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SIMETRIA PAR SIMETRIA ÍMPAR SIMETRIA DE MEIA ONDA

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SIMETRIA PAR SIMETRIA ÍMPAR SIMETRIA DE MEIA ONDA
CONSIDERAÇÕES SOBRE SIMETRIA
SIMETRIA PAR
A S.F. tem somente componentes em co-senos.
a0 - Valor médio ou nível CC.
Exemplo: co-seno
SIMETRIA ÍMPAR
Æ
A S.F. tem somente componentes em senos.
Exemplo: seno
Amplitude An e fase φn
SIMETRIA DE MEIA ONDA
A S.F. tem somente harmônicos ímpares.
Forma Complexa
SIMETRIA DE QUARTO ONDA
Função
Valor
Função
Valor
Even - Par
Odd Ímpar
Se f(t) for par (f(t)= f(-t)) com simetria de meiaonda (f(t-T/2) = - f(t)) (simetria par de quarto de
onda), terá apenas harmônicos ímpares com termos
em co-senos. Se f(t) for ímpar (f(-t)=- f(t)) com
simetria de meia-onda (f(t-T/2) = - f(t)) (simetria
ímpar de quarto de onda), terá apenas harmônicos
ímpares com termos em senos.
Diz-se que uma função f(t) apresenta simetria de
quarto de onda, se f(t) tem simetria de meia-onda e
além disso, cumpre com uma das seguintes
condições:
(a) f(t) é ímpar.
(b) transladando f(t) de T/4 para a direita (ou para
a esquerda), a função se torna par, isto é:
f(t-T/4) = f(t)
Obs.: Algumas funções podem ter SIMETRIA OCULTA, para descobrir, remova o nível médio da
função e verifique.
POTÊNCIA MÉDIA E VALORES EFICAZES
Energia
Transformada de Fourier
A T.F. de uma função f(t) é uma transformação
integral do domínio do tempo para freqüência.
Em geral, a T.F. de uma função f(t) Æ F(ω) é uma
função complexa; cujo módulo da origem ao espectro
de amplitude, e o ângulo a o espectro de fase.
Par Transformada de Fourier
SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER
c0 = a0
EQUIVALÊNCIAS TRIGONOMÉTRICAS
Revisão funções básicas.
(c) F[cos ωot] =
A função impulso δ(t) é
zero para todo t exceto
para t = 0, onde é
indefinida.
A rampa é a integral do
degrau.
2) (a) Função gatilho g(t) = u(t-1) - u(t-2)
⌠
⎮
⌡
∞
u ( t − 1) ⋅ e
− i⋅ ω ⋅ t
−∞
⌠
⎮
⌡
jωot
∞
u ( t − 1) ⋅ e
(b) Podemos encontrar a T.F. de e
função como sendo o impulso.
jωot
∞
i
⋅e
1⋅ e
F(ω) = δ(ω − ωo)
− i⋅ ω ⋅ t
⌠
dt − ⎮
⌡
∞
u ( t − 2) ⋅ e
− i⋅ ω ⋅ t
⌠
dt − ⎮
⌡
∞
1⋅ e
− i⋅ ω ⋅ t
dt
( − i) ⋅ ω ⋅ ∞
( − i) ⋅ ω
−e
−
i
ω
⋅e
( − i) ⋅ ω
−
i
ω
⋅e
( − i) ⋅ ω ⋅ ∞
F( sin ( ωo ⋅ t ) )
F( sin ( ωo ⋅ t ) )
F ( sin ( ωo ⋅ t ) )
i
ω
⋅e
( − i) ⋅ ω ⋅ 2
(b) 4δ(t + 2)
∞
4 δ( t + 2) ⋅ e
− i⋅ ω ⋅ t
dt
4⋅ e
− i⋅ ω ⋅ − 2 ⌠
∞
⋅⎮
⌡
−∞
δ( t + 2) dt
4⋅ e
2⋅ i⋅ ω
−∞
f( t )
2⋅ i
+
( − 2) ⋅ i⋅ ω
f( t )
1
dt
PROBLEMA PRÁTICO 17.3
Obtenha a T.F. da função apresentada abaixo.
(c) sin ωot =
sin ( ωo ⋅ t )
dt
iω
⌠
⎮
⌡
devido a propriedade do deslocamento provocado pelo degrau.
− i⋅ ω ⋅ t
2
tomando a transformada de Fourier de uma determinada
A partir desta hipótese podemos encontrar f(t) usando a definição da transformada inversa,
resultando em:
− i⋅ ω ⋅ t
1
e
u ( t − 2) ⋅ e
2
⌠
⎮
⌡
ω
∞
−∞
1
Encontre a T.F. das seguintes funções: (a) δ(t − to), (b) e
, (c) cos ωot .
(a) Resp. Empregando a propriedade do deslocamento da função impulso temos que:
⌠
dt − ⎮
⌡
( i⋅ ωo⋅ t − e− i⋅ ωo⋅ t)
⋅ e
⌠
⎮
⌡
(
1
)
1
i
⋅ ( π ⋅ δ( ω − ωo ) − π⋅ δ( ω + ωo ) )
i⋅ π ⋅ ( δ( ω + ωo ) − δ( ω − ωo ) )
PROBLEMA PRÁTICO 17.2
Obtenha a T.F. da função apresentada abaixo.
0
1⋅ e
− i⋅ ω ⋅ t
2⋅
i
ω
1
ω⋅i
1
⌠
− i⋅ ω ⋅ t
dt + ⎮ −1⋅ e
dt
⌡
0
−
i
ω
(
⋅e
i⋅ ω
−
i
ω
⋅e
( − i) ⋅ ω
)
⎤
⎡ 2 e i⋅ ω + e − i⋅ ω
− 2⎥
2
⎣
⎦
⋅⎢
at − i⋅ ω ⋅ t
e ⋅e
1
( ( i⋅ ωo⋅ t ) − F(e− i⋅ ωo⋅ t ))
−1
0, t > 0
e ⋅ u ( −t )
a − i⋅ ω
⋅ F e
⌠
⎮
⌡
e ,t < 0
at
−∞
1
i⋅ ωo ⋅ t
− i⋅ ωo⋅ t ⎤
F⎡⎢ ⋅ e
−e
⎥
⎣ 2⋅ i
⎦
2⋅ i
0
at
e ⋅ u ( −t )
1
a − i⋅ ω
at
dt
⌠
⎮
⌡
0
e
a⋅ t − i⋅ ω ⋅ t
dt
−∞
⋅e
( − 0) ⋅ [ ( − a) + i⋅ ω ]
⌠
⎮
⌡
0
e
t ⋅ ( a− i⋅ ω )
−∞
−
1
a − i⋅ ω
⋅e
( − ∞ ) ⋅ [ ( − a) + i⋅ ω ]
dt
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