1 − i.
⎟ 1.500.000 – 150.000.i=148.000 + 1.400.000 – 350.000.i 360 ⎠
360 ⎠
⎝
⎝
‐150.000.i + 350.000.i=148.000 +1.400.000 – 1.500.000 200.000.i = 48.000 i = 0,24 a.a. ⇒ i = 24% a.a. Alternativa (e) www.CursoSolon.com.br
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02‐ (AFRF) João deve a um banco $ 190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo‐se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de: a) $235.000 b) $238.000 c) $240.000 d) $243.000 e) $245.000 Solução: Para facilitar a solução do problema, vamos transformar as unidades de tempo em meses. Assim: prazo para vencimento da dívida = 30 d = 1 m prazo para vencimento, após a prorrogação = 30 d + 90 d = 120 d = 4 m i = 72% a.a. = 72%
a.m. = 6% a.m. 12
Temos, então: Dívida inicial $190.000
0
1
Dívida após renegociação do prazo para pagamento: N
0
4
Como, na “data focal 0”, os valores atuais das dívidas devem ser iguais, adotando‐se o desconto comercial simples, tem‐se: N . (1 – 0,06 . 4) = 190.000 . (1 – 0,06 . 1) 0,76 . N = 178.600 N = 235.000 Alternativa (a) www.CursoSolon.com.br
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03‐ (AFRF) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400.000. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pa‐
gamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamen‐
tos, será paga ao final do décimo‐primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $816,55 b) $900,00 c) $945,00 d) $970,00 e) $995,00 Solução: Valor total dos pagamentos = $1.400
1a. parcela = 70% . $1.400 = $980 2a. parcela = 30% . $1.400 = $420 O esquema abaixo mostra os pagamentos a serem efetuados: 0
$980
$420
4
11
O problema deseja saber qual é o valor financiado. Em outras palavras, devemos calcular o valor do financiamento na “data focal 0”. Este corresponderá à soma dos valores atuais de cada uma das parcelas. O enunciado não especifica se devemos utilizar o desconto simples comercial ou o racional. Menciona apenas que os valores das parcelas decorrem da aplicação da taxa de juros simples de 10% a.m. sobre o valor financiado. Desta forma, para obtermos o valor deste último, devemos “deflacionar” as parcelas, o que eqüivale a utilizar o desconto simples racional. A=
980
420
+
1 + 0,10 . 4 1 + 0,10 .11
A = 700 + 200 A = 900 Alternativa (b) www.CursoSolon.com.br
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